第三節(jié)-最小二乘估計(jì)量的性質(zhì)-wenkub
2023-07-02 14:31:22 本頁面
【正文】 第二項(xiàng)為：第三項(xiàng)為：故有，也就是說如令，則意味著。進(jìn)一步，殘差的方差可以作為隨機(jī)擾動項(xiàng)的方差的估計(jì)值。用數(shù)學(xué)的語言可以描述為：和。 系數(shù)估計(jì)值的均值是多少呢？ 根據(jù)系數(shù)估計(jì)值的無偏性，我們知道。第四節(jié) 系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)一、 系數(shù)估計(jì)值的特性：根據(jù)系數(shù)估計(jì)值的線性特性，我們知道系數(shù)估計(jì)值是和的線性組合。而在此時，有即兩個估計(jì)值相等。其數(shù)學(xué)上要求是和。至此，參數(shù)的線性特性證明完畢。（2）因?yàn)椋杂羞@說明是的線性組合。第三節(jié) 最小二乘估計(jì)量的性質(zhì)三大性質(zhì)：線性特性、無偏性和最小偏差性一、 線性特性的含義線性特性是指參數(shù)估計(jì)值和分別是觀測值或者是擾動項(xiàng)的線性組合，或者叫線性函數(shù)，也可以稱之為可以用或者是來表示。需要指出的是，這里用到了以及的線性特征證明（1）因?yàn)?，所以有這里，令，則有這說明是的線性組合。問題參數(shù)估計(jì)值線性特性的深層次含義是什么？要根據(jù)被解釋變量、隨機(jī)擾動項(xiàng)和的隨機(jī)性來理解。證明：根據(jù)參數(shù)估計(jì)值的線性特征，我們推導(dǎo)出：，所以有：相似地，所以有三、 最優(yōu)性（有的書本上直接稱之為最小方差性）的含義最優(yōu)性是指用最小二乘法得到的參數(shù)估計(jì)值和在各種線性無偏估計(jì)中得到的方差最小。因?yàn)榈淖钚》讲畹扔诘姆讲?，即，因此，我們說，在所有線性無偏估計(jì)中的方差最小，且最小方差為：同理，我們可以證明，在所有線性無偏估計(jì)中的方差最小，且參數(shù)估計(jì)值的方差為：。又因?yàn)楹投挤恼龖B(tài)分布，所以，我們可以自然得到兩點(diǎn)：一是系數(shù)估計(jì)值是隨機(jī)變量（這里是在數(shù)學(xué)上再次予以證明）；二是系數(shù)估計(jì)值服從正態(tài)分布。這說明系數(shù)估計(jì)值和這兩個隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（均值）分別等于總體參數(shù)（實(shí)際值）?？梢悦黠@看出的是，在系數(shù)的描述中，方差中含有隨機(jī)擾動項(xiàng)的方差，其他我們可以得到。樣本回歸模型為：樣本回歸直線為：樣本回歸模型的左右兩邊減去樣本回歸直線的左右兩邊，可得：，把這個式子重新安排一下，可以得到：現(xiàn)在，重點(diǎn)要求的是的兩個部分，即和。這說明是的無偏估計(jì)量。知道了估計(jì)值的方差估計(jì)值，就可以對參數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，也可以估計(jì)總體參數(shù)的置信區(qū)間。 關(guān)于假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)指利用樣本得到的信息來判斷總體是否具有某種制定的特征。就家庭消費(fèi)支出而言，我們關(guān)注的是家庭消費(fèi)支出與收入之間是否真的存在回歸關(guān)系，也就是說我們關(guān)注總體參數(shù)和是否不等于零。對總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)可分三種情況：(1) 總體服從正態(tài)分布，總體方差已知，樣本大小無限制(2) 總體總體分布未知，總體方差未知，大樣本(3) 總體服從正態(tài)分布，總體方差未知，小樣本我們這里符合的是總體服從正態(tài)分布，總體方差未知，小樣本。因此，對于大樣本情況，我們可以用代替，進(jìn)而求得和以及。如何檢驗(yàn)?zāi)?？就是考察我們算出來的統(tǒng)計(jì)量是否服從正態(tài)分布。這時t統(tǒng)計(jì)量為：，其服從自由度為（n2）的t分布。 ta (n2) 0 ta (n
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