柯西中值定理的證明及應(yīng)用-wenkub
2023-07-08 14:37:18 本頁面
【正文】 微分中值定理是微分學(xué)中的重要定理，它包括羅爾定理、拉格朗日定理、柯西中值定理，而柯西中值定理較前兩者更具有一般性、代表性，其敘述如下：柯西中值定理：設(shè)函數(shù)f(x),g(x)滿足(1) 在上都連續(xù)。（2） ,則稱這列區(qū)間形成一個(gè)閉區(qū)間套. 閉區(qū)間套定理 如果形成一個(gè)區(qū)間套，則存在惟一的實(shí)數(shù)屬于所有的閉區(qū)間，且 . 引理1 設(shè)函數(shù)在上有定義，且在處可導(dǎo)，又為一閉區(qū)間套，且，則.引理2 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，則存在且 ，使得.現(xiàn)在把引理2推廣為：引理3 設(shè)函數(shù)，在上連續(xù)，且是單射，則存在，且 ，使.下面證明柯西中值定理：證明 首先證明，當(dāng)且時(shí)，有.反設(shè)，由引理2，存在，且，使,從而. 在上再次應(yīng)用引理2有，存在，且，使，從而又有. 反復(fù)利用引理2，最終可得一個(gè)閉區(qū)間套，滿足，且，由閉區(qū)間套定理，存在，使,根據(jù)引理1得：, 這與條件相矛盾. 再根據(jù)引理3，存在，且，使,反復(fù)利用引理3，類似與前面的證明，可得閉區(qū)間套，滿足且.由閉區(qū)間套定理存在，使。 application參考文獻(xiàn)[1] 陳紀(jì)修，於崇華，金路，數(shù)學(xué)分析（上）[M]. 第二版北京：[2] （上）[M].第三版 北京：[3] [M]. 第二版北京： [4] 黃德麗 用五種方法證明柯西中值定理[J]湖州師范學(xué)院學(xué)報(bào), 2003, 27～30[5] 張躍平,葛健芽,沈利紅. 柯西中值定理的證明與應(yīng)用[J]金華職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào), 2006, 57～60[6] 葛健芽, 張躍平, 沈利紅. 再探柯西中值定理[J]. 金華職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào), 2007, 81～84第 16 頁 共 16 頁。 The applications contend: solving the problem of limitation, proving inequality, proving monotonicity, proving unanimously successive, proving the function have border, proving unanimously succe
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