【正文】 合格品；而其余 20% 需進(jìn)一步調(diào)試，經(jīng)調(diào)試后，其中 70%為合格品， 30% 為次品 . 假設(shè)每臺(tái)儀器的生產(chǎn)是相互獨(dú)立的 . （ 1 ）求該批儀器的合格率； （ 2 ）又若從該批儀器中隨機(jī)地抽取 3 臺(tái)，求恰有一臺(tái)為次品的概率 . 39 解 分別記事件 A ={ 無 需 調(diào)試 } ， B ={ 合格品 } ， A ={ 需 調(diào)試 } ， C ={ 隨機(jī)抽取 3 臺(tái)，恰有 1 臺(tái)次品 } . （ 1 ） 由全概率公式知 ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )P B P A P B A P A P B A?? . 其中 , 已知 ( ) , ( | ) 1 , ( | ) .P A P B A P B A? ? ? 因此 ( ) 0 . 8 1 0 . 2 0 0 . 7 0 0 . 9 4PB ? ? ? ? ?，即儀器的合格率為 . （ 2 ） 由 于 生 產(chǎn) 是 獨(dú) 立 的 ， 因 此 可 以 將 該 試 驗(yàn) 看 成 為3 , 1 0 . 9 4 0 . 0 6np ? ? ? ?的伯努利試驗(yàn)，其中 p 為儀器的次品率。 ? ?2 第一盒恰有j個(gè)球的概率( 1 )jn?? . 22 解 記問題 （ 1 ）、（ 2 ）涉及 的隨機(jī)事件 分別 為 A, B . ? ?1 A 發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)不同的球落入不同的盒子，因此有利 于 A 的樣本點(diǎn)數(shù)為不可重復(fù)排列數(shù)? ? ? ?11r r r n? ? ?。瓦里安說：“ 我一直都說，在未來 10年，最具吸引力的工作將是統(tǒng)計(jì)師 .” 統(tǒng)計(jì)師地位的提高是近來電子數(shù)據(jù)爆炸式增長(zhǎng)的結(jié)果，到 2023年，全球電子數(shù)據(jù)約增長(zhǎng) 5倍 . 3 正如麻省理工學(xué)院的埃生克 171。布林約爾松所說 ,我們正在迅速進(jìn)入一個(gè)每件事都能被監(jiān)控和分析的世界，但問題在于人類利用、分析和解釋數(shù)據(jù)的能力！這正反映了信息時(shí)代對(duì)統(tǒng)計(jì)和統(tǒng)計(jì)人才的強(qiáng)大需求，鮮活客觀的數(shù)據(jù)是解決長(zhǎng)期經(jīng)濟(jì)需求問題，以及確定重要政策的優(yōu)先程序的第一步 .因而人們只有借助統(tǒng)計(jì)學(xué)這一重要工具，使用計(jì)算機(jī)和縝密的數(shù)學(xué)模型，在大量數(shù)據(jù)中發(fā)掘重要信息，尋求其規(guī)律和決定對(duì)策 . 4 第一篇 概 率 論 部 分 5 （一）事件的概率 （二）條件概率與事件的獨(dú)立性 （三）隨機(jī)變量及其分布 （四）隨機(jī)變量的數(shù)字特征 6 （一）事件的概率 7 ?在隨機(jī)試驗(yàn)中，對(duì)某些現(xiàn)象的陳述為隨機(jī)事件（也簡(jiǎn)稱事件） . ?對(duì)于指定的一次試驗(yàn)，一個(gè)特定的事件可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，這就是事件的隨機(jī)性 . 8 ?例 1（ 第一章例 1），投擲一枚均勻骰子，觀察朝上面的點(diǎn)數(shù)，我們關(guān)注 “ 出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)不大于 4”這個(gè)事件（記之為 A） . 當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn) 3點(diǎn)時(shí)，事件 A發(fā)生； 當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn) 5點(diǎn)時(shí)，事件 A不發(fā)生 . 