【正文】 　　例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．　　解 設(shè)x2+4x+8=y，則　　原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)　　　　=(x2+6x+8)(x2+5x+8)　　　　=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．　　說明 由本題可知，用換元法分解因式時，不必將原式中的元都用新元代換，根據(jù)題目需要，引入必要的新元，原式中的變元和新變元可以一起變形，換元法的本質(zhì)是簡化多項式．　　例9 分解因式：6x4+7x336x27x+6．　　解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x21)36x2　　　　　　　=6［(x42x2+1)+2x2］+7x(x21)36x2　　　　　　　=6[(x21)2+2x2]+7x(x21)36x2　　　　　　　=6(x21)2+7x(x21)24x2　　　　　　　=[2(x21)3x］［3(x21)+8x]　　　　　　　=(2x23x2)(3x2+8x3)　　　　　　　=(2x+1)(x2)(3x1)(x+3)．　　說明 本解法實際上是將x21看作一個整體，但并沒有設(shè)立新元來代替它，即熟練使用換元法后，并非每題都要設(shè)置新元來代替整體．　　解法2　　 　　　　　　　　原式=x2[6(t2+2)+7t36]　　　　=x2(6t2+7t24)=x2(2t3)(3t+8)　　　　=x2[2(x1/x)3][3(x1/x)+8]　　　　=(2x23x2)(3x2+8x3)　　　　=(2x+1)(x2)(3x1)(x+3)．　　例10 分解因式：(x2+xy+y2)4xy(x2+y2)．　　分析 本題含有兩個字母，且當互換這兩個字母的位置時，多項式保持不變，這樣的多項式叫作二元對稱式．對于較難分解的二元對稱式，經(jīng)常令u=x+y，v=xy，用換元法分解因式．　　解 原式=[(x+y)2xy]24xy[(x+y)22xy]．令x+y=u，xy=v，則　　原式=(u2v)24v(u22v)　　　　=u46u2v+9v2　　　　=(u23v)2　　　　=(x2+2xy+y23xy)2　　　　=(x2xy+y2)2．練習一　　1．分解因式：　　　　(2)x10+x52；　　　　(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2x5．　　2．分解因式：　　(1)x3+3x24；　　(2)x411x2y2+y2；　　(3)x3+9x2+26x+24；　　(4)x412x+323．　　3．分解因式：　　(1)(2x23x+1)222x2+33x1；　　(2)x4+7x3+14x2+7x+1；　　(3)(x+y)3+2xy(1xy)1；(4)(x+3)(x21)(x+5)20．第二講 因式分解(二)　　1．雙十字相乘法　　分解二次三項式時，我們常用十字相乘法．對于某些二元二次六項式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我們也可以用十字相乘法分解因式．　　例如，分解因式2x27xy22y25x+35y3．我們將上式按x降冪排列，并把y當作常數(shù)，于是上式可變形為2x2(5+7y)x(22y235y+3)，　　可以看作是關(guān)于x的二次三項式．　　對于常數(shù)項而言，它是關(guān)于y的二次三項式，也可以用十字相乘法，分解為　　即　　22y2+35y3=(2y3)(11y+1)．　　 再利用十字相乘法對關(guān)于x的二次三項式分解　　所以　　原式=［x+(2y3)］［2x+(11y+1)］　　　　=(x+2y3)(2x11y+1)．　　上述因式分解的過程，實施了兩次十字相乘法．如果把這兩個步驟中的十字相乘圖合并在一起，可得到下圖：　　它表示的是下面三個關(guān)系式：　　(x+2y)(2x11y)=2x27xy22y2；　　(x3)(2x+1)=2x25x3；　　(2y3)(11y+1)=22y2+35y3．　　這就是所謂的雙十字相乘法．　　用雙十字相乘法對多項式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f進行因式分解的步驟是：　　(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一個十字相乘圖(有兩列)；　　(2)把常數(shù)項f分解成兩個因式填在第三列上，要求第二、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的ey，第一、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的dx．　　