矩陣的等價(jià)-相似-合同的關(guān)系及應(yīng)用-wenkub
2022-08-21 03:28:37 本頁(yè)面
【正文】 ：復(fù)數(shù)域上秩為的二次型，可以用適當(dāng)?shù)臐M秩線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形：. 矩陣的相似關(guān)系 設(shè)均為數(shù)域上階方陣，若存在數(shù)域上階可逆矩陣使,則稱(chēng)矩陣與為相似矩陣（若級(jí)可逆矩陣為正交陣，則稱(chēng)與為正交相似矩陣）.由矩陣的相似關(guān)系，不難得到矩陣與相似，必須同時(shí)具備兩個(gè)條件(1) 矩陣與不僅為同型矩陣，而且是方陣(2) 在數(shù)域上階可逆矩陣，使得(1)反身性 : 。相似矩陣與合同矩陣還有著一定的內(nèi)在聯(lián)系，即相似或合同的兩矩陣分別有相同的秩。 已知。，因此該公司應(yīng)根據(jù)這份預(yù)測(cè)報(bào)告分析原因，采取措施，才能保持并提高是市產(chǎn)場(chǎng)占有率。所以，矩陣A，B，C相互之間既不相似又不合同。若矩陣A，B正交相似時(shí)，則它們既是相似的又是合同的。（3）傳遞性: 和即得 (4) （其中是任意常數(shù)）；(5）；(6）若與相似，則與相似（為正整數(shù)）；(7) 相似矩陣有相同的秩，而且，如果為滿秩矩陣，那么.即滿秩矩陣如果相似，那么它們的逆矩陣也相似.(8）相似的矩陣有相同的行列式；即：如果，則有：(9）相似的矩陣或者都可逆，或者都不可逆；并且當(dāng)它們可逆時(shí)，它們的逆矩陣相似；設(shè)，若可逆，.若不可逆，則不可逆，即也不可逆.下面這個(gè)性質(zhì)是一個(gè)重要的結(jié)論，因此我們把它寫(xiě)成以下定理 相似矩陣的特征值相同. 相似矩陣有相同的跡、合同和相似之間的聯(lián)系與區(qū)別 矩陣的相似與等價(jià)之間的關(guān)系與區(qū)別，但等價(jià)矩陣未必為相似矩陣．證明： 設(shè)階方陣相似，由定義3知存在階可逆矩陣，使得，此時(shí)若記, ,則有,因此由定義1得到階方陣等價(jià)但對(duì)于矩陣,等價(jià)，與并不相似，即等價(jià)矩陣未必相似．但是當(dāng)?shù)葍r(jià)的矩陣滿足一定條件時(shí)，可以是相似的，如下面定理定理 ：對(duì)于階方陣，若存在階可逆矩陣 使,(與等價(jià))，且 (為階單位矩陣)，則與相似．證明： 設(shè)對(duì)于階方陣與,若存在階可逆矩陣,使,即與等價(jià)．又知,若記 ,那么,也即,則矩陣也相似． 矩陣的合同與等價(jià)之間的關(guān)系與區(qū)別：合同矩陣必為等價(jià)矩陣，等價(jià)矩陣未必為合同矩陣．證明： 設(shè)階方陣合同，由定義2得，存在階可逆矩陣，使得， 若記,則有因此由定義1得到階方陣等價(jià)但對(duì)于矩陣,等價(jià)，與并不合同，即等價(jià)矩陣未必合同．什么時(shí)候等價(jià)矩陣是合同的？只有當(dāng)?shù)葍r(jià)矩陣的正慣性指數(shù)相同時(shí)等價(jià)矩陣是合同矩陣 矩陣的合同與相似之間的關(guān)系與區(qū)別合同矩陣未必是相似矩陣 例 單位矩陣 E 與 2E.兩個(gè)矩陣的正負(fù)慣性指數(shù)相同故合同但作為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值不同, 故不相似相似矩陣未必合同例如A與B相似，則存在可逆矩陣P使B=P\BP,如果P的逆矩陣與P的轉(zhuǎn)置矩陣不相等，則相似矩陣不是合同矩陣： 正交相似矩陣必為合同矩陣，正交合同矩陣必為相似矩陣．證明：若存在一個(gè)正交矩陣,即使得即，同時(shí)有，所以與合同.同理
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