jvfaaa113三個(gè)正數(shù)的算術(shù)--幾何平均不等式-課件(人教a選修4-5)(參考版)
2024-08-04 12:22本頁面
【正文】 昆明模擬 ) 已知 a ， b ， c 均為正數(shù)，證明： a 2 ＋ b 2 ＋c 2 ＋ (1a ＋1b ＋1c )2 ≥ 6 3 ，并確定 a ， b ， c 為何值時(shí)，等號(hào)成立． [ 證明 ] 法一 ： 因?yàn)?a ， b ， c 均為正數(shù)，由平均值不等式得 a2＋ b2＋ c2≥ 3( abc )23， ① 1a＋1b＋1c≥ 3( abc )1－3， 所以 (1a＋1b＋1c)2≥ 9( abc ) 2－3. ② 故 a2＋ b2＋ c2＋ (1a＋1b＋1c)2≥ 3( abc ) 23＋ 9( abc ) 2－3. 又 3( abc ) 23＋ 9( abc ) 2－3≥ 2 27 ＝ 6 3 ， ③ 所以原不等式成立． 當(dāng)且僅當(dāng) a ＝ b ＝ c 時(shí)， ① 式和 ② 式等號(hào)成立．當(dāng)且僅當(dāng) 3( abc ) 23 ＝ 9( abc ) 2－3 時(shí)， ③ 式等號(hào)成立． 即當(dāng)且僅當(dāng) a ＝ b ＝ c ＝ 314 時(shí)，原不等式等號(hào)成立． 法二 ： 因?yàn)?a ， b ， c 均為正數(shù)，由基本不等式得 a2＋ b2≥ 2 ab ， b2＋ c2≥ 2 bc ， c2＋ a2≥ 2 ac . 所以 a2＋ b2＋ c2≥ ab ＋ bc ＋ ac . ① 同理1a2 ＋1b2 ＋1c2 ≥1ab＋1bc＋1ac， ② 故 a2＋ b2＋ c2＋ (1a＋1b＋1c)2≥ ab ＋ bc ＋ ac ＋ 31ab＋ 31bc＋31ac≥ 6 3 .
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