【正文】 ，故=3（iv）=3（v）=0（vi）不存在（5）（i）；（ii）；（iii）；（iv）；（v）；（vi）.題圖見教材。21．指出下列方程組在平面直角坐標(biāo)系下與在空間直角坐標(biāo)系下分別表示什么圖形．（1）；解：平面直角坐標(biāo)系下這兩個方程表示兩條直線的交點(diǎn)．空間直角坐標(biāo)系下表示兩個平面的交線．（2）；解：平面直角坐標(biāo)系下表示一個橢圓和一條直線的的交點(diǎn)（其實(shí)是切點(diǎn)）； 空間直角坐標(biāo)系下表示一個柱面和一個平面的交線（一條）．22．分別求出母線平行于 x 軸及 y 軸并且通過曲線 的柱面方程。（3）所給方程表示一個開口向下的橢圓拋物面，其參數(shù)方程為 求與坐標(biāo)原點(diǎn)O及點(diǎn) (2，3，4) 的距離之比為2:1的點(diǎn)的全體所組成的曲面的方程，它表示怎樣的曲面？試給出其參數(shù)方程．解：設(shè)曲面上的動點(diǎn)坐標(biāo)為 依題意 即 為所求曲面方程（是一個球面）． 其參數(shù)方程為 9. 9. 求經(jīng)過兩點(diǎn) (1，5，1) 和 (3，2，2)，且平行于y軸的平面方程．試寫出其參數(shù)方程．解：由于平面平行y軸 ，設(shè)所求平面方程為 　（1） 將已知點(diǎn)代入（1）式得 ?。?） 解（2）式得 （3） 再將（3）式代入（1）式得即 為所求平面的方程． 令 ，則其參數(shù)方程為 7. 7. 一平面經(jīng)過點(diǎn) (1，0，2)，且平行于平面2x＋3y－5z＝0，試寫出其法向量，并寫出平面的方程．解：設(shè)所求平面為 ，法向量為 已知平面：，其法向量 因?yàn)? ，所以 ，即 （為非零常數(shù)） 又因點(diǎn)（1，0，2）在平面 上，所以由點(diǎn)法式得 即 為所求平面的方程．5. 5. 方程表示什么曲面？解：將已知方程配方得 所以，原方程表示以（1，2，1）為球心，半徑為的球面．3. 3.習(xí) 題 21. 1. 33．在空間直角坐標(biāo)系中，說明下列各點(diǎn)的位置A(3，1，2)、B(2，3，2)、C(1，2，4)、D(3，0，4)、E(0，0，2)、F(2，6，2)． 解 A(3，1，2)位于第一卦限、B(2，3，2) 位于第四卦限、C(1，2，4) 位于第八卦限、D(3，0，4) 位于平面、E(0，0，2) 位于z軸負(fù)向、F(2，6，2) 位于第六卦限．34．求點(diǎn)M(2，3，4)關(guān)于(1)各坐標(biāo)面(2)各坐標(biāo)軸(3)坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)． 解 (1) 關(guān)于的對稱點(diǎn)為(2，3，4)，關(guān)于的對稱點(diǎn)為(2，3，4)，關(guān)于的對稱點(diǎn)為(2，3，4)．(2)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為(2，3，4)，關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為(2，3，4)，關(guān)于z軸的對稱點(diǎn)為(2，3，4)． (3)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，3，4)．35． 求下列各函數(shù)的定義域，并畫出定義域的圖形：(1)； (2) ； (3) ； (4) ． 36． 某公司生產(chǎn)中使用 I 和 II 兩種原料，已知 I 和 II 兩種原料分別使用x單位和y單位可生產(chǎn)U單位的產(chǎn)品，這里并且第 I 種原料每單位的價值為10元，第 II 種原料每單位的價值為 4 元，產(chǎn)品成品每單位的售價為 40 元，試給出其利潤函數(shù)． 