【正文】 習(xí)題解答7 20 年以上的概率為 , 活到 25 年以上的概率為 . 問現(xiàn)年 20 歲的這種動物, 它能活到 25 歲以上的概率是多少?解：設(shè) —某種動物由出生算起活到 20 年以上， ， —某種動物由出A ()?B生算起活到 25 年以上， ，則所求的概率為()? ()()()() .58PABA??23． 某 地 區(qū) 歷 史 上 從 某 年 后 30 年 內(nèi) 發(fā) 生 特 大 洪 水 的 概 率 為 80%， 40 年內(nèi) 發(fā) 生 特 大 洪 水 的 概 率 為 85%， 求 已 過 去 了 30 年 的 地 區(qū) 在 未 來 10 年 內(nèi)發(fā) 生 特 大 洪 水 的 概 率 。AB()?()?()PAB解： 。knCkmnC? knmC?1 解法二：令 —第 i 人中獎， B—無一人中獎，則 ，注意到iA,.2,1i?? kAB?21?不獨立也不互斥：由乘法公式k，?21 )()()()( 1213121 ?? kkAPAPB??.nmnmn?????? !,1k knmnmCC?同 除 故 所 求 概 率 為6．從 5 雙不同的鞋子中任取 4 只，這 4 只鞋子中“至少有兩只配成一雙” （事件A）的概率是多少？ 解：125840()CP??7． 在 上 任 取 一 點 ， 求 該 點 到 原 點 的 距 離 不 超 過 的 概 率 . ??,X15概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題解答3解 ： 此為幾何概率問題： ,所求事件]1[，???占有區(qū)間 ，從而所求概率為 .]51[，?25P?8． 在 長 度 為 的 線 段 內(nèi) 任 取 兩 點 ， 將 其 分 成 三 段 ， 求 它 們 可 以 構(gòu) 成 一 個 三a角 形 的 概 率 。(10)“三人中至多一人中靶”： 。BA?概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題解答2 (5)“ 三人中至少有一人中靶”： 。概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題解答1第一章思 考 題1．事件的和或者差的運算的等式兩端能“移項”嗎？為什么？2．醫(yī)生在檢查完病人的時候搖搖頭“你的病很重，在十個得這種病的人中只有一個能救活. ”當(dāng)病人被這個消息嚇得夠嗆時，醫(yī)生繼續(xù)說“，我已經(jīng)看過九個病人了，他們都死于此病，所以你不會死” ，醫(yī)生的說法對嗎？為什么？３．圓周率 是一個無限不循環(huán)小數(shù), 我國數(shù)學(xué)家祖沖之第一次把????它計算到小數(shù)點后七位, 這個記錄保持了 1000 多年! 以后有人不斷把它算得更精確. 1873 年, 英國學(xué)者沈克士公布了一個 的數(shù)值, 它的數(shù)目在小數(shù)點后一共有 707 位之多! ?但幾十年后, 曼徹斯特的費林生對它產(chǎn)生了懷疑. 他統(tǒng)計了 的 608 位小數(shù), 得到了下表:?67584625687260 9431出 現(xiàn) 次 數(shù)數(shù) 字你能說出他產(chǎn)生懷疑的理由嗎?答：因為 是一個無限不循環(huán)小數(shù)，所以，理論上每個數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)應(yīng)近似相等，?或它們出現(xiàn)的頻率應(yīng)都接近于 ，但 7 .4．你能用概率證明“三個臭皮匠勝過一個諸葛亮”嗎？５．兩事件 A、B 相互獨立與 A、B 互不相容這兩個概念有何關(guān)系？對立事件與互不相容事件又有何區(qū)別和聯(lián)系？６．條件概率是否是概率？為什么？習(xí) 題1． 寫 出 下 列 試 驗 下 的 樣 本 空 間 ：（ 1） 將 一 枚 硬 幣 拋 擲 兩 次答 ： 樣 本 空 間 由 如 下 4 個 樣 本 點 組 成 {(,),(,),}??正 正 ， 正 反 ， 反 正 ， 反 反（ 2） 將 兩 枚 骰 子 拋 擲 一 次答 ： 樣 本 空 間 由 如 下 36 個 樣 本 點 組 成 　 　 　(,)1,2345,6ij（ 3） 調(diào) 查 城 市 居 民 （ 以 戶 為 單 位 ） 煙 、 酒 的 年 支 出答 ： 結(jié) 果 可 以 用 （ x， y） 表 示 ， x， y 分 別 是 煙 、 酒 年 支 出 的 元 數(shù) .