【正文】 當(dāng)時(shí)，顯然都2）當(dāng) ， 綜上所述：從本題看到在（0,0）無定義，但存在極限，∴函數(shù)在點(diǎn)P0的極限與在點(diǎn)P是否有定義無關(guān)。∵二元函數(shù)的自變量的變化范圍不再只是軸上的一個(gè)區(qū)間，：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)以任意路徑和任何方式→(其趨于的路線可以是直線，拋物線或任意曲線)都有：，這時(shí)把A叫二元函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限記為，又∵，∴上面的極限又可改寫成：上面根據(jù)只是一種形象的描述，下面定出嚴(yán)格中的“”定義。3）∵＝是上以球面為邊界的開球體。例：判別下列函數(shù)的圖象是什么圖形1）（∵）閉圓上的上半球。例如：是定義在閉圓的一個(gè)二元函數(shù)。1）＝（開區(qū)域，有界…）2）＝3）＝4）＝（閉區(qū)域，無界）5）＝（不是區(qū)域（—？沒有內(nèi)點(diǎn)；只有界點(diǎn)集）6）＝（∵是區(qū)域的邊是，∵表示拋物線下方全體點(diǎn)組成的點(diǎn)集，不含邊界）有界區(qū)域的直徑：設(shè)是有界區(qū)域，把叫有界區(qū)域的直徑，記為：：.討論：下列點(diǎn)集的直徑（）＝？1）＝ 2）長(zhǎng)方形：＝3） 是無界區(qū)域（沒有直徑）　　4）,.注：上面的定義及定理（概念）可以推擴(kuò)到n維空間上去.例：描繪下列點(diǎn)集，并指出開、閉性，有界性，聚點(diǎn)、界點(diǎn)及邊界。討論：下面點(diǎn)集是有界點(diǎn)集還不是無界點(diǎn)集？1）＝2）第一象限：＝3）＝定義：設(shè)是平面點(diǎn)集：（開、閉區(qū)域統(tǒng)稱為區(qū)域）1）若的任意點(diǎn)都是的內(nèi)點(diǎn)，且的任意兩點(diǎn)都能用屬于的折線連接起來（稱的連通性）則稱是開區(qū)域。2）若，內(nèi)既含有中的點(diǎn)，同時(shí)又含有不屬于的點(diǎn)，則稱是的界點(diǎn)，并把全體界點(diǎn)組成的集合叫點(diǎn)集的邊界.1）討論：的內(nèi)點(diǎn)和界點(diǎn)的區(qū)別在哪里？?jī)?nèi)點(diǎn)是，存在一個(gè)正數(shù)，使以為中心為半徑的領(lǐng)域完全包含在中，若有中的點(diǎn)同時(shí)也有不屬于的點(diǎn)就是界點(diǎn)討論：下面點(diǎn)是內(nèi)點(diǎn)還是界點(diǎn)，為什么？2）的界點(diǎn)有多少個(gè)？都屬于嗎？的邊界是否屬于？（）（2）（1）有叫三角不等式.請(qǐng)同學(xué)們回憶：數(shù)軸上鄰域的概念（一維空間的領(lǐng)域）：定義2：設(shè)，以點(diǎn)為中心，為半徑的全體點(diǎn)組成的集合：叫以點(diǎn)為中心，為半徑的圓形領(lǐng)域記為：即　多元函數(shù)：一、平面點(diǎn)集定義：把全體有序?qū)崝?shù)對(duì)組成的集合，稱為二維空間，記為（或），（實(shí)際上這里的二維空間的概念就是解析幾何中的二維空間概念）。下面我們看一看這里的二維空間有一個(gè)什么樣的幾何意義，顯然都唯一對(duì)應(yīng)著直角坐標(biāo)平面的一個(gè)點(diǎn)，反之然，∴中的有序數(shù)對(duì)與直角平面上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，它們的本質(zhì)是一樣的，可以不加區(qū)別，所以：可以把看成直角坐標(biāo)平面，坐標(biāo)平面也可以看成是二維空間，以后把叫點(diǎn)的坐標(biāo)，而把看成是平面全體點(diǎn)的集合.平面上兩點(diǎn)的距離（由解析幾何知：）：設(shè)中的兩點(diǎn)　，則稱叫P1與P2兩點(diǎn)間的距離.從幾何上看：圓形領(lǐng)域就是平面上的一個(gè)開圓：討論：集合表示一個(gè)什么圖形？以為中心，為邊長(zhǎng)的開矩形的全體點(diǎn)組成的集合叫以為中心的半徑的方形鄰域.∵圓中有方，方中有圓，∴方形領(lǐng)域與圓形領(lǐng)域是等價(jià)的.