【正文】 a)：其定義域?yàn)?(∞,+∞)；b)：是奇函數(shù)；c)：其圖形夾在水平直線y=1及y=1之間；在定域內(nèi)單調(diào)增；我們?cè)賮砜匆幌码p曲函數(shù)與三角函數(shù)的區(qū)別：雙曲函數(shù)的性質(zhì)三角函數(shù)的性質(zhì)shx與thx是奇函數(shù)，chx是偶函數(shù)sinx與tanx是奇函數(shù)，cosx是偶函數(shù)它們都不是周期函數(shù)都是周期函數(shù)雙曲函數(shù)也有和差公式：⑵、反雙曲函數(shù)：雙曲函數(shù)的反函數(shù)稱為反雙曲函數(shù).a)：反雙曲正弦函數(shù)這里只寫出了正弦函數(shù)b):當(dāng)a＞1時(shí),在區(qū)間(0,1)的值為負(fù)；在區(qū)間(,+∞)的值為正；在定義域內(nèi)單調(diào)增.冪函數(shù)a為任意實(shí)數(shù)這里只畫出部分函數(shù)圖形的一部分。a):不論x為何值,y總為正數(shù)。例題：函數(shù)與函數(shù)是不能復(fù)合成一個(gè)函數(shù)的。即是：函數(shù)在此要求下嚴(yán)格增(減). ⑶、反函數(shù)的性質(zhì)：在同一坐標(biāo)平面內(nèi)，與的圖形是關(guān)于直線y=x對(duì)稱的。反函數(shù)⑴、反函數(shù)的定義：設(shè)有函數(shù)，若變量y在函數(shù)的值域內(nèi)任取一值y0時(shí)，變量x在函數(shù)的定義域內(nèi)必有一值x0與之對(duì)應(yīng)，即，稱為函數(shù)的反函數(shù).注：由此定義可知，函數(shù)也是函數(shù)的反函數(shù)。注：偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。注：一個(gè)函數(shù)，如果在其整個(gè)定義域內(nèi)有界，則稱為有界函數(shù)例題：函數(shù)cosx在(∞,+∞)內(nèi)是有界的.⑵、函數(shù)的單調(diào)性：如果函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)隨著x增大而增大，即：對(duì)于(a,b)內(nèi)任意兩點(diǎn)x1及x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，有 ，則稱函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是單調(diào)增加的。例：在實(shí)際應(yīng)用中，我們經(jīng)常會(huì)用到的平方表，三角函數(shù)表等都是用表格法表示的函數(shù)。⑵、函數(shù)相等由函數(shù)的定義可知，一個(gè)函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域。注：為了表明y是x的函數(shù)，我們用記號(hào)y=f(x)、y=F(x)等等來表示。⑶、鄰域：設(shè)α與δ是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且δ＞│xα│＜δ的實(shí)數(shù)x的全體稱為點(diǎn)α的δ鄰域，點(diǎn)α稱為此鄰域的中心，δ稱為此鄰域的半徑。⑷、全體有理數(shù)組成的集合叫做有理數(shù)集。記作N⑵、所有正整數(shù)組成的集合叫做正整數(shù)集。記作N+或N+。記作Q。函數(shù)⑴、函數(shù)的定義：如果當(dāng)變量x在其變化范圍內(nèi)任意取定一個(gè)數(shù)值時(shí)，量y按照一定的法則f總有確定的數(shù)值與它對(duì)應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)。這里的字母f、F表示y與x之間的對(duì)應(yīng)法則即函數(shù)關(guān)系,它們是可以任意采用不同的字母來表示的。由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，我們就稱兩個(gè)函數(shù)相等。c)：圖示法：用坐標(biāo)平面上曲線來表示函數(shù)的方法即是圖示法。如果函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)隨著x增大而減小，即：對(duì)于(a,b)內(nèi)任意兩點(diǎn)x1及x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，有，則稱函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是單調(diào)減小的。