高中數(shù)學人教b版必修五第3章不等式word學案-wenkub
2022-11-30 23:20:19 本頁面
【正文】 . 六、比較法在證明不等式中的應用 例 8 如果 a2＋ b2＋ c2＝ 1， a， b， c 是實數(shù) ， 試證 ：－ 12≤ ab＋ bc＋ ca≤ 1. 證明 先證： ab＋ bc＋ ca≤ 1 ∵ 1－ (ab＋ bc＋ ca)＝ (a2＋ b2＋ c2)－ (ab＋ bc＋ ca) ＝ 12[(a2＋ b2－ 2ab)＋ (b2＋ c2－ 2bc)＋ (c2＋ a2－ 2ca)] ＝ 12[(a－ b)2＋ (b－ c)2＋ (c－ a)2]≥ 0 ∴ 1≥ ab＋ bc＋ ca 即 ab＋ bc＋ ca≤ 1. 再證： ab＋ bc＋ ca≥ － 12. ∵ ab＋ bc＋ ca－ ?? ??－ 12 ＝ ab＋ bc＋ ca＋ 12 ＝ ab＋ bc＋ ca＋ a2＋ b2＋ c22 ＝12(a2＋ b2＋ c2＋ 2ab＋ 2bc＋ 2ca) ＝ 12(a＋ b＋ c)2≥ 0. ∴ ab＋ bc＋ ca≥ － － 12≤ ab＋ bc＋ ca 綜上所述，－ 12≤ ab＋ bc＋ ca≤ 1. 1． 靈活拆項求函數(shù)最值 例 1 求函數(shù) y＝ x2＋ 5x2＋ 4的最小值 ． 解 y＝ x2＋ 5x2＋ 4＝ x2＋ 4＋ 1x2＋ 4 ＝ x2＋ 4＋ 4x2＋ 4－ 3x2＋ 4. ∵ x2＋ 4＋ 4x2＋ 4≥ 2 4＝ 4. 當且僅當 x2＋ 4＝ 4x2＋ 4，即 x＝ 0 時，取到最小值 4. 因為－ 3x2＋ 4≥ － 32 ， 當 x＝ 0 時，－ 3x2＋ 4取到最小值－ 32. 所以， ymin＝ 4－ 32＝ 52. 當且僅當 x＝ 0 時取到這一最小值 ． 2． 分數(shù)的小性質有著大用途 例 2 求證 ： 12 本章回顧 1． 不等式的基本性質 (1)比較兩個實數(shù)的大小 兩個實數(shù)的大小是用實數(shù)的運算性質來定義的 ， 有 a－ b0? ab； a－ b＝ 0? a＝ b； a－ b0? a ， 若 b0， 則 ab1? ab； ab＝ 1? a＝ b； ab1? ab. (2)不等式的性質 ① 對稱性 ： ab? ba； ② 傳遞性 ： ab， bc? ac； ③ 加法法則 ： ab? a＋ cb＋ c； ④ 移項法則 ： a＋ bc? ac－ b； ⑤ 同向可加性 ： ab， cd? a＋ cb＋ d； ⑥ 乘法法則 ： ab， c0? acbc 或 ab， c0? acbc； ⑦ 同向正數(shù)不等式可乘性 ： ab0， cd0? acbd； ⑧ 乘方法則 ： ab0， n∈ N*? anbn； ⑨ 開方法則 ： ab0， n∈ N*? n an b. 2． 不等式的解法 (1)一元一次不等式的解法 一元一次不等式 ax＋ b0 (a≠ 0)的解集為 ① 當 a0 時 ， ??? ???x|x－ ba ； ② 當 a0 時 ， ??? ???x|x－ ba . (2)一元二次不等式的一般形式為 ax2＋ bx＋ c0， 或 ax2＋ bx＋ c0 (a≠ 0)． 一元二次不等式 、 一元二次方程及二次函數(shù)間的關系 判別式 Δ＝ b2－ 4ac Δ0
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