期權(quán)定價中的蒙特卡洛模擬方法-wenkub
2023-04-23 23:52:58 本頁面
【正文】 1220126122112712221281225121112261212122712131228121412291215－－－－蒙特卡洛方法對伊利CWB1認股權(quán)證的模擬（）日期實際值蒙特卡洛模擬值理論值日期實際值蒙特卡洛模擬值理論值121121812412191251220126122112712221281225121112261212122712131228121412291215－－－－從表可看出，由蒙特卡洛方法模擬的認購權(quán)證價格的模擬值比由BlackScholes公式計算的理論值更接近實際值。權(quán)證主要具有價格發(fā)現(xiàn)和風險管理的功能，它是一種有效的風險管理和資源配置工具。這是與股票C和股票D價格的期望收益率較高，股票B和股票D價格的波動率較高相對應(yīng)的。由于，m條路徑的收益均值為，m條路徑的方差為，則可得95%的置信區(qū)間為。167。在對同一個進行抽樣的前提下，若想將精度提高一位數(shù)字，要么固定，將n增大100倍；要么固定n將減小10倍。由中心極限定理可得到估計的誤差。167。首先，對上式的右邊第一個廣義積分分別作變量替換和，可以得到再對等式的右邊的第二個無窮積分，令，可求得將以上的計算結(jié)果代入期望等式中，得到歐式看漲期權(quán)的價格公式為：其中。歐式看跌期權(quán)的終邊值條件分別為，此外，美式看漲期權(quán)的終值條件為，美式看跌期權(quán)的終值條件為。首先，為了得到期權(quán)的微分形式，先介紹隨機微積分中的最重要的伊藤公式。在衍生證券的存續(xù)期內(nèi)不支付紅利。設(shè)為獨立同分布的隨機變量序列，若則有其等價形式為。1. 預(yù)備知識◆兩個重要的定理：柯爾莫哥洛夫(Kolmogorov)強大數(shù)定律和萊維一林德貝格(LevyLindeberg)中心極限定理。而數(shù)值方法又包括了二叉樹方法、有限差分法和蒙特卡洛模擬方法。蒙特卡洛方法的理論基礎(chǔ)是概率論與數(shù)理統(tǒng)計，其實質(zhì)是通過模擬標的資產(chǎn)價格路徑預(yù)測期權(quán)的平均回報并得到期權(quán)價格估計值。大數(shù)定律是概率論中用以說明大量隨機現(xiàn)象平均結(jié)果穩(wěn)定性的一系列極限定律。◆BlackScholes期權(quán)定價模型模型的假設(shè)條件：標的證券的價格遵循幾何布朗運動其中，標的資產(chǎn)的價格是時間的函數(shù)，為標的資產(chǎn)的瞬時期望收益率，為標的資產(chǎn)的波動率，是維納過程。市場上不存在無風險的套利機會。伊藤Ito公式：設(shè)，是二元可微函數(shù)，若隨機過程滿足如下的隨機微分方程則有根據(jù)伊藤公式，當標的資產(chǎn)的運動規(guī)律服從假設(shè)條件中的幾何布朗運動時，期權(quán)的價值的微分形式為現(xiàn)在構(gòu)造無風險資產(chǎn)組合，即有，經(jīng)整理后得到這個表達式就是表示期權(quán)價格變化的BlackScholes偏微分方程。然而，美式期權(quán)的價值沒有解析解，我們一般可通過數(shù)值方法（蒙特卡洛模擬、有限差分法等）求得其近似解?？梢钥闯觯瑢τ跉W式看漲期權(quán)的風險中性定價方法的結(jié)果與基于資產(chǎn)復(fù)制的偏微分方程定價方法的結(jié)果是一致的。2. 蒙特卡洛模擬方法及其效率假設(shè)所求量是隨機變量的數(shù)學(xué)期望，那么近似確定的蒙特卡洛方法是對進行n次重復(fù)抽樣，產(chǎn)生獨立同分布的隨機變量序列，并計算樣本均值。