總之，在試驗(yàn)前，無法判斷事件 A是否發(fā)生 . 9 事件的關(guān)系 （ 1） （ B包含 A） 。所以 ? ?? ? ? ?11nr r r nPAr? ? ??； ? ?2第一盒的j個(gè)球來自n個(gè)球的總體，一共有nj??????種不同選擇； 當(dāng) 第一盒的j個(gè) 球選定后，剩下的nj?個(gè)球落入剩下的 1r ? 個(gè)盒子中，其球在盒子的分布總數(shù)為( 1 ) njr ??，因而有利 于 B 的樣本點(diǎn)數(shù)為( 1 )njnrj????????. 最后得到 ? ?( 1 )njnnrjPBr?????????. 23 （二）條件概率與事件的獨(dú)立性 24 計(jì)算公式：若( ) 0PB ?，則 ()()()P ABP A BPB? 乘法公式：若( ) 0PB ?，則 ( ) ( ) ( )P A B P B P A B? 推廣：若( ) 0P A B ?， ( ) ( ) ( ) ( )P A B C P A P B A P C A B? 25 例 6（ 第 三 章例 3） 一批零件共 100件，其中次品 有 10件，今從中不放回抽取 2次，每次取 1件，求 第一次為次品，第二次為正品的概率 . 解 記 A＝ {第一次為次品 }， B＝ {第二次為正品 }， 要求 P(AB)，由乘法公式，先求 P(BlA)及 P(A) 已知 P(A)=，而 P(BlA)＝ 90/99， 因此 P(AB) ＝ P(A)P(BlA) ＝ 90/99＝ . 26 27 例 7 設(shè) A ,B 為 兩 個(gè)事件，且已知( ) 0 . 3 , ( ) 0 . 4 , ( ) 0 . 5P A P B P A B? ? ? ?,求()P B A及()P B A B. 解 因 為( ) ( ) ( )()( ) ( )P B A P B P A BP B AP A P A??? ( ( ) ) ( )()( ) ( ) ( ) ( )P B A B P A BP B A BP A B P A P B P A B???? ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P AB P ABP A P B P A P AB P B P AB??? ? ? ?, 28 依假設(shè)條件，只 需 求出()P A B, 即可求解 . 今 ( ) ( ( ) ) ( ) ( )P A B P A A B P A P A B? ? ? ? ? ? 1 ( ) ( ) 1 0 . 3 0 . 5 0 . 2P A P A B? ? ? ? ? ? ? ?, 所以 ( ) 2()( ) 3PBP B APA??? ? ?, 0 . 2 1()1 0 . 4 0 . 2 4P B A B ????. 貝葉斯公式 全概率公式 若 事件12, , , nA A A兩兩互斥，且0)( ?iAP， ni ??1 , 令 ?niiBAB1??, 則 有 ???niii ABPAPBP1)|()()(. 原因 A1 原因 A2 原因 An 結(jié)果 B … … 全概率公式是已知“原因”發(fā)生概率，求“結(jié)果”發(fā)生概率 . 29 貝葉斯公式 設(shè)nAA ,1 ?兩兩 互斥，且0)( ?iAP， ni ??1 ，0)( ?BP， ?niiBAB1??, 則 對(duì)任一 1 in?? ， 有 ???nkkkiiiABPAPABPAPBAP1)|()()|()()|(. 貝葉斯公式是已知“結(jié)果”，推斷該“結(jié)果”由某“原因” 發(fā)生的概率。于是 23( ) 0. 06 0. 94 0. 15 9.1PC??? ? ? ????? 40 41 例 11 獨(dú)立地重復(fù)投擲兩枚均勻骰子，求兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為 4 出現(xiàn)在點(diǎn)數(shù)之和為 6 之前的概率 . 