【正文】 10 從 ARCH 過(guò)程的檢驗(yàn)中，零假設(shè)和被擇假設(shè)分別為： 011:: 0 ,1 qiHH i q??? ??? ? ? 檢驗(yàn) ARCH 可以使用 F、 LM、 LR、 W 統(tǒng)計(jì)量，本文只介紹 F 檢驗(yàn)。 另一種定義方式如下： ttt vhu ?? （ ） 滿足 tv 獨(dú)立同分布，且 ? ? ? ?220 1 10 , 1ttt t q t qE v D vh u u? ? ????????? ? ? ???， 9 ARCH 模型的估計(jì) ARCH 模型不僅揭示了金融序列的條件異方差的特性，而且給出了計(jì)算金融序列的條件異方差的方法，根據(jù)對(duì)條件異方差的描述，我們可以采用極大似然法對(duì)模型進(jìn)行估計(jì)， 從而有利于對(duì)這種條件異方差的金融序列進(jìn)行更加準(zhǔn)確的分析。 在（ ）式中，若固定變量 1tx? ， 2tx? ， ， tpx? 的值，則隨機(jī)變量的條件期望為： ? ?1 2 0 1 1, , ,t t t t p t p t pE x x x x x x? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? （ ） 無(wú)條件 期望 為 ? ? 011t pEx ???? ? ? ?， （ ） 根據(jù)以上有關(guān)性質(zhì)可以定義 ARCH 模型如下： 0 1 1t t p t p tx x x u? ? ???? ? ? ? ? （ ） 滿足 tu 獨(dú)立同分布， ? ? ? ? 2,t t tE u o D u ???。隨后這一模型被不斷的用來(lái)研究金融市場(chǎng)的收益序列變化的問(wèn)題，并且由于它自身的靈活性， ARCH 模型得到不斷地改進(jìn)，成為一個(gè)龐大的 ARCH 模型族。然而，對(duì)于高頻數(shù)據(jù)，正態(tài) GARCH 模型仍然不能充分地描述數(shù)據(jù)的尖峰厚尾性。于是擾動(dòng)項(xiàng) t? 就是回報(bào)的平均偏差，它表示非預(yù)期回報(bào)。 GARCH 模型一般有兩個(gè)方程組成。 6 表 11 VaR 模型的分類(lèi)及計(jì)算法法 分析方法 模擬方法 歷史模擬 在歷史回報(bào)分布下，對(duì)組合價(jià) 值進(jìn)行重新定價(jià) Monte Carlo 模擬 根據(jù)統(tǒng)計(jì)參數(shù)來(lái)確定隨機(jī)過(guò)程 情景分析 單一金融工具的名感性分析 有限數(shù)量的情景 RiskMetrics 協(xié)方差矩陣應(yīng)用于標(biāo)準(zhǔn)的映 協(xié)方差矩陣，應(yīng)用于構(gòu) Monte 射矩陣 Carlo 方法 GARCH 協(xié)方差矩陣應(yīng)用于標(biāo)準(zhǔn)的映 協(xié)方差矩陣，應(yīng)用于構(gòu) Monte 射矩陣 Carlo 方法 隱含波動(dòng)性 協(xié)方差矩陣應(yīng)用于標(biāo)準(zhǔn)的映 協(xié)方差矩陣，應(yīng) 用于構(gòu) Monte 射矩陣 Carlo 方法 隨機(jī)波動(dòng)模型 協(xié)方差矩陣應(yīng)用于標(biāo)準(zhǔn)的映 協(xié)方差矩陣，應(yīng)用于構(gòu) Monte 射矩陣 Carlo 方法 7 第 2 章 GARCH 模型 Engle 在 1982 年首先提出了 ARCH 模型對(duì)方差進(jìn)行建模， 1986 年 Bollerslev 將ARCH 模 型推廣，發(fā)展成廣義的 ARCH 模型，即 GARCH 模型。 模擬方法是在模擬市場(chǎng)因子未來(lái)變化的不同情景基礎(chǔ)上，給出市場(chǎng)因子價(jià)格的不同情景，并在不同情景下分別對(duì)證券組合中的金融工具重新定價(jià)，在此基礎(chǔ)上計(jì)算證券組合的價(jià)值變化。 