∴以后在證明題目時(shí)，可以取圓形領(lǐng)域，也可以取方形領(lǐng)域，都一樣.把圓形領(lǐng)域和方形領(lǐng)域統(tǒng)稱為為心，為半徑的領(lǐng)域，記為.去掉鄰域中心后的集合叫去心領(lǐng)域，記為.討論：去心領(lǐng)域怎樣表示：圓形去心領(lǐng)域，方形去心領(lǐng)域：當(dāng)不需指出半徑時(shí)，領(lǐng)域可簡(jiǎn)寫為有了領(lǐng)域的概念后，就可以定義兩個(gè)特殊的概念：開區(qū)域和閉區(qū)域。（如上圖）2）由開區(qū)域和它的邊界構(gòu)成的區(qū)域G的閉區(qū)域。2）＝3）＝1）＝解：1）是二維空間的點(diǎn)集，∵，∴點(diǎn)集的邊界是（是無界閉區(qū)域）2）是二維空間的點(diǎn)集，邊界是曲面，∴是橢球內(nèi)部的點(diǎn)，不含托球面上的點(diǎn)，是有界開區(qū)域.3）是的點(diǎn)集，邊界是三個(gè)坐標(biāo)面及平面，∴是這四個(gè)面圍成的四面體的全體點(diǎn)，是有界閉區(qū)域。2. 二元函數(shù)的圖像設(shè)二元函數(shù)的定義域?yàn)椋@然是是平面上的一個(gè)點(diǎn)集。2）， ，∴是在三個(gè)軸上截距為的一個(gè)平面。例：已知求作業(yè)：Ｐ143　　9, 10, 11, 123. 二元函數(shù)的極限在一元函數(shù)中，是指當(dāng)在X軸上，從的兩側(cè)以任意方式趨于時(shí)，都超于，用“”語(yǔ)言來描述。（1）二重極限定義：設(shè)函數(shù)在區(qū)域的有定義，是的聚點(diǎn)，是常數(shù).若，則稱函數(shù)在點(diǎn)二重極限是.因?yàn)椋骸嗌厦娑x又可寫成：定義：設(shè)定義在點(diǎn)集上，是D的聚點(diǎn)，是常數(shù).若則稱函數(shù)在存在極限A，記為.1）解釋定義的義意：，當(dāng)點(diǎn)一旦入進(jìn)了以為心的的去心鄰域，函數(shù)在點(diǎn)的函數(shù)值與A的著的絕對(duì)值就小于.2）上面定義可寫為：例：用“”定義證明：1）　　1）分析：用定義證明二元函數(shù)的極限的方法與一元函數(shù)完全一定：解出一個(gè)含與的不等式，通過觀察可找出.證明：1）∵（∵本題領(lǐng)域是，∴要想辦法在絕對(duì)值中找出）∴，∴就有。討論2：當(dāng)沿一條固定的路徑，趨于：時(shí)，能不能說在存在極限？（不能）?！嘣邳c(diǎn)（0,0）不存在極限。注：1. 因?yàn)閮蓚€(gè)累次極限：實(shí)上是對(duì)的一元函數(shù)不同順序的極限，所以兩個(gè)累次極限可能不同，甚至一個(gè)存在另一個(gè)不存在；例如：不存在（存在，時(shí)不存在）；. 二重極限存在，但累次極限可能不存在；或兩個(gè)累次極限存在相等，但二重極限可能不存在：例如：，在原點(diǎn)（0,0）兩個(gè)累次極限存在且相等，但二重極限不存在；例. 證明：函數(shù)在（0,0）二重極限存在，但累次極限不存在.證明：∵顯然，累次極限的計(jì)算要比二垂極限簡(jiǎn)單得多，所以我們希望通過累次極限來計(jì)算二重極限，那么在什么條件下它們相等嗎？4. 定理：若二元函數(shù)的二重極限和累次極限（都存在，則：推論：（充分條件）：若下面三個(gè)極限都存在：，則兩個(gè)累次極限存在且相等；等于其二垂極限：例：已知：存在點(diǎn)（0,0）存在二重極限，求；作業(yè)：P156　　　74. 二元函數(shù)的連續(xù)性我們?cè)?jīng)定義了一元函數(shù)一元函數(shù)在一點(diǎn)：連續(xù)：若，則稱在點(diǎn)連續(xù).這個(gè)定義我們可以推廣到二元函數(shù)和元函數(shù)上去：（1）定義：設(shè)二元函數(shù)在區(qū)域有定義，點(diǎn)(a,b)，若：，則稱在(,)連續(xù).討論：上面定義用“點(diǎn)表示法”怎樣書寫：設(shè)函數(shù)在區(qū)域有定義，點(diǎn)，若，則稱二元函數(shù)。（P150）3）Th4（保號(hào)性）4）若二元函數(shù)關(guān)于或的一元是初等函數(shù)，則稱是二元初等函數(shù)。定義：若在不連續(xù)，則稱是的間斷點(diǎn)（或不連續(xù)點(diǎn)）。