jvfaaa113三個(gè)正數(shù)的算術(shù)--幾何平均不等式-課件(人教a選修4-5)-wenkub
2022-08-21 12:22:19 本頁面
【正文】 ＋ ? ＋ ann≥ 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號成立． a＝ b ＝ c 不小于 n a1 ? a n a1＝ a2＝ … ＝ an 3 abc [小問題 大思維 ] 1 ．滿足不等式a ＋ b ＋ c3≥3abc 成立的 a ， b ， c 的范圍是什么？ 提示： a， b， c的范圍為 a≥ 0， b≥ 0， c≥ 0. 2．應(yīng)用三個(gè)正數(shù)的算術(shù) —幾何平均不等式，求最值應(yīng)注意 什么？ 提示： 三個(gè)正數(shù)的和為定值，積有最大值；積為定值，和有最小值．當(dāng)且僅當(dāng)三個(gè)正數(shù)相等時(shí)取得． [例 1] 已知 x∈ R＋ ，求函數(shù) y＝ x(1－ x2)的最大值． [ 精講詳析 ] 本題考查三個(gè)正數(shù)的算術(shù) — 幾何平均不等式在求最值中的應(yīng)用．解答本題要根據(jù)需要拼湊出利用其算術(shù) — 幾何平均不等式的條件，然后再求解． ∵ y ＝ x (1 － x2) ， ∴ y2＝ x2(1 － x2)2＝ 2 x2(1 － x2)(1 － x2) x 1a ＋ c＞ 0 ， ∴ ( a ＋ b ＋ c )(1a ＋ b＋1b ＋ c＋1a ＋ c) ≥92. 當(dāng)且僅當(dāng) a ＝ b ＝ c 時(shí)，等號成立． [悟一法 ] 三個(gè)正數(shù)的算術(shù) —幾何平均不等式定理，是根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)和比較法證出的，因此，凡是可以利用該定理證明的不等式，一般都可以直接應(yīng)用比較法證明，只是在具備條件時(shí)，直接應(yīng)用該定理會更簡便．若不直接具備 “一正二定三相等 ”的條件，要注意經(jīng)過適當(dāng)?shù)暮愕茸冃魏笤偈褂枚ɡ碜C明． 連續(xù)多次使用平均不等式定理時(shí)要注意前后等號成立的條件是否保持一致． [通一類 ] 證明： ∵ 0 a 1 ， ∴ 1 － a 0. ∴ 0 a (1 － a ) ≤ [a ＋ ? 1 － a ?2]2＝14. 同理 0 b (1 － b ) ≤14， 0 c (1 － c ) ≤14 將以上三個(gè)不等式相乘得 abc (1 － a )(1 － b )(1 － c ) ≤ (14)3
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