分析方法主要是依據(jù)金融工具的價(jià)值和其市場(chǎng)因子間的關(guān)系，即依據(jù)靈敏度確定組合價(jià)值的變化 ( , )V f s r? ? ? 其中， V? 為證券組合的價(jià)值變化， s 為靈敏度， r? 為市場(chǎng)因子的變化。它假定過(guò)去的回報(bào)分布可以合理的預(yù)測(cè)未來(lái)情 況，可用歷史數(shù)據(jù)的 時(shí)間序列分析估計(jì)市場(chǎng)因子的波動(dòng)性和相關(guān)性。 （ 2） Monte Carlo 模擬法 Monte Carlo 模擬法 (簡(jiǎn)稱(chēng) MC)是一種隨機(jī)模擬方 法， 它用市場(chǎng)因子的歷史波動(dòng)參數(shù)產(chǎn)生市場(chǎng)因子未來(lái)波動(dòng)的大量可能路徑 (而歷史模擬法只能根據(jù)市場(chǎng)因子的特定歷史變動(dòng)路徑產(chǎn)生有限的未來(lái)波動(dòng)情景 )。 市場(chǎng)因子的波動(dòng)性模型 市場(chǎng)因子波動(dòng)性的預(yù)測(cè)方法有多種。這一過(guò)程可以由三個(gè)基本模塊組成。計(jì)算 VaR 時(shí)，首先使用市場(chǎng)因子當(dāng)前的價(jià)格水平，利用金融定價(jià) 公式 [6] 對(duì) 證券組合進(jìn)行估值 。 定義 若用 tP 表示時(shí)間 t 的金融資產(chǎn)價(jià)格， t1P 表示時(shí)間 t 的前一期 t1 的金融資產(chǎn)價(jià)格，則金融資產(chǎn)在時(shí)間 t 的單期對(duì)數(shù)回報(bào)可以定義為 tttt 1Pr = ln =l n +RP（ ） （ 1 ） () 將式 ()在 tR=0 處展開(kāi)，取一階近似有 ttrR? ，因?yàn)?tr 有更好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，所以在實(shí)際中我們常以 tr 代替 tR 。由公式 ()，最小回報(bào)可以表示為 *R=????? 假定參數(shù) ? 和 ? 是一天的時(shí)間間隔上計(jì)算出來(lái)的，則時(shí)間間隔為△ t 的相對(duì) VaR 為 *R 0 0V a R = P R = P t? ? ? ? ? ?（ ） () 因此， VaR 是分布的標(biāo)準(zhǔn)差與由置信水平確定的乘子的乘積。 首先，把一般的分布 ()fR變換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 ???? ，其中 ? 的均值為 0、 標(biāo)準(zhǔn)差為1?？紤]證券組合未 來(lái)日回報(bào)行為的隨機(jī)過(guò)程，假定其未來(lái)回報(bào)的概率密度函數(shù)為 ()fR，則對(duì)于某一置信水平 c 下的證券組合最低回報(bào)率 *R ，有 * ()Rc f R dR??? 或 3 *1 ( )Rc f R dR????? 無(wú)論分布是離散的還是連續(xù)的、厚尾還是瘦尾，這種表達(dá)方式對(duì)于任何分布都是有效的。其含義是指，該公司可以以 95%的可能性保證， 1990 年每一特定時(shí)點(diǎn)上的證券組合在未來(lái) 24 小時(shí)之內(nèi)，由于市場(chǎng)價(jià)格變動(dòng)而帶來(lái)的損失不會(huì)超過(guò) 1000 萬(wàn)美元。更為確切的是指，在一定的概率水平下 (置信度 )，某一金融資產(chǎn)或證券組合在未來(lái)的特定的一段時(shí)間內(nèi)的最大可能 損失 [5] 。因此，尋求GARCH 模型有效的參數(shù)估計(jì)方法成為了目前 VaR 計(jì)算的重點(diǎn)和難點(diǎn)。近幾年來(lái)，金融資產(chǎn)波動(dòng)性和相關(guān)性估計(jì)和預(yù)測(cè)的主流方法是 GARCH 模型。 