隱函數(shù)及參數(shù)方程的求導(dǎo)方法,高階導(dǎo)數(shù)-wenkub
2023-05-15 13:59:55 本頁面
【正文】 函數(shù)的微分學(xué) 三、對(duì)數(shù)微分法 四、高階導(dǎo)數(shù) 一、隱函數(shù)的微分法 例 1 設(shè)方程 x2 + y2 = R2(R 為常數(shù) )確定函數(shù) y = y(x)， .ddxy求解 在方程兩邊求微分， d(x2 + y2 ) = dR2， 即 2xdx + 2ydy = 0. 由此，當(dāng) y ? 0 時(shí)解得 ，yxxy ??dd或 .yxy x ???例 2 設(shè)方程 y + x – exy = 0 確定了函數(shù) y = y(x)， .xy?求解 方程兩邊求微分，得 d(y + x – exy) = d0， 即 dy + dx dexy = 0， dy + dx – exy(xdy + ydx ) = 0. 當(dāng) 1 xexy ? 0 時(shí)，解得 ，xyxyxyxye11edd???即 .e11exyxyx xyy???? 例 3 求曲線 x2 + y4 = 17 在 x = 4 處對(duì)應(yīng)于曲線上的點(diǎn)的切線方程 . 解 方程兩邊求微分，得 2xdx + 4y3dy = 0， 得 ).0(2dd 3 ??? yyxxy 即對(duì)應(yīng)于 x = 4 有兩個(gè)縱坐標(biāo) ， 這就是說曲線上有兩個(gè)點(diǎn) P1(4, 1) 和 P2(4, 1). 將 x = 4 代入方程，得 y = ? 1. 在 P1 處的切線斜率 y?|(4,1)= 2， y – 1 = 2(x 4) 即 y + 2x – 9 = 0 在點(diǎn) P2 處的切線方程為 y + 1 = 2(x 4)，即 y 2x + 9 = 0 在 P2 處切線的斜率 y?|(4, 1) = 2. 所以，在點(diǎn) P1 處的切線方程為 補(bǔ)證反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式： 設(shè) y = arcsin x，則 x = sin y，兩邊對(duì) x 求微分，得 dx = cos ydy， .c os1 yy ??時(shí)，因?yàn)?22 ??? y≤ ≤ cos y 取正號(hào)， .1s i n1c os 22 xyy ????所以.11)( a r c s i n2xx???二、由參數(shù)方程所確定的 函數(shù)的微分法 參數(shù)方程，它的一般形式為 . )( )( Ittfy tx 區(qū)間， ?????? ?對(duì)方程 ② 兩邊求微分，得 ① ② dy = f ?(t)dt， 同樣對(duì)方程 ① 兩邊求微分，得 dx = ? ?(t)dt， ③ ④ 得④③,d)( d)(dd tt ttfxy ? ???即 .)( )( ttfy x ? ????例 4 設(shè)參數(shù)方程 ?????tbytaxs inc os ，
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