期權(quán)定價(jià)中的蒙特卡洛模擬方法-wenkub
2023-04-23 23:52:58 本頁(yè)面
【正文】 1220126122112712221281225121112261212122712131228121412291215－－－－蒙特卡洛方法對(duì)伊利CWB1認(rèn)股權(quán)證的模擬（）日期實(shí)際值蒙特卡洛模擬值理論值日期實(shí)際值蒙特卡洛模擬值理論值121121812412191251220126122112712221281225121112261212122712131228121412291215－－－－從表可看出，由蒙特卡洛方法模擬的認(rèn)購(gòu)權(quán)證價(jià)格的模擬值比由BlackScholes公式計(jì)算的理論值更接近實(shí)際值。權(quán)證主要具有價(jià)格發(fā)現(xiàn)和風(fēng)險(xiǎn)管理的功能，它是一種有效的風(fēng)險(xiǎn)管理和資源配置工具。這是與股票C和股票D價(jià)格的期望收益率較高，股票B和股票D價(jià)格的波動(dòng)率較高相對(duì)應(yīng)的。由于，m條路徑的收益均值為，m條路徑的方差為，則可得95%的置信區(qū)間為。167。在對(duì)同一個(gè)進(jìn)行抽樣的前提下，若想將精度提高一位數(shù)字，要么固定，將n增大100倍；要么固定n將減小10倍。由中心極限定理可得到估計(jì)的誤差。167。首先，對(duì)上式的右邊第一個(gè)廣義積分分別作變量替換和，可以得到再對(duì)等式的右邊的第二個(gè)無(wú)窮積分，令，可求得將以上的計(jì)算結(jié)果代入期望等式中，得到歐式看漲期權(quán)的價(jià)格公式為：其中。歐式看跌期權(quán)的終邊值條件分別為，此外，美式看漲期權(quán)的終值條件為，美式看跌期權(quán)的終值條件為。首先，為了得到期權(quán)的微分形式，先介紹隨機(jī)微積分中的最重要的伊藤公式。在衍生證券的存續(xù)期內(nèi)不支付紅利。設(shè)為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，若則有其等價(jià)形式為。1. 預(yù)備知識(shí)◆兩個(gè)重要的定理：柯爾莫哥洛夫(Kolmogorov)強(qiáng)大數(shù)定律和萊維一林德貝格(LevyLindeberg)中心極限定理。而數(shù)值方法又包括了二叉樹方法、有限差分法和蒙特卡洛模擬方法。蒙特卡洛方法的理論基礎(chǔ)是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，其實(shí)質(zhì)是通過(guò)模擬標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格路徑預(yù)測(cè)期權(quán)的平均回報(bào)并得到期權(quán)價(jià)格估計(jì)值。大數(shù)定律是概率論中用以說(shuō)明大量隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果穩(wěn)定性的一系列極限定律?！鬊lackScholes期權(quán)定價(jià)模型模型的假設(shè)條件：標(biāo)的證券的價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)其中，標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格是時(shí)間的函數(shù)，為標(biāo)的資產(chǎn)的瞬時(shí)期望收益率，為標(biāo)的資產(chǎn)的波動(dòng)率，是維納過(guò)程。市場(chǎng)上不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的套利機(jī)會(huì)。伊藤Ito公式：設(shè)，是二元可微函數(shù)，若隨機(jī)過(guò)程滿足如下的隨機(jī)微分方程則有根據(jù)伊藤公式，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律服從假設(shè)條件中的幾何布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)，期權(quán)的價(jià)值的微分形式為現(xiàn)在構(gòu)造無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合，即有，經(jīng)整理后得到這個(gè)表達(dá)式就是表示期權(quán)價(jià)格變化的BlackScholes偏微分方程。然而，美式期權(quán)的價(jià)值沒(méi)有解析解，我們一般可通過(guò)數(shù)值方法（蒙特卡洛模擬、有限差分法等）求得其近似解?？梢钥闯?，對(duì)于歐式看漲期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)方法的結(jié)果與基于資產(chǎn)復(fù)制的偏微分方程定價(jià)方法的結(jié)果是一致的。2. 蒙特卡洛模擬方法及其效率假設(shè)所求量是隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，那么近似確定的蒙特卡洛方法是對(duì)進(jìn)行n次重復(fù)抽樣，產(chǎn)生獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，并計(jì)算樣本均值。