1994 年 公司公布了他們的 VaR 系統(tǒng) RiskMetrics，它能夠測(cè)評(píng)全世界 30 個(gè)國(guó)家 140種金融工具的 VaR 大小。一些權(quán)威金融研究機(jī)構(gòu)的調(diào)查表明，自二十世紀(jì) 80 年代以來(lái)， VaR 己經(jīng)為眾多商業(yè)銀行、投資銀行、非金融公司、機(jī)構(gòu)投資者及監(jiān)管機(jī)構(gòu)所使用和關(guān)注。 (2)技術(shù)進(jìn)步 :70年代以來(lái)由于現(xiàn)代金融理論的突破 (主要 Black一 Scholes 期權(quán)定價(jià)公式 )、信息技術(shù) (計(jì)算機(jī)與通訊技術(shù) )的巨大進(jìn)展及金融工程技術(shù)的出現(xiàn)與廣泛應(yīng)用，導(dǎo)致的以衍生工具的爆發(fā)性增長(zhǎng)為標(biāo)志的“金融創(chuàng)新”活動(dòng)在提高了金融市場(chǎng)有效性的同時(shí)，也增加了金融市場(chǎng)的波動(dòng)性與脆弱性。 1 引 言 近 20 年來(lái)，隨著經(jīng)濟(jì)的全球化及投資的自由化，金融市場(chǎng)的波動(dòng)性日益加劇，金融風(fēng)險(xiǎn)管理已成為金融機(jī)構(gòu)和工商企業(yè)管理的核心內(nèi)容。 (3)金融創(chuàng)新與放松管制 :西方主要發(fā)達(dá)國(guó)家奉行的“放松金融管制”浪潮又為金融創(chuàng)新提供了良好的環(huán)境。許多金融機(jī)構(gòu)都將 VaR 作為防范金融風(fēng)險(xiǎn)的第一道防線，并且開(kāi)發(fā)了利用 VaR 進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)管理的軟件。由于 VaR 作為進(jìn)行市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)度量的一種工具，它不僅可以給股份的持有者提供風(fēng)險(xiǎn)量化指標(biāo)，指導(dǎo)內(nèi)部決策的制定 。因此，合理的確定 GARCH 模型就成為了 VaR 計(jì)算的關(guān)鍵。 本文主要針對(duì) GARCH 模 型參數(shù)的估計(jì)方法 BHHH 方法進(jìn)行改進(jìn)，運(yùn)用最優(yōu)化理論的乘子法 (PHR)和模擬退火算法 (SAA)進(jìn)行參數(shù)估計(jì) 。 可表示為 ： Pr ( P V a R ) 1o b c? ? ? （ ） 其中， P? 為證券組合在持有期 t? 內(nèi)的損失 ； VaR 為置信水平 c 下處于風(fēng)險(xiǎn)中的價(jià) 值。 VaR 的一般計(jì)算方法 一般分布下的 VaR 計(jì)算 考慮一個(gè)證券組合，假定 0P 為證券組合的 初始價(jià)值， R 是持有期內(nèi)的投資回報(bào)率，則在持有期末，證券組合的價(jià)值可以表示為 0P=P (1 )R? 。 正態(tài)分布下 VaR 的計(jì)算 如果假定分布是 正態(tài)分布形式，則 可以簡(jiǎn)化 VaR 的計(jì)算 [6] 。用最低回報(bào) *R 表示的組合價(jià)值的最小值為 **0P (1 )PR??。 類(lèi)似地，對(duì)于絕對(duì) VaR 有如下的形式 *A 0 0V a R = P R = P t t? ? ? ? ? ? ?（ ） () 這種方法可以推廣到正態(tài)分布和其他的累積概率密度函數(shù)，其中所有的不確 定性 4 都體現(xiàn)在 ? 上，其他的分布會(huì)得到不同的 ? 值。若 2tr ~N ??（ ， ） ，假定參數(shù) ? 和 ? 是一天的時(shí)間間隔上計(jì)算出來(lái)的，則時(shí)間間隔為 t? 的相對(duì) VaR 為 ， R0VaR =P t?? ? （ ） 類(lèi)似地，對(duì)于絕對(duì) VaR 有如下的形式 R0V a R = P t t?? ? ? ? ?