解 其單位產(chǎn)品利潤為 P=單位價格單位成本=37． 一個燈泡懸吊在半徑為r的圓桌正上方，桌上任一點(diǎn)受到的光照度與光線的入射角的余弦值成正比(入射角是光線與桌面的垂直線之間的夾角)，而與光源的距離平方成反比．試求桌子邊緣所得到的光照度．38． 在平行四邊形ABCD中，已知，M為對角線 AC 與 BD 的交點(diǎn)，試用 a，b 表示，．解 所以39． 已知|a|=5，|b|=3，|a + b|＝7，求|a b|．解 設(shè)兩向量之間的夾角為，則由余弦公式，所以， 所以|a－b|40． 由坐標(biāo)系的原點(diǎn)到一點(diǎn)所引的向量稱為這一點(diǎn)的向徑． 已知在平行四邊形 ABCD 中，三個頂點(diǎn) A、B、C的向徑表達(dá)式為：＝，＝，＝，試求向徑的表達(dá)式，如圖 159 所示． 解 41． 一條東西走向的河流，水由東流向西，流速為 1 km/h，某游泳者從河南岸的 A 點(diǎn)以 2 km/h的速度游往對岸，方向?yàn)檎保?若河的寬度為4km，畫圖分析游泳者的真實(shí)游泳方向，然后求解：(1) 游泳者的游動速度？(2) 游泳者花多長時間可以游至對岸？所游的路程為多少？解 (1) (2) （h），所游路程為：（km） 42． 求下列各對點(diǎn)之間的距離(1) 點(diǎn) A(0，0，0)與點(diǎn) B(2，3，1)； (2) 點(diǎn) C(5，2，3)與點(diǎn) D(1，3，2)． 解 (1) (2) 43． 在x軸上求與點(diǎn)A(1，2，3)和B(2，3，5)等距離的點(diǎn)． 解 設(shè)這個點(diǎn)為：，則解之可得：44． 在 yOz 面上，求與點(diǎn) A(4，2， 2)， B(3，1，2)和 C(0，5，1)等距離的點(diǎn)． 解 設(shè)這個點(diǎn)為：，則解之得：，所以這個點(diǎn)為45． 已知 a=i＋j 4k，b=2i 2j＋k，試求：、|a| 、|b|及()． 解 =； |a|=， |b|=cos()=46． 已知|a|＝4，|b|＝5，()=，試求：(1) (2) (a + b) (3) (3a 2b) 22． 在一個擁有80 000人的城市里，在時刻 得感冒的人數(shù)為其中 是以天為單位．試求開始感冒的人數(shù)及第 4 天感冒的人數(shù)．解　由（人）（人） 23． 將下列函數(shù)分解成基本初等函數(shù)的復(fù)合　　(1) ； (2) ； (3) ； (4) ．解（1）由復(fù)合而成；?。?）由復(fù)合而成；?。?）由復(fù)合而成；　（4）由復(fù)合而成．24． 設(shè)，求(1)，進(jìn)而求；(2) 求． 解（1） （2） （3） 25． 求下列函數(shù)的反函數(shù)，指出定義域：　　(1) ； (2) ； (3)(x ≥．解　(1)；(2)；(3)≤≤ 26． 加拿大芳迪灣(Bay of Fundy)以擁有世界上最大的海潮著稱，其高低水位之差達(dá) 15 m 之多．假設(shè)在芳迪灣某一特定點(diǎn)，水的深度 （單位：m）作為時間 的函數(shù)由給出，其中為自 1994 年 1 月 1 日午夜以來的小時數(shù)． (1) 解釋 的物理意義． (2) 求出 的值． (3) 求出 的值，假定連續(xù)兩次高潮位的時間間隔為 h．(4) 解釋 的物理意義．解 (1) 表示海潮的平衡位置高度．(2) =15/2=(3) (4) 表示1994 年 1 月 1 日午夜以來海潮第一次達(dá)到最高位置的小時數(shù)。2． 某工廠有一水池，其容積為100，原有水為10． ． 