彈性力學(xué)第三章習(xí)題-wenkub
2023-04-09 01:48:59 本頁(yè)面
【正文】 將u,v代入幾何方程第三式兩邊分開(kāi)變量，并令都等于常數(shù)ω,即從上式分別積分，求出代入u,v，得再由剛體約束條件，代入u,v，得到位移分量的解答：在頂點(diǎn)x=y=0。13. 圖37所示的矩形截面柱體，在頂部受有集中力F和力矩M= 的作用，試用應(yīng)力函數(shù) 求解圖示問(wèn)題的應(yīng)力及位移，設(shè)在A點(diǎn)的位移和轉(zhuǎn)角均為零。由σy推測(cè)Φ的形式，3．由相容方程求應(yīng)力函數(shù)。h/2上，應(yīng)精確滿(mǎn)足式（215），在次要邊界x=0上，只給出了面力的主矢量和主矩，應(yīng)用圣維南原理，用三個(gè)積分的邊界條件代替。①對(duì)于主要邊界，其應(yīng)力邊界條件為：， （d）將式（d）代入式（b），（c），可得 （e）②對(duì)于主要邊界（斜面上），應(yīng)力邊界條件：在斜面上沒(méi)有面力作用，即，該斜面外法線(xiàn)方向余弦為，.由公式（215），得應(yīng)力邊界條件 （f）將式（a）、（b）、（c）、（e）代入式（f），可解得 （g）將式（e）、（g）代入公式（a）、（b）、（c），得應(yīng)力分量表達(dá)式： 10. 設(shè)單位厚度的懸臂梁在左端受到集中力和力矩的作用，體力可以不計(jì)，lh，圖35，試用應(yīng)力函數(shù)Φ=Axy+By2+Cy3+Dxy3求解應(yīng)力分量。將（b）式代入相容方程（225），得 （c）在區(qū)域內(nèi)應(yīng)力函數(shù)必須滿(mǎn)足相容方程，（c）式為y的一次方程，相容方程要求它有無(wú)數(shù)多個(gè)根（全豎柱內(nèi)的y值都應(yīng)滿(mǎn)足它），可見(jiàn)其系數(shù)與自由項(xiàng)都必須為零，即兩個(gè)方程要求 （d）中的常數(shù)項(xiàng)，中的常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)已被略去，因?yàn)檫@三項(xiàng)在的表達(dá)式中成為y的一次項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng)，不影響應(yīng)力分量。由材料力學(xué)解答假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式。，能滿(mǎn)足相容方程，并求出應(yīng)力分量（不計(jì)體力），畫(huà)出圖39所示矩形體邊界上的面力分布（在小邊界上畫(huà)出面力的主矢量和主矩），指出該應(yīng)力函數(shù)能解決的問(wèn)題。顯然，應(yīng)力函數(shù) 所對(duì)應(yīng)的面力，在梁兩端與本題相一致，只是該函數(shù)在上、下邊界面上多出了一個(gè)大小為 的剪應(yīng)力，為了抵消它，在應(yīng)力函數(shù) 上再添加一個(gè)與純剪應(yīng)力對(duì)應(yīng)的應(yīng)力函數(shù) ：由平衡條件得含有待定系數(shù)的應(yīng)力表達(dá)式為：利用邊界條件確定，并求出應(yīng)力分量：上、下邊界：左端部：解得：(體力不計(jì))?【解答】⑴相容條件:不論系數(shù)a取何值，應(yīng)力函數(shù)總能滿(mǎn)足應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程，式(225).⑵求應(yīng)力分量當(dāng)體力不計(jì)時(shí)，將應(yīng)力函數(shù)代入公式(224)，得⑶考察邊界條件上下邊界上應(yīng)力分量均為零，故上下邊界上無(wú)面力.左右邊界上；當(dāng)a0時(shí)，考察分布情況，注意到，故y向無(wú)面力左端: 右端: 應(yīng)力分布如圖所示，當(dāng)時(shí)應(yīng)用圣維南原理可以將分布的面力，等效為主矢，主矩A主矢的中心在矩下邊界位置。 4．圖所示矩形截面簡(jiǎn)支梁受三角形分布荷載作用，試取應(yīng)力函數(shù)為： ，求簡(jiǎn)支梁的應(yīng)力分量（體力不計(jì)）。所以應(yīng)力分量為： ，進(jìn)而求出應(yīng)力解答： 上邊界： 斜邊： 解得： 3．如果 為平面調(diào)和函數(shù)，它滿(mǎn)足 ，問(wèn) 是否可作為應(yīng)力函數(shù)。圖1解：采用半逆解法，設(shè) 。導(dǎo)出使其滿(mǎn)足雙調(diào)和方程： 取任意值時(shí)，上式都應(yīng)成立，因而有：式中， 中略去了常數(shù)項(xiàng)， 中略去了 的一次項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng)，因?yàn)樗鼈儗?duì)應(yīng)力無(wú)影響。 解：將 代入相容條件，得： 滿(mǎn)足雙調(diào)和方程，因此，可作為應(yīng)力函數(shù)。 Oylxlh 解：由滿(mǎn)足相容方程確定系數(shù)A與B的關(guān)系： 含待定系數(shù)的應(yīng)力分量為 由邊界條件確定待定系數(shù)： 、由以上式子可求得： 由此可解得：應(yīng)力分量為，右端固定懸臂梁，長(zhǎng)為l，高為h，在左端面上受分布力作用（其合力為P）。即本題情況下，可解決各種偏心拉伸問(wèn)題?！窘獯稹浚?）將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程（225），顯然滿(mǎn)足（2）將代入式（224），得應(yīng)力分量表達(dá)式（3）由邊界形狀及應(yīng)力分量反推邊界上的面力：①在主要邊界上（上下邊界）上，應(yīng)精確滿(mǎn)足應(yīng)力邊界條件式（215），應(yīng)力因此，在主要邊界上，無(wú)任何面力，即②在x=0，x=l的次要邊界上，面力分別為：因此，各邊界上的面力分布如圖所示：③在x=0，x=l的次要邊界上，面力可寫(xiě)成主矢、主矩形式：x=0上 x=l上 因此，可以畫(huà)出主要邊界上的面力，和次要邊界上面力的主矢與主矩，如圖：(a) (b)因此，該應(yīng)力函數(shù)可解決懸臂梁在自由端受集中力F作用的問(wèn)題。(1)假定應(yīng)力分量的
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