【正文】 y)　　(　　)　　(2) $xy(x+y=y)　　(　　)(3) $xy(x+y=x) 　(　　)　　(4) x$y(y=2x)　　 (　　)答：（1） F （2） F （3）F （4）T1命題“2是偶數(shù)或3是負(fù)數(shù)”的否定是（ ）。則命題“并非每個(gè)實(shí)數(shù)都是有理數(shù)”的符號化表示為（ ）。答：RR ={〈1,1〉，〈1,3〉，〈2,2〉，〈2,4〉}R1 =｛〈2,1〉，〈1,2〉，〈3,2〉，〈4,3〉｝3設(shè)Ａ＝｛1，2，3，4，5，6｝，Ｒ是A上的整除關(guān)系，求R= {(　　　　　)}。(1) 自反的　　(2) 對稱的　　 (3) 傳遞的，對稱的 (4) 傳遞的答：（2）（代數(shù)結(jié)構(gòu)部分）3設(shè)A={2,4,6}，A上的二元運(yùn)算*定義為：a*b=max{a,b}，則在獨(dú)異點(diǎn)A,*中，單位元是( )，零元是( )。答：單位元4設(shè)a是10階群的生成元， 則a4是( )階元素，a3是( )階元素。答：（1） b (2) b4H,是G,的子群的充分必要條件是( )。(1) 不可能是群　　(2) 不一定是群　(3) 一定是群 　(4) 是交換群答：(1)56階有限群的任何子群一定不是（ ）。所以P→QP→(PQ)。故P→Q，Q和R)都為T，即P→Q為T，Q和R都為F。(3) 若D隊(duì)獲亞軍，則B隊(duì)不能獲亞軍。B: B隊(duì)獲亞軍。 本題即證明 A（BC），CA，DB，AD。（3）A={1,2,3}，B={3,2,1,0,1}，R={x,y||x|=|y|且x且yB}。證明：若B=，則BB=。 若B，則BB。從而xA。對任意集合A,B，證明：若A，AB=AC，則B=C。即B=C。因?yàn)锳B=AC，則y,xC。故B=C。解：（1） A{0,1}B={a,0,c,a,1,c,b,0,c,b,1,c}。設(shè)全集U={a,b,c,d,e}, A={a,d}, B={a,b,c}, C={b,d}。 （6）(AB)C。 (4) P(A)P(B)={nhcuj7d3,{a,d}}。（3）若AB，且BC，則AC；（4）若AB，且BC，則AC；證明：(1) 成立。(2) 不成立。反例如下：A={a}, B={{a},b},C={{{a},b},c}。A上的任一良序關(guān)系一定是A上的全序關(guān)系。從而≤為A上的的全序關(guān)系。從而RS是自反的。從而RS是對稱的。從而RS是傳遞的。即x,xR，故IAR。證明：x,yR ，R是對稱的，yRx。R是對稱的，yRx。 R=R1，y,xR。故x，z（RS）（RT） 。(2) x，zR(ST)，則由合成關(guān)系的定義知yB，使得x，yR且y，zST。1設(shè)〈A,≤〉為偏序集，BA，若B有最大(小)元、上(下)確界，則它們是惟一的。1設(shè)A={1,2,3},寫出下列圖示關(guān)系的關(guān)系矩陣，并討論它們的性質(zhì)： 1 1 12 3 2 3 2 3解：（1）R={2,1,3,1,2,3}。它是反自反的、對稱的；（3）R={1,2,2,1,1,3,3,3}。下列哪個(gè)是A的劃分？若是劃分，則它們誘導(dǎo)的等價(jià)關(guān)系是什么？（1）B={{1,3,6},{2,8,10},{4,5,7}}。其誘導(dǎo)的等價(jià)關(guān)系是I{1,2,2,1,1,7,7,1,2,7,7,2,3,5,5,3,3,10,10,3,10,5,5,10,4,6,6,4,4,8,8,4,6,8,8,6}。(11) 下列哪些關(guān)系式成立：ab,ba,ce,ef,df,cf；(12) 分別求出下列集合關(guān)于的極大（?。┰?、最大（?。┰⑸希ㄏ拢┙缂吧希ㄏ拢┐_界（若存在的話）：(a) A。無最大元，c是最小元；無上界，下界是c。上確界是e，下確界是c。(d)的極大元為e,極小元為b,d。