例1 分解因式：　　(1)x23xy10y2+x+9y2；　　(2)x2y2+5x+3y+4；　　(3)xy+y2+xy2；　　(4)6x27xy3y2xz+7yz2z2．　　解 (1)　　原式=(x5y+2)(x+2y1)．　　(2)　　原式=(x+y+1)(xy+4)．　　(3)原式中缺x2項，可把這一項的系數(shù)看成0來分解．　　原式=(y+1)(x+y2)．　　(4)　　原式=(2x3y+z)(3x+y2z)．　　說明 (4)中有三個字母，解法仍與前面的類似．　　2．求根法　　我們把形如anxn+an1xn1+…+a1x+a0(n為非負整數(shù))的代數(shù)式稱為關(guān)于x的一元多項式，并用f(x)，g(x)，…等記號表示，如　　f(x)=x23x+2，g(x)=x5+x2+6，…，　　當x=a時，多項式f(x)的值用f(a)表示．如對上面的多項式f(x)　　f(1)=1231+2=0；　　f(2)=(2)23(2)+2=12．　　若f(a)=0，則稱a為多項式f(x)的一個根．　　定理1(因式定理) 若a是一元多項式f(x)的根，即f(a)=0成立，則多項式f(x)有一個因式xa．　　根據(jù)因式定理，找出一元多項式f(x)的一次因式的關(guān)鍵是求多項式f(x)的根．對于任意多項式f(x)，要求出它的根是沒有一般方法的，然而當多項式f(x)的系數(shù)都是整數(shù)時，即整系數(shù)多項式時，經(jīng)常用下面的定理來判定它是否有有理根．　　定理2　　　　的根，則必有p是a0的約數(shù)，q是an的約數(shù)．特別地，當a0=1時，整系數(shù)多項式f(x)的整數(shù)根均為an的約數(shù)．　　我們根據(jù)上述定理，用求多項式的根來確定多項式的一次因式，從而對多項式進行因式分解．　　例2 分解因式：x34x2+6x4．　　分析 這是一個整系數(shù)一元多項式，原式若有整數(shù)根，必是4的約數(shù)，逐個檢驗4的約數(shù)：177。1，177。為：　　所以，原式有因式9x23x2．　　解 9x43x3+7x23x2　　　=9x43x32x2+9x23x2　　　=x2(9x33x2)+9x23x2　　　=(9x23x2)(x2+1)　　　=(3x+1)(3x2)(x2+1)　　說明 若整系數(shù)多項式有分數(shù)根，可將所得出的含有分數(shù)的因式化為整系數(shù)因式，如上題中的因式　　可以化為9x23x2，這樣可以簡化分解過程．　　總之，對一元高次多項式f(x)，如果能找到一個一次因式(xa)，那么f(x)就可以分解為(xa)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多項式，這樣，我們就可以繼續(xù)對g(x)進行分解了．　　3．待定系數(shù)法　　待定系數(shù)法是數(shù)學中的一種重要的解題方法，應用很廣泛，這里介紹它在因式分解中的應用．　　在因式分解時，一些多項式經(jīng)過分析，可以斷定它能分解成某幾個因式，但這幾個因式中的某些系數(shù)尚未確定，這時可以用一些字母來表示待定的系數(shù)．由于該多項式等于這幾個因式的乘積，根據(jù)多項式恒等的性質(zhì)，兩邊對應項系數(shù)應該相等，或取多項式中原有字母的幾個特殊值，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程(或方程組)，解出待定字母系數(shù)的值，這種因式分解的方法叫作待定系數(shù)法．　　例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．　　分析 由于　　(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，　　若原式可以分解因式，那么它的兩個一次項一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，應用待定系數(shù)法即可求出m和n，使問題得到解決．　　解 設(shè)　　x2+3xy+2y2+4x+5y+3　　=(x+2y+m)(x+y+n)　　=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，　　比較兩邊對應項的系數(shù)，則有　　解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．　　說明 本題也可用雙十字相乘法，請同學們自己解一下．　　例5 分解因式：x42x327x244x+7．　　分析 本題所給的是一元整系數(shù)多項式，根據(jù)前面講過的求根法，若原式有有理根，則只可能是177。n)+(12+22+…+202)．　　由前面計算的若干值可知：12+22+…+202是10的倍數(shù)，故ak+20=ak成立，…an…是一個有理數(shù)．