設(shè)隨機(jī)變量的方差，對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位數(shù)，有這表明，置信水平對(duì)應(yīng)的漸近置信區(qū)間是。若兩個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，那么無(wú)論從或中抽樣均可得到的蒙特卡洛估計(jì)值。3. 蒙特卡洛模擬方法為期權(quán)定價(jià)的實(shí)現(xiàn)步驟期權(quán)定價(jià)的蒙特卡洛方法的理論依據(jù)是風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理：在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下，期權(quán)價(jià)格能夠表示為其到期回報(bào)的貼現(xiàn)的期望值，即，其中的表示風(fēng)險(xiǎn)中性期望，r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，T為期權(quán)的到期執(zhí)行時(shí)刻，是關(guān)于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格路徑的預(yù)期收益。例1：假設(shè)無(wú)紅利的股票A，初始價(jià)格為￥6，價(jià)格過(guò)程服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，年預(yù)期收益率為10%，收益率的波動(dòng)率為每年25%，（1年為100時(shí)間步），給定數(shù)據(jù)，以及＝100，用蒙特卡洛方法模擬資產(chǎn)的價(jià)格路徑如下：（1）（2）圖（1）蒙特卡洛方法模擬股票A價(jià)格路徑，圖（2）蒙特卡洛方法模擬股票B價(jià)格路徑。歐式看漲期權(quán)，通過(guò)BlackScholes公式計(jì)算得的精確值為，蒙特卡洛模擬的價(jià)格為，其蒙特卡洛模擬圖如下：（5）上述同樣的條件，路徑由100逐漸增加到1000000條，對(duì)應(yīng)地分別得到的期權(quán)價(jià)值的模擬值和置信區(qū)間，結(jié)果如下表所示：各種路徑下蒙特卡洛方法模擬的95%置信區(qū)間N模擬值置信區(qū)間100[,]500[,]1000[,]2000[,]5000[,]10000[,]50000[,]100000[,]1000000[,]167。現(xiàn)選取我國(guó)認(rèn)股權(quán)證中的五糧YGC馬鋼CWB伊利CWB1為例，以2006年的價(jià)格作為樣本區(qū)間模擬認(rèn)股權(quán)證的價(jià)值，并將這些權(quán)證的蒙特卡洛模擬價(jià)值和由wind數(shù)據(jù)庫(kù)給出的理論值進(jìn)行比較。為了更直觀的比較，由蒙特卡洛方法模擬的認(rèn)股權(quán)證價(jià)格與BlackScholes模型的精確值和市場(chǎng)價(jià)格比較的結(jié)果如下圖。對(duì)于這些認(rèn)股權(quán)證價(jià)格的模擬結(jié)果的好壞，受諸多因素影響，主要與選取的波動(dòng)率和中國(guó)權(quán)證市場(chǎng)的發(fā)展特點(diǎn)有關(guān)等等。牛頓迭代法是牛頓在17世紀(jì)提出的一種在實(shí)數(shù)域上近似求解方程根的方法。此外，為了計(jì)算隱含波動(dòng)率，經(jīng)濟(jì)學(xué)家和理財(cái)專家曾做過(guò)種種努力試圖尋找一個(gè)計(jì)算波動(dòng)率的公式。不正常的波動(dòng)用泊松過(guò)程(Poisson)來(lái)描述—由未預(yù)料到的重要信息的出現(xiàn)引起的。上式是對(duì)跳躍項(xiàng)作如下假定得出的：在兩個(gè)跳躍之間保持不變，而在跳躍時(shí)間是離散和隨機(jī)的；有種跳躍類型，跳躍尺度為，跳躍尺度為的概率為，跳躍的發(fā)生強(qiáng)度依賴于的最終觀測(cè)值，跳躍類型和尺度都是獨(dú)立隨機(jī)的。令，根據(jù)帶跳躍項(xiàng)的伊藤公式可得其微分形式為整理上式，得到標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格公式為在標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格遵循跳擴(kuò)散過(guò)程的假設(shè)下，根據(jù)上述帶跳伊藤公式可得期權(quán)價(jià)值的微分形式如下構(gòu)造期權(quán)與標(biāo)的資產(chǎn)的無(wú)套利資產(chǎn)組合，其微分形式為則該無(wú)套利資產(chǎn)組合微分形式的期望如下式由于資產(chǎn)組合為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合，因此有如下等式成立兩式聯(lián)立并化簡(jiǎn)得到標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格遵從跳擴(kuò)散過(guò)程的定價(jià)公式如下：若沒(méi)有發(fā)生跳躍事件，則，將其代入上式所得結(jié)果與BlackScholes微分方程完全
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