解： 因?yàn)閨C12|=12，|H|=3，所以H 的不同右陪集有4 個(gè)：H，{a,a5,a9},{a2,a6,a10},{a3,a7,a11}。由于ak是G的生成元的充分必要條件是k與8互素，故a,a3,a5,a7是G的所有生成元。試問I,*是循環(huán)群嗎？解：I,*是循環(huán)群。從而對任一個(gè)kI,k=2(2k)=12k，故1是的生成元。令H={xG|a證明： c，dH，則對c，dHK，cd。(da) (c由于cc1=c12證明：偶數(shù)階群中階為2 的元素的個(gè)數(shù)一定是奇數(shù)。2證明：有限群中階大于2的元素的個(gè)數(shù)一定是偶數(shù)。故階數(shù)大于2 的元素成對出現(xiàn)，從而其個(gè)數(shù)必為偶數(shù)。2設(shè)G,試證a 假設(shè)ab= a3a)=(a5b))a=((a2(a(ba)a2=(ba2)=ba5，所以b這與已知矛盾。故(a*b)*c= a*(b*c)，從而*滿足結(jié)合律。（3）對aI，因?yàn)閍*（4a）=a+4a2=2=e=4a+a2=(4a)*a。為半群，aS。的子半群。al=ak+l。故Sa,證明：設(shè)G,是一個(gè)群，e是關(guān)于運(yùn)算的單位元。3設(shè)e和0是關(guān)于A上二元運(yùn)算*的單位元和零元，如果|A|1，則e0。即A的所有元素都等于0,這與已知條件|A|1矛盾。證明：（用反證法證明）設(shè)在素不少于兩個(gè)的群G,中存在零元。即G中只有一個(gè)元素，這與|G|2矛盾。 則e1=e1*e2=e2。故x=((a))=((a))=(a)。因?yàn)槿我浑A大于2 的元素和它的逆元的階相等。因?yàn)樵撊旱碾A是偶數(shù)，從而它一定有階為2 的元素。 因?yàn)閍*e=a，所以a*a=a*e。證明：因?yàn)閍1*b∈G，且a*(a1*b)=(a*a1)*b=e*b=b，所以對于a,b∈G，必有x∈G，使得ax=b。由于*滿足消去律，故x1=x2。是可交換半群當(dāng)且僅當(dāng)a,bS，（ab）2=(ab)b))b=(ab2。b)(ba)b))。b=ab=(ab=b3設(shè)群G,＊除單位元外每個(gè)元素的階均為2，則G,＊是交換群。設(shè)*是集合A上可結(jié)合的二元運(yùn)算，且a,bA,若a*b=b*a，則a=b。因?yàn)?是可結(jié)合的，故有b*a=(a*a)*a=a*(a*a)=a*b。（3） a,b,cA,（a*b*c）*（a*c）=（（a*b*c）*a）*c=(a*(b*c)*a)*c且(a*c)*(a*b*c)=a*(c*(a*b*c))=a*(c*(a*b)*c))。是群，作f:GG,aa1。b=(b1a)1)1=b因?yàn)楫?dāng)ab時(shí)，a1b1，即f(a)f(b)，故f是G到G中的一個(gè)單一函數(shù)。對a，bG，因?yàn)镚是可交換群，故f(ab1=f(a)4若群G,＊的子群H,＊滿足|G|＝2|H|，則H,＊一定是群G,＊的正規(guī)子群。否則因?yàn)閍GH，故aHH,HaH。證明：HK也是G 的不變子群。a1aa1ah從而a4設(shè)群G的中心為C（G）={aG|xG,a證明：先證C（G）是G的子群。x=xx= ab)=(ab=xa1。再證C（G）是G的不變子群。下證bC(G)。a）故C（G）是G的不變子群。證明：若G是平凡群，則結(jié)論顯然成立。顯然H{e}，且G沒有非平凡子群，故H=G。這與已知矛盾。4設(shè)H和K都是G 的有限子群，且|H|與|K|互質(zhì)。則HK是一個(gè)元素個(gè)數(shù)大于1的有限集。b,a1 H且a故HK是G的子群，從而也是H和K的子群。對G中任一非單位元a。即a的階就是p，即群G的階。 a,bT, S，是可交換獨(dú)異點(diǎn),(ab)(ab)=((ab)a)b=(a(ba))b=（a(ab)）b=((aa)b)b=(aa)(bb)=ab,即abT。由n和p的定義，顯然有(ak)p=e。