這 時 ，樣 本 空 間 由 坐 標(biāo) 平 面 第 一 象 限 內(nèi) 一 切 點 構(gòu) 成 . {(,)0,}xy???2．甲，乙，丙三人各射一次靶，記 “甲中靶” “乙中靶 ” “丙中靶” 則可?A?B?C用上述三個事件的運算來分別表示下列各事件： (1) “甲未中靶”： 。CBA?(6)“三人中至少有一人未中靶”： 或 。CBACBA?(11)“三人中至多兩人中靶”： 或 。解 ： 設(shè) 一 段 長 為 ，另一段長為 ，樣本空間 ，xy:0,0xayxya????所求事件滿足： 02()ayxx????????從而所求概率＝ .14CDEOABS?:9． 從 區(qū) 間 內(nèi) 任 取 兩 個 數(shù) ， 求 這 兩 個 數(shù)(0,)的 乘 積 小 于 的 概 率 。 ()(.???11． 設(shè) 、 為 兩 個 事 件 ， ， ， 求 . ()()()? 解： .1[())]1[]6PABPABPAB????????概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題解答412． 假 設(shè) ， ， 若 、 互 不 相 容 ， 求 ； 若 、()?()??AB()PBA相 互 獨 立 ， 求 。解 ： 設(shè) —某 地 區(qū) 后 30 年 內(nèi) 發(fā) 生 特 大 洪 災(zāi) ， ， —某 地 區(qū) 后 40A ().8PA?B年 內(nèi) 發(fā) 生 特 大 洪 災(zāi) ， ，則所求的概率為().85PB?.()()()1()112BAPA?????24．設(shè)甲、乙兩袋，甲袋中有 2 只白球，4 只紅球；乙袋中有 3 只白球，2 只紅球.今從甲袋中任意取一球放入乙袋中，再從乙袋中任意取一球。解 ： 設(shè) 試 驗 E—從 二 盒 火 柴 中 任 取 一 盒 ， —取 到 先 用 完 的 哪 盒 ，A，1()2PA?則 所 求 概 率 為 將 E 重 復(fù) 獨 立 作 次 發(fā) 生 次 的 概 率 ， 故 所 求 的 概 率 為2nr?n.221()()rrnrnrrCPC????? 第二章思 考 題1. 隨機變量的引入的意義是什么？答：隨機變量的引入,使得隨機試驗中的各種事件可通過隨機變量的關(guān)系式表達出來，其目的是將事件數(shù)量化，從而隨機事件這個概念實際上是包容在隨機變量這個更廣的概,對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的研究,就由對事件及事件概率的研究轉(zhuǎn)化為隨機變量及其取值規(guī)律的研究,使人們可利用數(shù)學(xué)分析的方法對隨機試驗的結(jié)果進行廣泛而深入的研究.隨機變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件，隨機事件是從靜態(tài)的觀點來研究隨機現(xiàn)象,而隨機變量的引入則變?yōu)榭梢杂脛討B(tài)的觀點來研究. ？為什么要引入分布函數(shù)？答：隨機變量與分布函數(shù)取值都是實數(shù)，但隨機變量的自變量是樣本點，不是普通實數(shù)，故隨機變量不是普通函數(shù)，不能用高等數(shù)學(xué)的方法進行研究，而分布函數(shù)一方面是高等數(shù)學(xué)中的普通函數(shù)，另一方面它決定概率分布，故它是溝通概率論和高等數(shù)學(xué)的橋梁，利用它可以將高度數(shù)學(xué)的方法得以引入.3. 除離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量，還有第三種隨機變量嗎？概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題解答11答：有，稱為混合型. 例：設(shè)隨機變量 ，令??2,0~UX??????.1,。 ,10 XYfyyf??????? 隨 機 變 量 服 從 上 的 均 勻 分 布 ， 分 別 求 隨 機 變 量 和(,1) XYe?的 概 率 密 度 和 .lnZX?YfyZfz 解： 的密度為 ，1, 01()xfx??????