電磁場(chǎng)與電磁波第5章ok-wenkub
2023-05-15 01:32:33 本頁(yè)面
【正文】 d s???????? ? ???????電流連續(xù)性方程為： 00J d ssJ ??? ? ? ?由上述方程組可知，靜態(tài)場(chǎng)與時(shí)變場(chǎng)最基本的區(qū)別在于靜態(tài)場(chǎng)的電場(chǎng)和磁場(chǎng)是彼此獨(dú)立存在的，即電場(chǎng)只由電荷產(chǎn)生，磁場(chǎng)只由電流產(chǎn)生。再根據(jù)它們的特性，聯(lián)合物態(tài)方程推導(dǎo)出位函數(shù)的泊松方程和拉普拉斯方程。第 5章 靜態(tài)場(chǎng)的解 靜態(tài)場(chǎng)是指場(chǎng)量不隨時(shí)間變化的場(chǎng)。 最后，靜態(tài)場(chǎng)問(wèn)題可歸結(jié)為求泊松方程和拉普拉斯方程解的問(wèn)題。沒(méi)有變化的磁場(chǎng)，也沒(méi)有變化的電場(chǎng)。當(dāng)導(dǎo)體中有電流時(shí)，由于導(dǎo)體電阻的存在，要在導(dǎo)體中維持恒定電流，必須依靠外部電源提供能量，其電源內(nèi)部的電場(chǎng)也是恒定的。 另外： 磁介質(zhì)中的物態(tài)方程為 恒定電流的導(dǎo)體周?chē)騼?nèi)部不僅存在電場(chǎng)，而且存在磁場(chǎng)，但這個(gè)磁場(chǎng)不隨時(shí)間變化，是恒定磁場(chǎng)。 如果場(chǎng)中某處有 ρ=0 ，即在無(wú)源區(qū)域，則上式變?yōu)? 2 0???我們將這種形式的方程稱(chēng)為 拉普拉斯方程。 A恒定磁場(chǎng)是有旋場(chǎng)，即 ,但它卻是無(wú)散場(chǎng)， 即 引入一個(gè)矢量磁位 后，由于 ，可得 BJ?? ? ?0B? ? ?BA??＝2 0A??此式即為矢量磁位的拉普拉斯方程。這兩個(gè)方程是二階偏微分方程，針對(duì)具體的電磁問(wèn)題，不可能完全用數(shù)學(xué)方法求解。 有了對(duì)偶原理后，我們就能把某種場(chǎng)的分析計(jì)算結(jié)果，直接推廣到其對(duì)偶的場(chǎng)中，這也是求解電磁場(chǎng)的一種方法。 DEs n n n?? ? ? ?? ? ? ? ?第二類(lèi)邊界條件 只給定待求位函數(shù)在邊界上的法向?qū)?shù)值 第三類(lèi)邊界條件 給定邊界上的位函數(shù)及其法向?qū)?shù)的線性組合 ( ) ( )12f s f sn?? ??? ?這是混合邊界條件，稱(chēng)為第三類(lèi)邊界條件。 一般可以考慮采用標(biāo)量位函數(shù)來(lái)計(jì)算這個(gè)由電荷所產(chǎn)生的合成電場(chǎng)，這樣可以避免復(fù)雜的矢量運(yùn)算。 點(diǎn)電荷與無(wú)限大的平面導(dǎo)體的合成場(chǎng)計(jì)算 qq?1rph?2rz 如圖取直角坐標(biāo)系，使 z=0的平面與導(dǎo)體平面重合，并將 +q電荷放在 z軸上。那么在 z0空間里任一點(diǎn) p(x,y,z)的電位就應(yīng)等于源電荷 q與鏡象電荷 q所產(chǎn)生的電位之和。 當(dāng)天線架設(shè)得比較低時(shí)，通常把地面假設(shè)為無(wú)限大的理想導(dǎo)電平面，地面的影響將歸結(jié)為鏡象天線所起的作用 。q1r1?h1?2rz2? 2? φ1 是點(diǎn)電荷 q與介質(zhì)分界面上感應(yīng)束縛電荷共同產(chǎn)生的電位函數(shù)。q1 441 1 1 2qqrr? ? ? ? ????即 22 4qr? ?????在介質(zhì) ε 2中，場(chǎng)是由 產(chǎn)生的。39。q2 si n24 2tqrE ??????根據(jù)邊界條件可得 21 2 21 2 1 2q q q q? ? ?? ? ? ??? ??????注意： 鏡象電荷不能放在要討論的區(qū)域中，放在被討論的區(qū)域中時(shí)將會(huì)改 變所放置區(qū)域的電位分布，所得出的電位將不滿足原來(lái)的拉普拉斯 方程或泊松方程。 靜態(tài)場(chǎng)的鏡像法求解 ? 鏡象法是利用一個(gè)與源電荷相似的點(diǎn)電荷或線電荷來(lái)代替或等效實(shí)際電荷所產(chǎn)生的感應(yīng)電荷，這個(gè)相似的電荷稱(chēng)為鏡象電荷，然后通過(guò)計(jì)算由源電荷和鏡象電荷共同產(chǎn)生的合成電場(chǎng)，而得到源電荷與實(shí)際的感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的合成電場(chǎng)。 ? 可以用類(lèi)似的方法來(lái)處理兩種磁介質(zhì)分界面兩邊的磁場(chǎng)計(jì)算問(wèn)題。又由于靠近點(diǎn)電荷 q的球面部分，感應(yīng)電荷密度大些，所以鏡象電荷必定在 OM線段上，設(shè)在 b點(diǎn) ,OM=b，則位函數(shù)表達(dá)式為 da q39。 如圖（ page108,圖 ），若導(dǎo)體球不接地，導(dǎo)體球上的靜電荷為 0，并且球面電位不為 0，但仍保持為等位面，為了滿足導(dǎo)體球上靜電荷為 0的條件，還需加入另一鏡象電荷 , 使 qqq?? ???即： 0qq? ????球面電位為： 4 q a? ?????球 面4 4 412q q qp r r r? ? ? ? ? ? ?? ??? ? ?導(dǎo)體球外各點(diǎn)的電位由 q, 和 共同產(chǎn)生： 39。與完全的數(shù)學(xué)求解不同，針對(duì)具體物理問(wèn)題使用該方法求解時(shí)，將要結(jié)合一些物理概念進(jìn)行分析求解。例如：矩形域應(yīng)選直角坐標(biāo)系；圓柱形域應(yīng)選圓柱坐標(biāo)系；球形域應(yīng)選球坐標(biāo)系。顯然，三個(gè)分離常數(shù)不可能全為實(shí)數(shù)，也不能全為虛數(shù)。 2 0???022 ?????? yx ??0??0??0??)s in (1 0 0 xa?? ?又由于場(chǎng)域邊界為矩形，應(yīng)選用直角坐標(biāo)系。（見(jiàn) Page 112） 2zk 格林函數(shù)法 格林函數(shù)法是數(shù)學(xué)物理方法中的基本方法之一，可以用于求解靜態(tài)場(chǎng)中的拉普拉斯方程、泊松方程以及時(shí)變場(chǎng)中的亥姆霍茲方程。 更確切地說(shuō)，格林函數(shù)是單位點(diǎn)源在一定的邊界條件下所建立的場(chǎng)的位函數(shù)，因而格林函數(shù)又稱(chēng)為源函數(shù)。 對(duì)于靜電場(chǎng)問(wèn)題而言，可以從單位點(diǎn)電荷（二維問(wèn)題對(duì)應(yīng)于單位線電荷，一維問(wèn)題對(duì)應(yīng)于單位面電荷）在特定邊界上產(chǎn)生的位函數(shù)，通過(guò)積分求得同一邊界的任意分布電荷產(chǎn)生的電位。 式 中的格林函數(shù)是在給定邊界形狀下的一般邊值問(wèn)題的格林函數(shù)，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，我們可以對(duì)格林函數(shù)附加上邊界條件。它在體積 V內(nèi)和邊界面 S上滿足的方程為 ( , )2( , )22 0rrG r rGsn????? ? ????（ 2）第二類(lèi)邊值問(wèn)題的格林函數(shù) 在此條件下，第二類(lèi)靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題的解為 2()2( ) ( ) ( , )vrG d Ssnr r G r r d V???? ?? ????? ? ????() fn s?? ? ? ????（ 3）第三類(lèi)邊值問(wèn)題的格林函數(shù) 對(duì)于第三類(lèi)靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題，使用第三類(lèi)邊值問(wèn)題的格林函數(shù)較為方便。 簡(jiǎn)單邊界的格林函數(shù) 下面我們給出一些簡(jiǎn)單邊界形狀下第一類(lèi)靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題的格林函數(shù)（為了書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)便，略去下標(biāo)，用 G表示）。這個(gè)電位可以用平面鏡像法求得，因而上半空間的格林函數(shù)為 1 1 1()412( , ) RRG r r ?????2 2 2 1 / 212 2 2 1 / 22[ ( ) ( ) ( ) ][ ( ) ( ) ( ) ]R x x y y z zR x x y y z z? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? 式中 球內(nèi)、外空間的格林函數(shù) 我們可以由球面鏡像法，求出球心在
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