【正文】 wzvzwzxyzz ??????????????? ??? ，?聯(lián)立得到 幾何方程 ，表明應(yīng)變分量與位移分量之間的關(guān)系 : ( 3 ) ??????????????????????????????????zuxwywzvxvyuzwyvxuzxyzxyzyx??????，[ 位移及應(yīng)變、幾何方程、剛體位移 ] 2022/8/20 有限元法預(yù)備知識(shí) 16 ? 可以證明 ， 如果彈性體內(nèi)任一點(diǎn) ， 已知這三個(gè)垂直方向的正應(yīng)變及其相應(yīng)的三個(gè)剪應(yīng)變 ， 則該點(diǎn)任意方向的正應(yīng)變和任意二垂直線間的剪應(yīng)變均可求出 ， 當(dāng)然也可求出它的最大和最小正應(yīng)變 。 泛函是函數(shù)的函數(shù) 。 δT =0 xy22( , )xy11( , )xyAB 變分法基本知識(shí) 2022/8/20 有限元法預(yù)備知識(shí) 30 [變分及其特性 ] 泛函宗量變分 定義 ：對(duì)于泛函 Π[y(x)]， y(x)是定義域中的任何元素，取 y(x)y0(x) 稱為 y(x)在 y0(x)上的變分，記作δy=y(x)y0(x) 常用 δy=y(x)y0(x)作為泛函宗量 y(x)的變分。 通過(guò)質(zhì)點(diǎn)滑過(guò)曲線所需時(shí)間的變分為零，即 求得最速降線。 111 zxzxyzyzxyxy GGG ?????? ??? ， )1(2 ??? EG? ?? ?? ????????????????????????????zxzxyzyzxyxyyxzzzxyyzyxxGGGEEE?????????????????????111)(1)(1)(1[ 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系、物理方程 ] 2022/8/20 有限元法預(yù)備知識(shí) 21 將應(yīng)變分量表為應(yīng)力分量的函數(shù) ， 可稱為物理方程的第一種形式 。 B 39。 任一線素的長(zhǎng)度的變化與原有長(zhǎng)度的比值稱為 線應(yīng)變 (或稱正應(yīng)變 )， 用符號(hào) 來(lái)表示 。 ?PA=dx,PB=dy,PC=dz ?正應(yīng)力 ???剪應(yīng)力 ?每一個(gè)面上的應(yīng)力分解為一個(gè)正應(yīng)力和兩個(gè)剪應(yīng)力，分別與三個(gè)坐標(biāo)軸平行 彈性力學(xué)基本知識(shí) 2022/8/20 有限元法預(yù)備知識(shí) 5 為了表明這個(gè)正應(yīng)力的作用面和作用方向，加上一個(gè)角碼，例如，正應(yīng)力 σx是作用在垂直于 x軸的面上同時(shí)也沿著 x軸方向作用的。 ??剪應(yīng)力 [ 應(yīng)力的概念 ] 彈性力學(xué)基本知識(shí) 2022/8/20 有限元法預(yù)備知識(shí) 6 應(yīng)力的正負(fù) 如果某一個(gè)面上的外法線是沿著坐標(biāo)軸的正方向，這個(gè)面上的 應(yīng)力就以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸負(fù)方向?yàn)樨?fù)。 反之 ， 線素縮短時(shí) ， 其線應(yīng)變?yōu)樨?fù) 。 ?因此 ， 這六個(gè)量可以完全確定該點(diǎn)的應(yīng)變分量 ， 它們就稱為該點(diǎn)的 應(yīng)變分量 。 說(shuō)明泛函具體含義的一個(gè)實(shí)例： 最速降線問(wèn)題 若對(duì)于某一類函數(shù) {y(x)} 中的每一函數(shù) y(x)， Π 有一值與之對(duì)應(yīng)，或數(shù) Π 對(duì)應(yīng)于函數(shù) y(x)的關(guān)系成立。 變分 δy和函數(shù)微分 dy的區(qū)別： 變分 δy反映的是整個(gè)函數(shù)的改變 函數(shù)微分 dy反映的是同一函數(shù) y(x)因 x取不同值而產(chǎn)生的差異。 變分法基本知識(shí) 2022/8/20 有限元法預(yù)備知識(shí) 29 對(duì)變分學(xué)發(fā)展有重大影響的其中一個(gè)歷史命題： 最速降線問(wèn)題 ：在 A、 B兩端點(diǎn)固定的邊界條件下，從A滑到 B所需的時(shí)間最短。因此 ， 由三個(gè)正應(yīng)力分量與三個(gè)剪應(yīng)力分量引起的一般情形的應(yīng)變 ， 可用疊加法求得；六個(gè)關(guān)系式寫在一起 ， 得左 式 ， 稱為 彈性方程或物理方程 ， 這種空間狀態(tài)的 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系稱為廣義虎克定律 。 A 39。 彈性力學(xué)基本知識(shí) 2022/8/20 有限元法預(yù)備知識(shí) 9 [ 應(yīng) 變 ] 體素的變形 (應(yīng)變 )可以分為兩類： 一類是長(zhǎng)度的變化 ， 一類是角度的變化 。 Ζ、Υ、Χ 彈性力學(xué)基本知識(shí) 2022/8/20 有限元法預(yù)備知識(shí) 4 [ 應(yīng)力的概念 ] 彈性體內(nèi)微小的平行六面體 PABC， 稱為 體素 。 相反，如果某一個(gè)面上的外法線是沿著坐標(biāo)軸的負(fù)方向，這個(gè)面上的應(yīng)力就以沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向?yàn)檎刈鴺?biāo)軸正方向?yàn)樨?fù)。 這與正應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定相對(duì)應(yīng) 。 ? 六個(gè)應(yīng)變分量的總體 ， 可以用一個(gè)列矩陣 來(lái)表示 ： ε? ? ( 4) Tzxyzxyzyxzxyzxyzyx????????????????????????????????????ε[ 位移及應(yīng)變、幾何方程、剛體位移 ] 2022/8/20 有限元法預(yù)備知識(shí) 17 剛體位移 ：由幾何方程可見，當(dāng)彈性體的位移分量完全確定時(shí)，應(yīng)變分量是完全確定的。則稱變量 Π 是函數(shù) y(x)的泛函，即： Π = Π [y(x)] 泛函基本知識(shí) 2022/8/20 有限元法預(yù)備知識(shí) 26 實(shí)例：在 xy平