例：求下列極限：1） 2） （令，則） 3）4）上面二元函數(shù)的定義和性質(zhì)可以推廣到元函數(shù)上去.作業(yè)：（參考）5；作業(yè)評(píng)講：下面做法是否正確，為什么？（是否正確關(guān)鍵是判別是否存在）上面做法不正確。證明：；要使只須?。ㄗⅲ翰坏仁街胁缓?，表示對(duì)任意，時(shí)，都能保證）證明：，取都有..討論：能源能說在（0，0）的二重極限是？（不能，∵二重極限的動(dòng)點(diǎn)必須是鄰域：，的全體點(diǎn)，但上題中的P不能取M域的全體點(diǎn)，而只能?。?。 6。 多元函數(shù)的微分法在講多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)前，首先來回憶一下導(dǎo)數(shù)的概念：設(shè)在有定義：若把一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念推廣到多元函數(shù)上去，就是下面要講的偏導(dǎo)數(shù)的概念：偏改變量：設(shè)二元函數(shù)定義在區(qū)域，是的內(nèi)點(diǎn)，將看作常數(shù)，給一個(gè)改變量，于是就得到的另一個(gè)內(nèi)點(diǎn)（），把這兩點(diǎn)的函數(shù)值之差：叫在點(diǎn)關(guān)于x的偏改變量。解：當(dāng)，（是一個(gè)連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù)，可以直接求偏導(dǎo)）當(dāng)（,）=（0，0）時(shí)（是求節(jié)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，只能根據(jù)定義求）∴，例：設(shè) .分析：在求時(shí)，看成常數(shù)，對(duì)求導(dǎo).解： 例：設(shè)，求分析：函數(shù)是與=的復(fù)合函數(shù)，∴由復(fù)合了函數(shù)的求導(dǎo)法則：（也可以兩邊先取對(duì)數(shù)再求導(dǎo)）。在一元函數(shù)中，若在可導(dǎo)，則在連續(xù)，即在連續(xù)是在可微的必要條件。則稱二元函數(shù)在點(diǎn)可微，且把線性主部叫函數(shù)在點(diǎn)的全微分，記為注：全微分的定義必須滿足兩條：1）的線性（一次）函數(shù)（即A、B與無關(guān)的常數(shù)）。由上面定理得：，當(dāng)在區(qū)域的任一點(diǎn)都可微時(shí)，稱在區(qū)域可微，且.這里我們要指出：在一元函數(shù)中，在一點(diǎn)可微在可導(dǎo)，但在二元（或多元）函數(shù)中：可微在存在兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)（即：；但存在兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)（可導(dǎo)）在可微。注：的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)，連續(xù)僅是在可微的充分而非必要的條件.例：設(shè)=，則函數(shù)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn)不連續(xù)，但在可微.分析：首先計(jì)算偏導(dǎo)數(shù).證：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?∴同理（下面證明導(dǎo)函數(shù)在不連續(xù)）∵取軸，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P軸超于時(shí)，∴在（0,0）不存在二重極限，∴在原點(diǎn)不連續(xù).（下面證明在點(diǎn)（0，0）可微，只須證明：）因?yàn)椋?，所以? （注：）∴.例：計(jì)算出數(shù)在點(diǎn)，并計(jì)算：的近似值.解：∵，∴ ∴∴函數(shù)在點(diǎn)（2,01，1，03）的全微分+=上面全微分的概念也可以推廣到多元函數(shù)上去：在點(diǎn)的全微分：例：計(jì)算=的全微分。解：， ∴， ∴切平面的法向量，∴切平面：法線： 又∵△， ∴， .作業(yè)：P188：12， 15