一注基礎(chǔ)高等數(shù)學(xué)知識總結(jié)-wenkub
2023-04-19 02:52:17 本頁面
【正文】 理；2） 在泰勒公式中若取則有麥克勞林（Maclaurin）公式： 多元微分學(xué)1． 極限與連續(xù)性平面上的點列的極限：設(shè)為平面點列，若，則稱是收斂點列，是點列的極限，記做（）。7． 函數(shù)的極值與最大值最小值極值可疑點：使導(dǎo)數(shù)為0 或不存在的點極值第一判別法：設(shè)函數(shù)在的某領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)，且在空心領(lǐng)域內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，當由小到大通過時， 1）“左正右負”，則在取極大值； 2）“左負右正”，則在取極小值。 可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系： （連續(xù)未必可導(dǎo)）2． 導(dǎo)數(shù)運算四則運算：1） 2） 3） 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則： 參數(shù)方程求導(dǎo)法：對參數(shù)方程， ，有 3． 常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼ ⑽ ⑾⑿ ⒀ ⒁⒂ ⒃ ⒄ ⒅4． 微分概念及其運算法則微分定義：若函數(shù)在點的增量可表示為，為不依賴于的常數(shù)，則稱函數(shù)在點處可微，記。等價無窮小定理：設(shè)且存在，則熟記的等價無窮?。簳r，，5． 連續(xù)函數(shù)函數(shù)在處連續(xù) ==間斷點：a. 第一類間斷點：及均存在，若稱為可去間斷點；若稱為跳躍間斷點；b. 第二類間斷點：及中至少一個不存在，若其中一個為，稱為無窮間斷點；若其中一個為振蕩，稱為振蕩間斷點。 2） L // P 219。 平面P 1和P 2平行或重合. l 點P0(x0, y0, z0)到平面的距離 5． 空間直線及其方程l 直線方程 一般方程： （兩平面的交線）點向式方程.： 【過點M0(x0, y0, x0)】參數(shù)方程： 【且方向向量為s = (m, n, p)】兩點式： 【過點M1(x1, y1, x1)】l 兩直線的夾角：兩直線的方向向量的夾角( 通常指銳角)1）L 1^L 2219。b = a180。 4）分配律: (a+b)180。 a180。 c的方向垂直于a與b所決定的平面, c的指向按右手規(guī)則從a轉(zhuǎn)向b來確定.幾何意義：以a與b為兩鄰邊的有向面積。(mb) = lm(a 4）分配律: (a+b)c=ac+bc . 5） (la) ab=|a| |b| cosq幾何意義：數(shù)量積a 2)結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c). 實數(shù)與向量的運算法則：設(shè)、為實數(shù)，則有：1)結(jié)合律 l(ma)=m(la)=(lm)a； 2)分配律 (l+m)a=la+ma； l(a+b)=la+lb. l 空間直角坐標系 設(shè)a=(ax, ay, az), b=(bx, by, bz)，則有1）a+b=(ax+bx, ay+by, az+bz). 2）ab=(axbx, ayby, azbz). 3）la=(lax, lay, laz). 4）b//a 219。 b=la 219。b等于a的長度與b在a的方向上的投影的乘積。b =03）交換律: ab = ab), l、m為數(shù). 6）a1）a180。b = 03）交換律a180。c = a180。(lb) = l(a180。m1m2+n1n2+p1p2=0。 Am+Bn+Cp=0. l 平面束：通過定直線的所有平面的全體稱為平面束過直線的平面束方程為 A1x+B1y+C1z+D1+l(A2x+B2y+C2z+D2)=0 極限和連續(xù)1． 數(shù)列極限數(shù)列極限：若數(shù)列及常數(shù) ，當時，有，則稱該數(shù)列的極限為，記作或。閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：1） 零點定理：設(shè)，且 則必有使得2） 介質(zhì)定理：設(shè)，則上能取到；3） 最大值最小值定理：設(shè)，則上能取到最大值和最小值； 一元函數(shù)的微分學(xué)1． 導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)，在的某鄰域內(nèi)有定義，若存在，則稱函數(shù)在點處可導(dǎo)。 定理：在點處可微即微分運算法則：1）； 2）；3） ； 4）微分形式不變性：設(shè)，分別可微，則復(fù)合函數(shù)的微分5． Lagrange中值定理費馬(Fermat)引理：設(shè)是的極值點，在可微，則。極值第二判別法：設(shè)函數(shù)在處具有二階導(dǎo)數(shù)，且，1）若，則在取極大值；2）若，則在取極小值。極限：設(shè)元函數(shù)，是的聚點，若存在常數(shù)，對，對一切，有，則稱常數(shù)為函數(shù)當時的極限，記做（也叫重極限）。2． 微分和偏導(dǎo)數(shù) 微分： 。（否則不一定成立）3． 復(fù)合函數(shù)的微分法復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈式法則：若函數(shù)可微，有一階偏導(dǎo)數(shù)，則對和有偏導(dǎo)數(shù)，并有： (口訣：分段用乘, 分叉用加, 單路全導(dǎo), 叉路偏導(dǎo)) 微分中值定理：若函數(shù)在區(qū)域可微，連接和的線段全在內(nèi)，則必有，使得定理：若在區(qū)域中，則。梯度：定義向量為函數(shù)在點處的梯度，記做，即PS：函數(shù)的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影。定理：（充分條件）若的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且令，則有：1） 當時，具有極值。PS：當區(qū)域內(nèi)部最值存在, 且只有一個極值點時，則該極值點即為最值點。定理1：存在原函數(shù)。目的：去根號等。無界函數(shù)的廣義積分（瑕積分或第二類廣義積分）：設(shè)，而在點的右鄰域內(nèi)無界，取，若存在，則記廣義積分 。PS：對弧長的曲線積分要求，但定積分中可能為負。PS：若為空間曲線： 性質(zhì)：1）2） （必須注意積分弧段的方向!）PS：定積分是第二類曲線積分的特例。若函數(shù)在上連續(xù)，且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則向量場的通量：，向量場通過的通量為，如果為雙側(cè)封閉曲面， 如果，說明內(nèi)部有產(chǎn)生向量的能力，即為有“源”的；如果，說明向量在內(nèi)流失，即為有“匯”或“漏
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