試將水池中水的體積表示為時間 t 的函數(shù)，且問需用多少min水池才能灌滿？解 設(shè)水的體積為 V， 則V= + 10(min)3． 以速率A (單位：)往一圓錐形容器注水． 容器的半徑為 R cm，高為H ． 試將容器中水的體積 V 分別表示成時間 t 與水高度 y 的函數(shù)． 解 4． (手機(jī)服務(wù)的選擇問題)假設(shè)目前的手機(jī)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是這樣的：“133 環(huán)保網(wǎng)”的收費(fèi)為每月基本費(fèi)用 50 元，每通話 1 min(不足 1 min按 1 min計算)再加收 元；“神州行”無每月基本費(fèi)用，但按每通話 1 min(不足 1 min按 1 min計算)加收 元計算話費(fèi)．若僅在本地區(qū)使用手機(jī)，如何選擇手機(jī)服務(wù)？請給出一個建議．解 133 環(huán)保網(wǎng)話費(fèi)為；神州行話費(fèi)為 ≤0時，即≥125（h）時，≤，即使用“133 環(huán)保網(wǎng)”所需交納的話費(fèi)較少， 若每月通話時間不足 125 min則用“神州行”合適．5． 某公司每天要支付一筆固定費(fèi)用 300 元(用于房租與薪水等)，它所出售的食品的生產(chǎn)費(fèi)用為 1 元/kg，而銷售價格為 2 元/kg．試問他們每天應(yīng)當(dāng)銷售多少 kg 食品才能使公司的收支保持平衡?解 (kg) 6． 設(shè)某商品的供給函數(shù)(即供給量作為價格的函數(shù))為， 需求函數(shù)(即需求量作為價格的函數(shù))為， 其中為價格．(1) (1)在同一坐標(biāo)系中，畫出的圖形；(2) (2)若該商品的需求量與供給量均衡，求其價格．解 由實(shí)際意義取7． 有一物體作直線運(yùn)動，已知物體所受阻力的大小與物體的運(yùn)動速度成正比，但方向相反．當(dāng)物體以4m/s的速度運(yùn)動時，阻力為 2 N，試建立阻力與速度之間的函數(shù)關(guān)系．解 設(shè)8． 一架飛機(jī)起飛用油是一個固定量，著陸用油是一個(不同的)固定量，空中飛行每km用油也是一個固定量，所需的燃料總量是如何依賴于航程距離的？寫出有關(guān)函數(shù)的表達(dá)式．解釋表達(dá)式中常數(shù)的意義．解 設(shè)起飛用油為，著陸用油，空中飛行用油為，則為常量，其中，其中為飛行每km用油量，為航程，因此所需燃料總量9． 財產(chǎn)保險要估價財產(chǎn)，例如對小汽車或冰箱進(jìn)行估價．財產(chǎn)的價值將隨其使用時間的加長而降低，也就是會貶值．例如最初花 100 000 元購買的小汽車，幾年后只值 50 000 元．計算財產(chǎn)值的最簡單方法是利用“貶值直線”，它假定財產(chǎn)價值是時間的線性函數(shù)．如果一個 1 950 美元的冰箱 7 年后貶得一文不值，求出其價值作為時間函數(shù)的表達(dá)式．解 設(shè)財產(chǎn)價值為，時間為，則此線性函數(shù)可設(shè)為時，；；所以10．(1) 利用表110中的數(shù)據(jù)確定一個形如的公式．該公式給出了時刻 (以月計)時，兔子的數(shù)量． (2) 該兔子種群的近似倍增期是多少? (3) 利用你的方程預(yù)測該兔子種群何時達(dá)到1 000只． 表110012345254375130226391 解 （1）解方程組：，所以公式為 （2）由得到：(月) （3）由得到：(月)注：求r的時候可以選取任意兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行計算，也可以用其他方式進(jìn)行計算，比如用各相鄰兩組數(shù)據(jù)的差的平均值．