但p和q 互質(zhì)，故p|m。證明：aG，由封閉性及|G|=n可知a,a2,…,an,an+1中必有相同的元素，不妨設(shè)為ak=am,km。故b=(an)1=(a1)n,從而a1也是G的生成元。從而km=1，即k=1,m=1或k=1,m=1。令k=mq+r, 0rm。從而b=(am)q。5設(shè)G＝(a)，|G|＝n，則對于n 的每一正因子d，有且僅有一個(gè)d階子群。從而H中的元素是兩兩不同的，易證HG。H1＝(am)，其中am是H1中a 的最小正冪，且|H|=。若d=1 ,則結(jié)論顯然成立。5設(shè)h是從群G1,到G2,的群同態(tài)，G和G2的單位元分別為e1和e2，則（1） h(e1)=e2；（2） aG1，h(a1)=h(a)1；（3） 若HG1，則h(H)G2；（4） 若h為單一同態(tài)，則aG1，|h(a)|=|a|。故cd=h(a)h(b)=h(ab)。(4) 若|a|=n,則an=e1。因?yàn)閔是單一同態(tài)，所以am=e1。故結(jié)論成立。則H是G的子群且|H|=m。階為1 的元素恰有一個(gè)，就是單位元e.若G有一個(gè)4階元素，不妨設(shè)為a，則G=（a）,即G是循環(huán)群 ，從而是可交換群。從而aba, abb, abe,故ab=c。即（a1）k=(ak)1=e。5在一個(gè)群G,*中，若A和B 都是G的子群。因?yàn)锳，B都是G的子群，故a,bG，從而a*bG。同理可證a*bB。證明：設(shè)G={e,a,a,…,a},*，n為正整數(shù)。因?yàn)镚 是交換群，故G的所有元素之積可變成單位元和n對互為逆元的元素之積的積，從而結(jié)果為e。即ax=x,ay+b=y,xb+y=y對x,yQ都成立。根據(jù)逆元的定義，有(a,b)*(c,d)= (ac,ad+b)=(1,0)(c,d)*(a,b)= (ac,cb+d)=(1,0)即ac=1,ad+b=0,cb+d=0。定義G上的關(guān)系R：對任意a,b∈G，aRb 243。即R是自反的。即R是對稱的。從而aRc。證明：(1)(2) a∈G，則對h∈H,令h1=aha1，因?yàn)閍h aH且Ha=aH，所以h2∈H，使得ah=h2a。因?yàn)閔1∈H，所以（h1）1= ah1a1∈aHa1。(4)(1) a∈G，對b∈aH，則h∈H，使得b=ah。反之對b∈Ha，則h∈H，使得b=ha。即Ha=aH。即a*eR=a。b*eR=(y*a)*eR=y*(a*eR)=y*a=b。對bG，記方程a*x=b的惟一解為x。 現(xiàn)證G中每個(gè)元素關(guān)于運(yùn)算*存在逆元。 則b*d=(b*c)*b=e*b=b。 綜上所述，G,*是一個(gè)群。b。因?yàn)镠和K都是G 的子群，所以a1H,b1K ，即cKH。因?yàn)閏=（a1因?yàn)镠K是G的子群，所以c=（a1HK=KH。則cb2)=(( a1(b1a2KH=KH，所以存在a3H,b3K ,使得b1d=( a1（a3(b3b2K。b1)1=b11因?yàn)镠K=KH，所以c1HK。證明：先證HK是G 的子群。k=(hk同理可證，KHHK。 對aG，bHK，有hH，kK，使得b=ha1=aha1)。ka1HK。證明：設(shè)c的階為k。故由元素階的定義有k|m。故由元素階的定義有k|n。6設(shè)G,*為群，a,b,cG。從而ah(ak)故a從而HK是G的子群。故aKH。h1)k。6設(shè)H和K都 是G的不變子群。因?yàn)镠和K都是G的子群，故a11H, b11K。dHK。因?yàn)镠和K都是G的子群，故a1b2=(a1a2）b3。b2。a2)b1)b1 ,d=a2從而KHHK。因?yàn)镠和K都是G 的子群，所以a1H,b1K ，即a1 cKH，則存在aH,bK ,使得c=bb）1=b1證明：HK是G的子群。b*c=c*b=e。下證c為b關(guān)于運(yùn)算的逆元。eL*b=eL*(a*x)=(eL*a)*x=a*x