基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng)-隨機(jī)微分方程-wenkub
2023-03-28 13:47:40 本頁(yè)面
【正文】 資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng) 隨機(jī)微分方程 第一節(jié) 引 言 第二節(jié) 隨機(jī)微分方程的求解 第三節(jié) 隨機(jī)微分方程的主要形式 第四節(jié) 股票價(jià)格對(duì)數(shù)正態(tài)分布的特性 第一節(jié) 引 言 隨機(jī)微分方程 ttttdWtSdttSadS ),(),( ???即將隨機(jī)價(jià)格的變動(dòng)分解為可預(yù)測(cè)和不可預(yù)測(cè)兩部分，且分解過(guò)程用到在時(shí)刻 t的信息集。 原因 參與者知道 將如何變化，他就能完全預(yù)測(cè)這一變量，即對(duì)任一時(shí)刻而言都有 因此這類參與者的隨機(jī)微分方程可寫作 tdS dttSadStt ),(??而其他參與者的隨機(jī)微分方程則是不變。 首頁(yè) 隨機(jī)微分方程模型一般條件 即隨著時(shí)間地推移 ， 主參數(shù)和擴(kuò)展參數(shù)不會(huì)發(fā)生太大幅度地變動(dòng) 。 )(?a )(??首先 首頁(yè) 再尋求當(dāng)時(shí)間間隔 h趨于 0時(shí)的方程的解 其次 如果連續(xù)的時(shí)間過(guò)程 ， tS滿足下列方程 則定義 是隨機(jī)微分方程 的解。 dt從這個(gè)意義上來(lái)講，這兩個(gè)隨機(jī)誤差項(xiàng)之間不存在什么區(qū)別。這一系列小事件形成的“歷史”就是 ｔ 時(shí)刻的信息集 。 st~ tItWd ~ tWd ~tH tH tttt WdtSdttSaSd ~),~(),~(~ ???說(shuō)明 2 因此，弱解需要滿足 首頁(yè) 強(qiáng)解和弱解具有相同的主項(xiàng)和擴(kuò)展項(xiàng)，因此 和 具有相似的統(tǒng)計(jì)特性。 tW首頁(yè) 四、隨機(jī)微分方程解的證明 看一個(gè)特殊的隨機(jī)微分方程： 即在對(duì)看漲期權(quán)定價(jià)之中運(yùn)用的布萊克 ——休斯模型。 因此，求得隨機(jī)微分方程的強(qiáng)解為： tWtt eSS??? ??? )21(02首頁(yè) 要求隨機(jī)微分方程的強(qiáng)解，應(yīng)考慮備選解法，即找出依賴于參數(shù)的函數(shù)，如 然后運(yùn)用伊藤定理來(lái)檢驗(yàn)這一備選項(xiàng)是否滿足隨機(jī)微分方程或相應(yīng)的積分方程。（簡(jiǎn)單） 首先，令 tWt ez ??其次，用伊藤定理 dtedWedz tt WtWt ?? ?? 221??再次，考慮相應(yīng)的積分方程 ?? ??? t Wt sWt dsedWezz ss 0 200 21 ?? ??最后，兩邊求均值 ]21[][][][0200 ????? t Wt sWt dseEdWeEzEzE ss ?? ??而 1][ 0 ?zE 0][ 0 ??tsW dWeE s??首頁(yè) 故 ??? t st dszEzE 0 2 ][211][ ?若記 tt xzE ?][則有 ??? t st dsxx 0 2211 ?所以 tt xdtdx 221 ??且 10 ?x故得 tt ex221 ??即 tt ezE221][ ??從而 ][ Tt SE ][)21(02TtTr zEeS ???首頁(yè) 即 ][ Tt SE]|[2221)21(0 tTTr IeEeS ????)( tTrt eS ?? )( tTrt eS ??所以 tS ][)( TttTr SEe ???][ )(21)21(022 tTWTr eeeS t ??? ??? ]|[)(2121)21(0222ttTtTr IeeEeS ??? ???]|[ )(2121)21(0222ttTtTr IeEeeS ?? ?? ???]|[][ )(21)21(022ttTtTr IeEzEeS ?? ?? ??首頁(yè) 特別 ][00 TrT SEeS ??即當(dāng)時(shí)間 t = 0時(shí)，資產(chǎn)價(jià)格等于預(yù)期將來(lái)的價(jià)格用折現(xiàn)率 r來(lái)進(jìn)行折現(xiàn)。 常系數(shù)的隨機(jī)微分方程描述的是資產(chǎn)價(jià)格圍繞線性趨勢(shì)進(jìn)行的一種波動(dòng)。 對(duì)大多數(shù)資產(chǎn)價(jià)格來(lái)說(shuō) ， 這種指數(shù)趨勢(shì)似乎更符合實(shí)際 。 2tSt誤差項(xiàng)的方差與 是成比例的。 過(guò)程 可與長(zhǎng)期趨勢(shì)發(fā)生較小的偏離 ，但最終會(huì)回復(fù)到正常趨勢(shì) ， 這種偏離的平均度是由參數(shù) 來(lái)控制的 ， 但參數(shù)變小時(shí) ， 偏
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