（ ） （ ） VaR 計(jì)算的基本原理 VaR 計(jì)算的基本思想 以上分析表明， VaR 計(jì)算的核心在于估計(jì)證券組合未來(lái)?yè)p益的統(tǒng)計(jì)分布或概率密度函數(shù)。然后預(yù)測(cè)市場(chǎng)因子未來(lái)的一系列可能價(jià)格水平 (是一個(gè)概率分布 )，并對(duì)證券組合進(jìn)行重新估值 :在此基礎(chǔ)上計(jì)算證券組合的價(jià)值變化 — 證券組合損益，由此得到證券 組合的損益分布。第一個(gè)模塊是映射過(guò)程 — 把組合中每一頭寸的回報(bào)表示為其市場(chǎng)因子的函數(shù) ； 第二個(gè)模塊是市場(chǎng)因子的波動(dòng)性模型 — 預(yù)測(cè)市場(chǎng)因子的波動(dòng)性 ； 第三個(gè)模塊是估值模型 — 根據(jù)市場(chǎng)因子的波動(dòng)性估計(jì)組合的價(jià)值變化和分布。 VaR 計(jì)算中最常用的方法有以下幾 （ l） 歷史模擬法 歷史模擬法假定回報(bào)分布為獨(dú)立同分布，市場(chǎng)因子的未來(lái)波動(dòng)與歷史波動(dòng)完全一樣。 （ 3） 情景分析 情景分析采用市場(chǎng)因子波動(dòng)的特定假定 (如極端市場(chǎng)事件 )定義和構(gòu)造市場(chǎng)因子的未來(lái)變化情景。 Risk Metrics 假定市場(chǎng)因子變化服從正態(tài)分布。 分析方法最簡(jiǎn)單的形式可以表示為 rVs? ? ? 具體的金融工具的不同形式的靈敏度和定價(jià)公式可參見(jiàn)參考文獻(xiàn) [3]。由于模擬方法采用的是金融定價(jià)公式而非靈敏度，可以處理市場(chǎng)因子的大范圍變動(dòng)，反映了因市場(chǎng)因子變化而導(dǎo)致的證券組合價(jià)值的完全變化，因此模擬方法是一種全值模型。大量的實(shí)證研究表明，GARCH 類(lèi)模型特別適合于對(duì)金融時(shí)間序列數(shù)據(jù)的波動(dòng)性和相關(guān)性進(jìn)行建模，估計(jì)或預(yù)測(cè)波動(dòng)性和相關(guān)性。一個(gè)是條件均值方程，另一個(gè)是條件方差 方程—— 標(biāo)準(zhǔn)的回歸方程。各種 GARCH 模型的區(qū)別在于條件方差方程采取的形式不同或者 t? 的分布的假設(shè)不同。對(duì)于這種情況，可假定 其 服從 t 分布、混合正態(tài)分布或一般誤差分布，這就是 t 分布的 GARCH 模型、混和正態(tài)分布 GARCH 模型或一般誤差分布的 GARCH 模型。 ARCH 模型的基本思想是： (1)盡管資產(chǎn)收益的隨機(jī)誤差項(xiàng)不存在序列相關(guān)性，但并不獨(dú)立； (2)隨機(jī)誤差項(xiàng)之間的依賴(lài)性可以由其滯后變量的簡(jiǎn)單二次函數(shù)來(lái)描敘。如果存在： ? ?2 2 2 20 1 1t t t q t qE u u u? ? ? ???? ? ? ? ? （ ） 則稱(chēng) tu 服從 q 階的 ARCH 過(guò)程，記 tu ~ARCH（ p）。 假設(shè)一元回歸模型 t t ty x u????， （ ） 其中 ? ?0 1 1, , , k? ? ? ? ? ?? ， ? ?111, , ,tkx x x ? ?? ， ? ?~ ARCHtuq。檢驗(yàn)步驟如下： 一、 建立原假設(shè)： 01: qH ???? 1 1 2: , , ,qH ? ? ? 不全為零 二、 估計(jì) ttt uxy ??? ? ，求 tu? ，計(jì)算 2?tu 。 ARCH 模型的缺點(diǎn) ARCH 模型對(duì)金融序列的條件異方差做出了解釋?zhuān)窃撃Ｐ鸵灿幸恍┤秉c(diǎn)： （一）、 ARCH 模型度參數(shù)的限制相當(dāng)?shù)膹?qiáng)。 tu 的方差經(jīng)常依賴(lài)于滯后多期的變化量，要想準(zhǔn)確的估計(jì)方程就必須估