練習三　　1．下列各數(shù)中哪些是有理數(shù)，哪些是無理數(shù)？為什么？　　　　　　　　　　　5．設(shè)α，β為有理數(shù)，γ為無理數(shù)，若α+βγ=0，求證：α=β=0．　第四講 分式的化簡與求值　　分式的有關(guān)概念和性質(zhì)與分數(shù)相類似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零時才有意義；也像分數(shù)一樣，分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個不等于零的整式，分式的值不變，這一性質(zhì)是分式運算中通分和約分的理論根據(jù)．在分式運算中，主要是通過約分和通分來化簡分式，從而對分式進行求值．除此之外，還要根據(jù)分式的具體特征靈活變形，以使問題得到迅速準確的解答．本講主要介紹分式的化簡與求值．　　例1 化簡分式：　　分析 直接通分計算較繁，先把每個假分式化成整式與真分式之和的形式，再化簡將簡便得多．　　　　　　　 　　?。剑?2a+1)(a3)(3a+2)+(2a2)］　　　　　 　　　　　　 　　　說明 本題的關(guān)鍵是正確地將假分式寫成整式與真分式之和的形式．　　例2 求分式　　當a=2時的值．　　分析與解 先化簡再求值．直接通分較復雜，注意到平方差公式：　　a2b2=(a+b)(ab)，　　可將分式分步通分，每一步只通分左邊兩項．　　　　　　　　例3 若abc=1，求　　分析 本題可將分式通分后，再進行化簡求值，但較復雜．下面介紹幾種簡單的解法．　　解法1 因為abc=1，所以a，b，c都不為零．　　　　 　　　解法2 因為abc=1，所以a≠0，b≠0，c≠0．　　　　　　　　　　例4 化簡分式：　　　分析與解 三個分式一齊通分運算量大，可先將每個分式的分母分解因式，然后再化簡．　　　　說明　　　　互消掉的一對相反數(shù)，這種化簡的方法叫“拆項相消”法，它是分式化簡中常用的技巧．　　例5 化簡計算(式中a，b，c兩兩不相等)：　　　似的，對于這個分式，顯然分母可以分解因式為(ab)(ac)，而分子又恰好湊成(ab)+(ac)，因此有下面的解法．　　解　　　　說明 本例也是采取“拆項相消”法，所不同的是利用　　例6 已知：x+y+z=3a(a≠0，且x，y，z不全相等)，求　　　　分析 本題字母多，分式復雜．若把條件寫成(xa)+(ya)+(za)=0，那么題目只與xa，ya，za有關(guān)，為簡化計算，可用換元法求解．　　解 令xa=u，ya=v，za=w，則分式變?yōu)閡2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0．　　由于x，y，z不全相等，所以u，v，w不全為零，所以u2+v2+w2≠0，從而有　　　　　說明 從本例中可以看出，換元法可以減少字母個數(shù)，使運算過程簡化．　　例7 化簡分式：　　　　　　　　　　　　　　　適當變形，化簡分式后再計算求值．　　　　　　　(x4)2=3，即x28x+13＝0．　　原式分子=(x48x3+13x2)+(2x316x2+26x)+(x28x+13)+10　　　　　　=x2(x28x+13)+2x(x28x+13)+(x28x+13)+10　　　　　　=10，　　原式分母=(x28x+13)+2=2，　　　　說明 本例的解法采用的是整體代入的方法，這是代入消元法的一種特殊類型，應用得當會使問題的求解過程大大簡化．　　　　解法1 利用比例的性質(zhì)解決分式問題．　　(1)若a+b+c≠0，由等比定理有　　　　所以　　a+bc=c，ab+c=b，a+b+c=a，　　于是有　　　　(2)若a+b+c=0，則　　a+b=c，b+c=a，c+a=b，　　于是有　　 　　說明 比例有一系列重要的性質(zhì)，在解決分式問題時，靈活巧妙地使用，便于問題的求解．　　解法2 設(shè)參數(shù)法．令　　　　則　　a+b=(k+1)c，①　　a+c=(k+1)b，②　　b+c=(k+1)a．③　　①+②+③有　　2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c)，　　所以 (a+b+c)(k1)=0，　　故有k=1或 a+b+c=0．　　當k=1時，　　　　　　當a+b+c=0時，　　說明 引進一個參數(shù)k表示以連比形式出現(xiàn)的已知條件，可使已知條件便于使用．練習四　　1．化簡分式：　　　　2．計算：　　　　3．已知：　　(yz)2+(zx)2+(xy)2　　=(x+y2z)2+(y+z2x)2+(z+x2y)2，　　　　　　的值．　　　　　　　　第五講 恒等式的證明　　代數(shù)式的恒等變形是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，它涉及的基礎(chǔ)知識較多，主要有整式、分式與根式的基本概念及運算