jvfaaa113三個正數(shù)的算術(shù)--幾何平均不等式-課件(人教a選修4-5)-資料下載頁
2024-08-02 12:22本頁面
【正文】 2＋ c2≥ 3( abc )23， ① 1a＋1b＋1c≥ 3( abc )1－3， 所以 (1a＋1b＋1c)2≥ 9( abc ) 2－3. ② 故 a2＋ b2＋ c2＋ (1a＋1b＋1c)2≥ 3( abc ) 23＋ 9( abc ) 2－3. 又 3( abc ) 23＋ 9( abc ) 2－3≥ 2 27 ＝ 6 3 ， ③ 所以原不等式成立． 當(dāng)且僅當(dāng) a ＝ b ＝ c 時， ① 式和 ② 式等號成立．當(dāng)且僅當(dāng) 3( abc ) 23 ＝ 9( abc ) 2－3 時， ③ 式等號成立． 即當(dāng)且僅當(dāng) a ＝ b ＝ c ＝ 314 時，原不等式等號成立． 法二 ： 因為 a ， b ， c 均為正數(shù)，由基本不等式得 a2＋ b2≥ 2 ab ， b2＋ c2≥ 2 bc ， c2＋ a2≥ 2 ac . 所以 a2＋ b2＋ c2≥ ab ＋ bc ＋ ac . ① 同理1a2 ＋1b2 ＋1c2 ≥1ab＋1bc＋1ac， ② 故 a2＋ b2＋ c2＋ (1a＋1b＋1c)2≥ ab ＋ bc ＋ ac ＋ 31ab＋ 31bc＋31ac≥ 6 3 . ③ 所以原不等式成立． 當(dāng)且僅當(dāng) a ＝ b ＝ c 時， ① 式和 ② 式等號成立，當(dāng)且僅當(dāng) a ＝ b ＝ c ， ( ab )2＝ ( bc )2＝ ( ac )2＝ 3 時， ③ 式等號成立． 即當(dāng)且僅當(dāng) a ＝ b ＝ c ＝ 314 時，原不等式等號成立． 點擊下圖片進入
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