復(fù)變函數(shù)與積分變北京郵電大學(xué)課后的習(xí)題答案-wenkub
2023-07-03 08:23:57 本頁(yè)面
【正文】 級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,收斂半徑為所以收斂圓周(4) 記 所以時(shí)絕對(duì)收斂,收斂半徑收斂圓周.(1) (2) 解: (1)故收斂半徑R=1,由逐項(xiàng)積分性質(zhì)，有：所以于是有：(2) 令：故R=∞, 由逐項(xiàng)求導(dǎo)性質(zhì)由此得到即有微分方程故有：， A, B待定。所以在內(nèi)，的冪級(jí)數(shù)展開式的系數(shù)是實(shí)數(shù)..解:函數(shù)有奇點(diǎn)與,有三個(gè)以為中心的圓環(huán)域,：.解:令則而在內(nèi)展開式為所以,代入可得,并根據(jù)運(yùn)算做出如下結(jié)果因?yàn)?所以有結(jié)果你認(rèn)為正確嗎?為什么?答:不正確,因?yàn)橐蠖笏?在不同區(qū)域內(nèi): 用z的冪表示的羅朗級(jí)數(shù)展開式中的系數(shù)為證明:因?yàn)楹褪堑钠纥c(diǎn)，所以在內(nèi)，的羅朗級(jí)數(shù)為其中其中C為內(nèi)任一條繞原點(diǎn)的簡(jiǎn)單曲線.22. 是函數(shù)的孤立奇點(diǎn)嗎?為什么?解: 因?yàn)榈钠纥c(diǎn)有所以在的任意去心鄰域，總包括奇點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，z=0。(n1))一級(jí)極點(diǎn)由于∴(2) c:|z|=2取正向．解：因?yàn)樵赾內(nèi)有z=1，z=i兩個(gè)奇點(diǎn)．所以6. 計(jì)算下列積分．(1)因被積函數(shù)為θ的偶函數(shù)，所以令則有設(shè) 則被積函數(shù)在|z|=1內(nèi)只有一個(gè)簡(jiǎn)單極點(diǎn)但所以又因?yàn)椤?2) ，|a|1．解：令 令z=eiθ．，則得(3)，a0，b0．解：令，被積函數(shù)R(z)在上半平面有一級(jí)極點(diǎn)z=ia和ib．故（4）. ，a0．解：令，則z=177。 (2) f(1)=1, f(i)= .解：將上半平面Im(z)0, 映為單位圓|w|1的一般分式線性映射為w=k(Im()0).(1) 由f(i)=0得=i，又由arg,即,，得，所以.(2) 由f(1)=1,得k=；由f(i)= ,得k=聯(lián)立解得.12. 求將|z|1映射成|w|1的分式線性變換w=f(z)，并滿足條件：(1) f()=0, f(1)=1. (2) f()=0, , (3) f(a)=a, .解：將單位圓|z|1映成單位圓|w|1的分式線性映射，為 , ||1.(1) 由f()=0，(1)=1，知.故.(2) 由f()=0，知，又，于是 .(3) 先求，使z=a，,且|z|1映成||1.則可知 再求w=g()，使=0w=a, ,且||1映成|w|1.先求其反函數(shù),它使|w|1映為||1,w=a映為=0，且,則 .因此，所求w由等式給出..13. 求將頂點(diǎn)在0，1，i的三角形式的內(nèi)部映射為頂點(diǎn)依次為0，2，1+i的三角形的內(nèi)部的分式線性映射.解：直接用交比不變性公式即可求得∶=∶.=..14. 求出將圓環(huán)域2|z|5映射為圓環(huán)域4|w|10且使f(5)=4的分式線性映射.解：因?yàn)閦=5,5,2,2映為w=4,4,10,10,由交比不變性，有∶=∶故w=f(z)應(yīng)為∶=∶即 =.討論求得映射是否合乎要求，由于w=f(z)將|z|=2映為|w|=10，且將z=5映為w=|z|2映為|w|=f(z)將|z|=5映為|w|=4，將z=2映為w=10，所以將|z|5映為|w|4，由此確認(rèn)，此函數(shù)合乎要求.？解：略.16. 映射w=ez將下列區(qū)域映為什么圖形.(1) 直線網(wǎng)Re(z)=C1,Im(z)=C2。假設(shè)，當(dāng)n=k1時(shí), 有現(xiàn)證當(dāng)n=k時(shí)8. 記，如果a為常數(shù),證明:證明：設(shè)，由定義9. 記，證明:,即證明：(1) (2) (3) (4) (5) (6 解：(1) (2) (3) (4)(5) (6), g, h均滿足當(dāng)t0時(shí)恒為零，證明以及證明：證明：設(shè)，則，則，所以13. 求下列函數(shù)的拉普拉斯逆變換.(1) (2) (3)(4) (5) (6 解：(1)(2)(3故(4)因?yàn)樗?5)其中所以(6)所以證明：又因?yàn)樗裕鶕?jù)卷積定理證明：因?yàn)樗?，根?jù)卷積定理有16. 求下列函數(shù)的拉普拉斯逆變換.(1) (2) (3)(4)解:(1) 故(2)：(3)故(4)故且所以(1) (2) (3) (4) (5) 解: (1)設(shè)方程兩邊取拉氏變換,得為Y(s)的三個(gè)一級(jí)極點(diǎn),則(2) 方程兩邊同時(shí)取拉氏變換,得(3)方程兩邊取拉氏變換,得因?yàn)橛衫献儞Q的微分性質(zhì)知，若L[f(t)]=F(s),則即因?yàn)樗怨视?4)方程兩邊取拉氏變換,設(shè)L[y(t)]=Y(s),得故(5)設(shè)L[y(t)]=Y(s),則方程兩邊取拉氏變換,得故(1) (2) 解:(1) 設(shè)微分方程組兩式的兩邊同時(shí)取拉氏變換,得得(2)代入(1)，得(3)代入(1)，得(2)設(shè) 方程兩邊取拉氏變換,得(3)代入(1)：所以故(1) (2) 解：(1)設(shè)L[x(t)]=X(s), 方程兩邊取拉氏變換,得(2)設(shè)L[y(t)]=Y(s), 方程兩邊取拉氏變換,得。(3) 半帶形區(qū)域.解：（1） 令z=x+iy, Re(z)=C1, z=C1+iy, Im(z)=C2,則z=x+iC2故將直線Re(z)映成圓周；直線Im(z)=C2映為射線.（2） 令z=x+iy，,則故將帶形區(qū)域映為的張角為的角形區(qū)域.（3） 令z=x+i
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