設(shè)隨機變量的方差，對于標準正態(tài)分布的上分位數(shù)，有這表明，置信水平對應(yīng)的漸近置信區(qū)間是。若兩個隨機變量的數(shù)學(xué)期望，那么無論從或中抽樣均可得到的蒙特卡洛估計值。3. 蒙特卡洛模擬方法為期權(quán)定價的實現(xiàn)步驟期權(quán)定價的蒙特卡洛方法的理論依據(jù)是風險中性定價原理：在風險中性測度下，期權(quán)價格能夠表示為其到期回報的貼現(xiàn)的期望值，即，其中的表示風險中性期望，r為無風險利率，T為期權(quán)的到期執(zhí)行時刻，是關(guān)于標的資產(chǎn)價格路徑的預(yù)期收益。例1：假設(shè)無紅利的股票A，初始價格為￥6，價格過程服從幾何布朗運動，年預(yù)期收益率為10%，收益率的波動率為每年25%，（1年為100時間步），給定數(shù)據(jù)，以及＝100，用蒙特卡洛方法模擬資產(chǎn)的價格路徑如下：（1）（2）圖（1）蒙特卡洛方法模擬股票A價格路徑，圖（2）蒙特卡洛方法模擬股票B價格路徑。歐式看漲期權(quán)，通過BlackScholes公式計算得的精確值為，蒙特卡洛模擬的價格為，其蒙特卡洛模擬圖如下：（5）上述同樣的條件，路徑由100逐漸增加到1000000條，對應(yīng)地分別得到的期權(quán)價值的模擬值和置信區(qū)間，結(jié)果如下表所示：各種路徑下蒙特卡洛方法模擬的95%置信區(qū)間N模擬值置信區(qū)間100[,]500[,]1000[,]2000[,]5000[,]10000[,]50000[,]100000[,]1000000[,]167?，F(xiàn)選取我國認股權(quán)證中的五糧YGC馬鋼CWB伊利CWB1為例，以2006年的價格作為樣本區(qū)間模擬認股權(quán)證的價值，并將這些權(quán)證的蒙特卡洛模擬價值和由wind數(shù)據(jù)庫給出的理論值進行比較。為了更直觀的比較，由蒙特卡洛方法模擬的認股權(quán)證價格與BlackScholes模型的精確值和市場價格比較的結(jié)果如下圖。對于這些認股權(quán)證價格的模擬結(jié)果的好壞，受諸多因素影響，主要與選取的波動率和中國權(quán)證市場的發(fā)展特點有關(guān)等等。牛頓迭代法是牛頓在17世紀提出的一種在實數(shù)域上近似求解方程根的方法。此外，為了計算隱含波動率，經(jīng)濟學(xué)家和理財專家曾做過種種努力試圖尋找一個計算波動率的公式。不正常的波動用泊松過程(Poisson)來描述—由未預(yù)料到的重要信息的出現(xiàn)引起的。上式是對跳躍項作如下假定得出的：在兩個跳躍之間保持不變，而在跳躍時間是離散和隨機的；有種跳躍類型，跳躍尺度為，跳躍尺度為的概率為，跳躍的發(fā)生強度依賴于的最終觀測值，跳躍類型和尺度都是獨立隨機的。令，根據(jù)帶跳躍項的伊藤公式可得其微分形式為整理上式，得到標的資產(chǎn)價格公式為在標的資產(chǎn)價格遵循跳擴散過程的假設(shè)下，根據(jù)上述帶跳伊藤公式可得期權(quán)價值的微分形式如下構(gòu)造期權(quán)與標的資產(chǎn)的無套利資產(chǎn)組合，其微分形式為則該無套利資產(chǎn)組合微分形式的期望如下式由于資產(chǎn)組合為無風險組合，因此有如下等式成立兩式聯(lián)立并化簡得到標的資產(chǎn)價格遵從跳擴散過程的定價公式如下：若沒有發(fā)生跳躍事件，則，將其代入上式所得結(jié)果與BlackScholes微分方程完全
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