解 記 A ={ 點(diǎn)數(shù)之和為 4 出現(xiàn)在點(diǎn)數(shù)之和為 6 之前 } ， nA={ 前 n 1 次投擲點(diǎn)數(shù)之和為 4 與 6 都不出現(xiàn)，而第 n 次投擲出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為 4} . 則1nnAA???，且諸nA是 兩兩 互斥的，因而 11( ) ( ) ( ) .nnnnP A P A P A? ????? ? 42 但由 于 投擲是獨(dú)立進(jìn)行的，且不論哪一次投擲，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為 4 的概率為336，而出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為 6 的概率為536. 因而 , 對(duì)1n ?，有 113 5 3 7 3( ) 1 ,3 6 3 6 3 6 9 3 6nnnPA??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 所以117 3 3 1 3( ) .79 3 6 3 6 819nnPA?????? ? ? ? ??????? （三） 隨機(jī)變量及其分布 43 設(shè) X 是 隨機(jī)變量， 一個(gè)取值于區(qū)間 [0 ， 1] 的實(shí)值函數(shù) ? ? ? ?xXPxF ?? ( ?????? x ) 稱 為 X 的分布函數(shù) . 44 分布函數(shù)的圖像， y＝ 0及 y＝ 1是兩條漸近線 y＝ 0 y＝ 1 45 分布函數(shù)有如下性質(zhì)： （ 1 ）? ? 10 ?? xF； （ 2 ）? ?xF單調(diào)不減，即當(dāng)21 xx ?時(shí)，? ? ? ?21 xFxF ?； （ 3 ）? ? ? ? 1lim,0lim ????????xFxFxx； （ 4 ）? ?xF是一個(gè)右連續(xù)函數(shù)，即? ? ? ?00l imxxF x F x???. 46 離散型隨機(jī)變量的分布律 設(shè) 隨機(jī)變量 X 的取值為一一可數(shù)12,xx, 且記? ?ii xXPp ??，1 , 2 ,i ?， 稱 下述表格所表示的函數(shù)為 X 的分布律： X 1x 2x ? ix ? 概率 1p 2p ? ip ? 其中? ?ii xXPp ??且滿足1??iip. 47 X 的分布函數(shù)可用分布律表示如下： :( ) ( )iii x xF x p x?? ? ? ? ? ? ??； 而且如已知 X 的分布函數(shù)()F及取值? ?ix，也可求出分布律 ( ) ( ) ( 1 , 2 , )i i ip F x F x i?? ? ? 其中()iFx ?為()Fx在ix處左極限 . 48 例 12（ 第四章例 5）袋中有 5個(gè)球，分別編號(hào) 1,2,3,4, 3個(gè)球，以 X表示取出的球的最小號(hào)碼，求 X的分布律與分布函數(shù) . 解 由于 X表示取出的 3個(gè)球中的最小號(hào)碼， 因此 X的所有可能取值為 1,2,3， {X＝ 1}表示 3個(gè)球中的最小號(hào)碼為 1，那么另外兩個(gè)球可在 2,3,4,5中任取 2個(gè)，這樣的可能取法有 種 。 （ 2 ）指數(shù)分布? ??E， ? ?, 0 ,0,xexfx???? ?? ?? 其 它 。 ? ? ? ?, d ( )Yf y f x y x y????? ? ? ? ? ??? 為 Y 的邊緣密度 . 66 例 1 8 （ 第五章例 4 、例 7 ） 設(shè) 二維隨機(jī)變量? ?YX ,在區(qū)域 G 上服從均勻分布，其中? ?0 1 ,G x y x? ? ? ?， 求（ 1 ）? ?YX ,的聯(lián)合密度函數(shù)? ?yxf ,；（ 2 ）關(guān)于 X ，關(guān)于 Y 的邊緣密度函數(shù) . 解 易見 G 的面積為 1 ，因此聯(lián)合密度為 1 , 0 1 , ,( , )0,x y xf x y? ? ? ?? ?? 其 他 . ? ? ? ?2 0 1,d0Xxxf x f x y y?????????