經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分隱函數(shù)的求導(dǎo)公式-wenkub
2022-08-31 16:41:06 本頁面
【正文】 求偏導(dǎo)數(shù)得yx??，把 y 看成 zx , 的函數(shù)對(duì) z 求偏導(dǎo)數(shù)得 zy?? .解 令 ,zyxu ??? ,xy zv ?則 ),( vufz ?把 z 看成 yx , 的函數(shù)對(duì) x 求偏導(dǎo)數(shù)得xz?? )1(xzfu ????? ),(xzxyyzfv ?????整理得 xz?? ,1vuvux y ffyzff????把 x 看成 yz , 的函數(shù)對(duì) y 求偏導(dǎo)數(shù)得)1(0 ????? yxf u ),( yxyzxzf v ?????整理得 ,vuvuy z ffx z ff????yx??把 y 看成 zx , 的函數(shù)對(duì) z 求偏導(dǎo)數(shù)得)1(1 ????? zyf u ),( zyxzxyf v ?????整理得 zy?? .1vuvux z ffx y ff?????????0),(0),(vuyxGvuyxF二、方程組的情形 隱函數(shù)存在定理 3 設(shè) ),( vuyxF 、 ),( vuyxG 在點(diǎn) ),(0000vuyxP 的某一鄰域內(nèi)有對(duì)各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且 0),(0000?vuyxF , ),(0000vuyxG0? ，且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式 （或稱雅可比式） vGuGvFuFvuGFJ????????????),(),(在點(diǎn) ),(0000vuyxP 不等于零，則方程組 0),( ?vuyxF 、 0),( ?vuyxG在點(diǎn) ),(0000vuyxP 的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù) ),( yxuu ? ，),( yxvv ? ，它們滿足條件 ),(000yxuu ? , vv ?0),(00yx ，并有,),(),(1vuvuvxvxGGFFGGFFvxGFJxu????????vuvuxuxuGGFFGGFFxuGFJxv ????????),(),(1,),(),(1vuvuvyvyGGFFGGFFvyGFJyu ????????.),(),(1vuvuyuyuGGFFGGFFyuGFJyv ????????例 5 設(shè) 0?? yvxu ， 1?? xvyu ， 求 xu??，yu??，xv?? 和 yv??. 解 1 直接代入公式； 解 2 運(yùn)用公式推導(dǎo)的方法， 將所給方程的兩邊對(duì) 求導(dǎo)并移項(xiàng) x,???????????????????vxvxxuyuxvyxuxxyyxJ ??,22 yx ??在 0?J 的條件下，xyyxxvyuxu???????,22 yx yvxu ????xyyxvyuxxv??????,22 yx xvyu ???將所給方程的兩邊對(duì) 求導(dǎo)，用同樣方法得 y,22 yx yuxvyu ????? .22 yx yvxuyv ??????（分以下幾種情況） 隱函數(shù)的求導(dǎo)法則 0),()1( ?yxF0),()2( ?zyxF?????0),(0),()3(vuyxGvuyxF三、小結(jié) 已知 )(zyzx?? ，其中 ? 為可微函數(shù)，求 ???????yzyxzx思考題 思考題解答 記 )(),( zyzxzyxF ??? , 則 zF x 1? ，,1)( zzyF y ???? ? ,)()( 22 z yzyz xF z ?????? ?,)(zyyxzFFx
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