結(jié)果略有差異．11． 旅客乘坐火車時，隨身攜帶物品，不超過 20 kg免費(fèi)，超過 20 kg部分，每kg收費(fèi) 元． 超過50 kg部分再加收 50 %． 試列出收費(fèi)與物品重量的函數(shù)關(guān)系式． 解 設(shè)收費(fèi)為，物重為，則當(dāng)≤20時，；≤12． 某停車場收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：凡停車不超過2 h的，收費(fèi) 2 元；以后每多停車 1 h(不到 1 h仍以 1 h計)增加收費(fèi) 元．但停車時間最長不能超過 5 h．試建立停車費(fèi)用與停車時間之間的函數(shù)關(guān)系模型．解 設(shè)收費(fèi)為，停車時間為，則當(dāng)≤≤ 13． 設(shè)儀器由于長期磨損，使用年后的價值是由下列模型確定的．使用 20 年后，儀器的價值為 8 元．試問當(dāng)初此儀器的價值為多少? 解 由，將代入得到：14． 生物在穩(wěn)定的理想狀態(tài)下，細(xì)菌的繁殖按指數(shù)模型增長: (表示 min后的細(xì)菌數(shù))假設(shè)在一定的條件下，開始時有 2 000 個細(xì)菌，且 20 min后已增加到 6 000 個，試問 1 h后將有多少個細(xì)菌? 解 15． 大氣壓力隨著離地球表面的高度的增加而呈指數(shù)減少：其中是海平面處的大氣壓力，以m計． (1) 珠穆朗瑪峰的頂峰海拔高 8 m，那里的大氣壓力是多少？將其表示為海平面處大氣壓力的百分?jǐn)?shù)；(2) 一架普通商用客機(jī)的最大飛行高度大約是 12 000 m． 此高度的大氣壓力是多少？將其表示為海平面處大氣壓力的百分?jǐn)?shù)．解 16． 某工廠的空氣經(jīng)過過濾使得污染數(shù)量(單位：mg/L)正按照方程減少，其中表示時間（單位：h）．如果在前 5 h內(nèi)消除了 10 % 的污染物： (1) 10 h后還剩百分之幾的污染物？ (2) 污染減少 50 % 需花多少時間？ (3) 畫出污染物關(guān)于時間的函數(shù)圖象，在圖象上表示出你的計算結(jié)果． (4) 解釋污染量以這種方式減少的可能原因．解 (3) 圖像略。 (4) 略。27． 設(shè)一個家庭貸款購房的能力 y 是其償還能力 u 的 100 倍，而這個家庭的償還能力 u 是月收入 x 的 20 %．(1) (1)試把此家庭貸款購房能力 y 表示成月收入 x 的函數(shù)。(2a + 3b)解 47． 已知= i＋3k，=j＋3k． (1)求△OAB的面積；(2)求與之間的夾角正弦． 解 　，所以所以三角形的面積為 48． 已知a＝(2， 3，1)，b＝(1， 1，3)，c＝(1， 2，0)，計算下列各式：(1) ()c ()b (2) 解　(1) ()c ()b=(2 + 3 + 3)c (2 + 6 + 0)b=(0，8，24) (2) (8，5，1)(1，2，0)49． 一架飛機(jī)在某高度并以常速600km/h飛行，一架殲擊機(jī)瞄準(zhǔn)了這一飛機(jī)前進(jìn)路線上的 P 點(diǎn)，以便對它射擊．飛機(jī)距 P 點(diǎn)2km時，殲擊機(jī)以 1 200 km/h的速度飛行，并且距離 P 點(diǎn) 4 km，又若兩機(jī)相距5km。15．按指定條件求出直線方程：（1）平行于直線且經(jīng)過點(diǎn)（1，2，1）；解：法1：經(jīng)過點(diǎn)平行于兩個平面的直線，可以由經(jīng)過點(diǎn)分別平行于兩個平面的平面相交而成，因而所求直線即為過點(diǎn)分別平行于已知平面