若其 它（1）函數(shù) 有唯一反函數(shù)， ，且 ，故 xyelnxyYe?.(ln), 1() Xfyef ???????0,其 它1, y?????0其 它（2）在區(qū)間 上，函數(shù)(,1)概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題解答20，它有唯一反函數(shù) ，且 ，從而lnlzx??zxe??0Z? .(), () zXZfefz???????0,其 它 , zz????其 它27. 設(shè) 為 的密度函數(shù)，且為偶函數(shù)，求證 與 有相同的分布.??Xfx X?證：即證 與 的密度函數(shù)相同，即 .Y????Yfyf?證法一（分布函數(shù)法），??????11Y XFyPXyPyFy??????，得證.???1Xppy???證法二（公式法） 由于 為單調(diào)函數(shù)， .yx????39。}{,13,2???PPP （2）由已知易得 22}{X16 解 由已知得 ),(YX),1(?(1,1) (1,0) ( ,2)1( ,1) ( ,0)1(3,2) (3,1) (3,0)概率 22320 20 12?3 2 1 1 2 3概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題解答27YX?1 0 1 253215 4 3所以有 ?3 2 1 3 11 3P121222YX?1 0 1 2353 5P12312117 證明：對任意的 我們有,2nk???（因為 與 相互獨立）???i ikYPiXZ0}{}{ XY= ?ki inikinqpCq0)(221= （利用組合公式 ）??ki kin121)( ????ki knmikniC0= kqpC??21即 ～YXZ),(21nb18 解 在[0，2]中取值，按卷積公式 的分布密度為：?Z,)()())( 10dxzfdxzfxzf YY????????如圖，????????,:,10:即其 中概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題解答28 時10??zxz2 x1 時210??zx x從而： ?????????。jR CBA?(2)因為試驗指標(biāo)越大越好,因此按 原則選取各因子的水平,得最優(yōu)搭),max(321jjk配方案: .23CBA4. 解:最好的生產(chǎn)工藝條件是: 12ECDBA5..解: 現(xiàn)在 ,為求線性回歸方程,所需計算列表如下:10?n概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題解答47序號 ixiy2ix2iyiyx1234567891010011012013014015016017018019045515461667074788589100001210014400169001960022500256002890032400361002025260129163721435649005476608472257921450056106480793092401050011840132601530016910?1450 673 218500 47225 1015708250140285????xS396717y于是,可得 的估計值為ab,???? ?????????nini xybyxaS11 )(? .?從而回歸方程為.?:(1)畫出散點圖略.(2)求線性回歸方程 .xbay???現(xiàn)在 ,為求線性回歸方程,所需計算列表如下:7n序號 ixi 2ix2iyiyx121518225324概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題解答4834567192126361441676? ????xS6。nY?XY1??XY?或直接計算: ,)((),() DnDCov? )()()](([),( 2XEEXnEYXCov ????????故 .1?20 解: ),(44),2(4)2( YCovDXYCovDD?? , ????????XYX 57),()( ???v21 證明：顯然 1)(ABPE? ),(,)YAPX?而由 0?Y? ,0)()(,0)]}()][({[ ?????YEXEE,)( BPAX?即 相互獨立. 即：任意兩個服從 0—1 分布的隨機變量