2-彈性力學(xué)、泛函、變分等基本知識(shí)-wenkub
2022-09-02 19:04:57 本頁(yè)面
【正文】 點(diǎn)是已知的，就可以求得經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的任何面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力 ，因此，這六個(gè)量可以完全確定該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，它們就稱(chēng)為在該點(diǎn)的 應(yīng)力分量 。 彈性體內(nèi)任一點(diǎn)的位移，用此位移在 x、 y、 z三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影 u、 v、 w來(lái)表示。 任一線(xiàn)素的長(zhǎng)度的變化與原有長(zhǎng)度的比值稱(chēng)為 線(xiàn)應(yīng)變 (或稱(chēng)正應(yīng)變 )， 用符號(hào) 來(lái)表示 。 這與正應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定相對(duì)應(yīng) 。 (正的 引起正的 ， 等等 )。 B 39。 B 39。 ? 六個(gè)應(yīng)變分量的總體 ， 可以用一個(gè)列矩陣 來(lái)表示 ： ε? ? ( 4) Tzxyzxyzyxzxyzxyzyx????????????????????????????????????ε[ 位移及應(yīng)變、幾何方程、剛體位移 ] 2022/8/20 有限元法預(yù)備知識(shí) 17 剛體位移 ：由幾何方程可見(jiàn)，當(dāng)彈性體的位移分量完全確定時(shí)，應(yīng)變分量是完全確定的。 彈性體在 x方向的伸長(zhǎng)還伴隨有側(cè)向收縮，即在 y和 z方向的單位縮短可表示為： 式中， μ 為泊松比。 單位伸長(zhǎng)與應(yīng)力之間的關(guān)系完全由兩個(gè)物理常數(shù) E及 μ所確定 。 111 zxzxyzyzxyxy GGG ?????? ??? ， )1(2 ??? EG? ?? ?? ????????????????????????????zxzxyzyzxyxyyxzzzxyyzyxxGGGEEE?????????????????????111)(1)(1)(1[ 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系、物理方程 ] 2022/8/20 有限元法預(yù)備知識(shí) 21 將應(yīng)變分量表為應(yīng)力分量的函數(shù) ， 可稱(chēng)為物理方程的第一種形式 。則稱(chēng)變量 Π 是函數(shù) y(x)的泛函，即： Π = Π [y(x)] 泛函基本知識(shí) 2022/8/20 有限元法預(yù)備知識(shí) 26 實(shí)例：在 xy平面內(nèi)，假設(shè)在 AB兩定點(diǎn)連成的曲線(xiàn)上有一質(zhì)點(diǎn)。 2v g y?2 2 2112( , )0 ( , ) 01d[ ( ) ] d d2T x y xxyysT y x T xv gy??? ? ?? ? ?xy22( , )xy11( , )AB 泛函基本知識(shí) 2022/8/20 有限元法預(yù)備知識(shí) 27 泛函的基本點(diǎn) （ 1）泛函有它的定義域。 （ 2）泛函 Π[y(x)]與可取函數(shù) y(x)有明確的對(duì)應(yīng)關(guān)系。 通過(guò)質(zhì)點(diǎn)滑過(guò)曲線(xiàn)所需時(shí)間的變分為零，即 求得最速降線(xiàn)。 變分法基本知識(shí) 2022/8/20 有限元法預(yù)備知識(shí) 31 xy22( , )xy11( , )xyAB 實(shí)例 ：在 xy平面內(nèi)，假設(shè)在 AB兩定點(diǎn)連成的曲線(xiàn)上有一質(zhì)點(diǎn)。 —— 里茲（ Ritz）法 實(shí)例 [李茲法 變分法的求解 ] 。 ? 2201[ ( ) ] d2x yT y x xgy??? ?? ??? 21 d)](),(,[xx xxyxyxF泛函式常用積分形式表示 xyyFxyFxyyFyyFxxxxdδ)](dd[ 0d]δδ[δ2121???????????????????變分極值條件 [變分及其特性 ] 變分法基本知識(shí) 2022/8/20 有限元法預(yù)備知識(shí) 32 xyyFxx dδ21????? xyyFyyFxx dδ)()δ(21 ?????????? ?)δ(δ ??? yy變分性質(zhì) ? ????? 21 dδ)(ddxx xyyFx變分性質(zhì) )(δ)(δ 21 xyxy ?xyyFxyFxyyFyyFxxxxdδ)](dd[ 0d]δδ[δ2121???????????????????變分極值條件 0)(dd ??????? yFxyFyδ由于 的任意性 歐拉方程 [變分及其特性 ] 變分法基本知識(shí) xy22( , )xy11( , )xyAB2022/8/20 有限元法預(yù)備知識(shí) 33 ???????????????????????????????????? tzztyytxxtttt dddddddddd ?????d ()dFxy? ???歐拉方程 0)( ?????????????? ???? yFyFFF yyyyyxy[變分及其特性 ] 變分法基本知識(shí) 2 2 22dddd x y y y y yF F y F y F F y F yx y x y x y x ? ? ? ??? ? ? ?? ?? ? ?? ??? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?2022/8/20 有限元法預(yù)備知識(shí) 34
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