【正文】 d s???????? ? ???????電流連續(xù)性方程為： 00J d ssJ ??? ? ? ?由上述方程組可知，靜態(tài)場與時變場最基本的區(qū)別在于靜態(tài)場的電場和磁場是彼此獨立存在的，即電場只由電荷產(chǎn)生，磁場只由電流產(chǎn)生。再根據(jù)它們的特性，聯(lián)合物態(tài)方程推導(dǎo)出位函數(shù)的泊松方程和拉普拉斯方程。第 5章 靜態(tài)場的解 靜態(tài)場是指場量不隨時間變化的場。 最后，靜態(tài)場問題可歸結(jié)為求泊松方程和拉普拉斯方程解的問題。沒有變化的磁場，也沒有變化的電場。當(dāng)導(dǎo)體中有電流時，由于導(dǎo)體電阻的存在，要在導(dǎo)體中維持恒定電流，必須依靠外部電源提供能量，其電源內(nèi)部的電場也是恒定的。 另外： 磁介質(zhì)中的物態(tài)方程為 恒定電流的導(dǎo)體周圍或內(nèi)部不僅存在電場，而且存在磁場，但這個磁場不隨時間變化，是恒定磁場。 如果場中某處有 ρ=0 ，即在無源區(qū)域，則上式變?yōu)? 2 0???我們將這種形式的方程稱為 拉普拉斯方程。 A恒定磁場是有旋場，即 ,但它卻是無散場， 即 引入一個矢量磁位 后，由于 ，可得 BJ?? ? ?0B? ? ?BA??＝2 0A??此式即為矢量磁位的拉普拉斯方程。這兩個方程是二階偏微分方程，針對具體的電磁問題，不可能完全用數(shù)學(xué)方法求解。 有了對偶原理后，我們就能把某種場的分析計算結(jié)果，直接推廣到其對偶的場中，這也是求解電磁場的一種方法。 DEs n n n?? ? ? ?? ? ? ? ?第二類邊界條件 只給定待求位函數(shù)在邊界上的法向?qū)?shù)值 第三類邊界條件 給定邊界上的位函數(shù)及其法向?qū)?shù)的線性組合 ( ) ( )12f s f sn?? ??? ?這是混合邊界條件，稱為第三類邊界條件。 一般可以考慮采用標(biāo)量位函數(shù)來計算這個由電荷所產(chǎn)生的合成電場，這樣可以避免復(fù)雜的矢量運算。 點電荷與無限大的平面導(dǎo)體的合成場計算 qq?1rph?2rz 如圖取直角坐標(biāo)系，使 z=0的平面與導(dǎo)體平面重合，并將 +q電荷放在 z軸上。那么在 z0空間里任一點 p(x,y,z)的電位就應(yīng)等于源電荷 q與鏡象電荷 q所產(chǎn)生的電位之和。 當(dāng)天線架設(shè)得比較低時，通常把地面假設(shè)為無限大的理想導(dǎo)電平面，地面的影響將歸結(jié)為鏡象天線所起的作用 。q1r1?h1?2rz2? 2? φ1 是點電荷 q與介質(zhì)分界面上感應(yīng)束縛電荷共同產(chǎn)生的電位函數(shù)。q1 441 1 1 2qqrr? ? ? ? ????即 22 4qr? ?????在介質(zhì) ε 2中，場是由 產(chǎn)生的。39。q2 si n24 2tqrE ??????根據(jù)邊界條件可得 21 2 21 2 1 2q q q q? ? ?? ? ? ??? ??????注意： 鏡象電荷不能放在要討論的區(qū)域中，放在被討論的區(qū)域中時將會改 變所放置區(qū)域的電位分布，所得出的電位將不滿足原來的拉普拉斯 方程或泊松方程。 靜態(tài)場的鏡像法求解 ? 鏡象法是利用一個與源電荷相似的點電荷或線電荷來代替或等效實際電荷所產(chǎn)生的感應(yīng)電荷，這個相似的電荷稱為鏡象電荷，然后通過計算由源電荷和鏡象電荷共同產(chǎn)生的合成電場，而得到源電荷與實際的感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的合成電場。 ? 可以用類似的方法來處理兩種磁介質(zhì)分界面兩邊的磁場計算問題。又由于靠近點電荷 q的球面部分，感應(yīng)電荷密度大些，所以鏡象電荷必定在 OM線段上，設(shè)在 b點 ,OM=b，則位函數(shù)表達(dá)式為 da q39。 如圖（ page108,圖 ），若導(dǎo)體球不接地，導(dǎo)體球上的靜電荷為 0，并且球面電位不為 0，但仍保持為等位面，為了滿足導(dǎo)體球上靜電荷為 0的條件，還需加入另一鏡象電荷 , 使 qqq?? ???即： 0qq? ????球面電位為： 4 q a? ?????球 面4 4 412q q qp r r r? ? ? ? ? ? ?? ??? ? ?導(dǎo)體球外各點的電位由 q, 和 共同產(chǎn)生： 39。與完全的數(shù)學(xué)求解不同，針對具體物理問題使用該方法求解時，將要結(jié)合一些物理概念進(jìn)行分析求解。例如：矩形域應(yīng)選直角坐標(biāo)系；圓柱形域應(yīng)選圓柱坐標(biāo)系；球形域應(yīng)選球坐標(biāo)系。顯然，三個分離常數(shù)不可能全為實數(shù)，也不能全為虛數(shù)。 2 0???022 ?????? yx ??0??0??0??)s in (1 0 0 xa?? ?又由于場域邊界為矩形，應(yīng)選用直角坐標(biāo)系。（見 Page 112） 2zk 格林函數(shù)法 格林函數(shù)法是數(shù)學(xué)物理方法中的基本方法之一，可以用于求解靜態(tài)場中的拉普拉斯方程、泊松方程以及時變場中的亥姆霍茲方程。 更確切地說，格林函數(shù)是單位點源在一定的邊界條件下所建立的場的位函數(shù)，因而格林函數(shù)又稱為源函數(shù)。 對于靜電場問題而言，可以從單位點電荷（二維問題對應(yīng)于單位線電荷，一維問題對應(yīng)于單位面電荷）在特定邊界上產(chǎn)生的位函數(shù)，通過積分求得同一邊界的任意分布電荷產(chǎn)生的電位。 式 中的格林函數(shù)是在給定邊界形狀下的一般邊值問題的格林函數(shù)，為了簡化計算，我們可以對格林函數(shù)附加上邊界條件。它在體積 V內(nèi)和邊界面 S上滿足的方程為 ( , )2( , )22 0rrG r rGsn????? ? ????（ 2）第二類邊值問題的格林函數(shù) 在此條件下，第二類靜電場邊值問題的解為 2()2( ) ( ) ( , )vrG d Ssnr r G r r d V???? ?? ????? ? ????() fn s?? ? ? ????（ 3）第三類邊值問題的格林函數(shù) 對于第三類靜電場邊值問題，使用第三類邊值問題的格林函數(shù)較為方便。 簡單邊界的格林函數(shù) 下面我們給出一些簡單邊界形狀下第一類靜電場邊值問題的格林函數(shù)（為了書寫簡便，略去下標(biāo)，用 G表示）。這個電位可以用平面鏡像法求得，因而上半空間的格林函數(shù)為 1 1 1()412( , ) RRG r r ?????2 2 2 1 / 212 2 2 1 / 22[ ( ) ( ) ( ) ][ ( ) ( ) ( ) ]R x x y y z zR x x y y z z? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? 式中 球內(nèi)、外空間的格林函數(shù) 我們可以由球面鏡像法，求出球心在