⑷、函數(shù)的周期性對(duì)于函數(shù)，若存在一個(gè)不為零的數(shù)l，使得關(guān)系式對(duì)于定義域內(nèi)任何x值都成立，則叫做周期函數(shù)，l是的周期。 ⑵、反函數(shù)的存在定理：若在(a，b)上嚴(yán)格增(減)，其值域?yàn)?R，則它的反函數(shù)必然在R上確定，且嚴(yán)格增(減).注：嚴(yán)格增(減)即是單調(diào)增(減)例題：y=x2，其定義域?yàn)?∞,+∞)，值域?yàn)閇0,+∞).對(duì)于y取定的非負(fù)值,可求得x=177。例題：函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，則它們的圖形在同一笛卡爾直角坐標(biāo)系中是關(guān)于直線y=x對(duì)稱的。因?yàn)閷?duì)于的定義域(∞,+∞)中的任何x值所對(duì)應(yīng)的u值（都大于或等于2），使都沒有定義。b):當(dāng)m,n都是奇數(shù)時(shí),y是奇函數(shù)。a):正弦函數(shù)是以2π為周期的周期函數(shù)第n項(xiàng)an叫做數(shù)列的一般項(xiàng)或通項(xiàng).注：我們也可以把數(shù)列an看作自變量為正整數(shù)n的函數(shù)，即：an=，它的定義域是全體正整數(shù) ⑵、極限：極限的概念是求實(shí)際問題的精確解答而產(chǎn)生的。⑷、數(shù)列的極限的幾何解釋：在此我們可能不易理解這個(gè)概念，下面我們?cè)俳o出它的一個(gè)幾何解釋，以使我們能理解它。 因不等式與不等式等價(jià)，故當(dāng)n＞N時(shí)，所有的點(diǎn)都落在開區(qū)間(aε，a+ε)內(nèi)，而只有有限個(gè)(至多只有N個(gè))在此區(qū)間以外。注：有界的數(shù)列不一定收斂，即：數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件，但不是充分條件。函數(shù)的極限前面我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的極限，已經(jīng)知道數(shù)列可看作一類特殊的函數(shù)，即自變量取 1→∞內(nèi)的正整數(shù)，若自變量不再限于正整數(shù)的順序，而是連續(xù)變化的，就成了函數(shù)。存在函數(shù)與常數(shù)A，任給一正數(shù)ε＞0，總可找到一正數(shù)X，對(duì)于適合的一切x，都滿足，函數(shù)當(dāng)x→∞時(shí)的極限為A，記：。此定義的核心問題是：對(duì)給出的ε，是否存在正數(shù)δ，使其在去心鄰域內(nèi)的x均滿足不等式。 d):則對(duì)于任給的ε＞0，總能找出δ，當(dāng)0＜＜δ時(shí)，＜ε成立，因此函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則⑴、函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則 定義：如果x僅從左側(cè)(x＜x0)趨近x0時(shí)，函數(shù)與常量A無限接近，：如果x僅從右側(cè)(x＞x0)趨近x0時(shí)，函數(shù)與常量A無限接近，：注：只有當(dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)的左、右極限存在且相等，方稱在x→x0時(shí)有極限函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則 一：注：其中e為無理數(shù)，它的值為：e=...二：例題：求解答：令，則x=2t，因?yàn)閤→∞，故t→∞，則注：解此類型的題時(shí)，一定要注意代換后的變量的趨向情況，象x→∞時(shí)，若用t代換1/x，則t→0.無窮大量和無窮小量無窮大量我們先來看一個(gè)例子：已知函數(shù)，當(dāng)x→0時(shí)，可知，我們把這種情況稱為趨向無窮大。無窮大量與無窮小量的區(qū)別是：前者無界，后者有界，前者發(fā)散，.關(guān)于無窮小量的兩個(gè)定理定理一：如果函數(shù)在(或x→∞)時(shí)有極限A，則差是當(dāng)(或x→∞)時(shí)的無窮小量，反之亦成立。例題：求 此題不能將其展開成兩個(gè)函數(shù)差的形式，因?yàn)閄\（3X）^3的極限為無窮大，極限不存在，不符合等價(jià)無窮小的條件存在解答：注：注：從這個(gè)例題中我們可以發(fā)現(xiàn)，作無窮小變換時(shí)，要代換式中的某一項(xiàng)，不能只代換某個(gè)因子。通過上面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道函數(shù)的連續(xù)性了，同時(shí)我們可以想到若函數(shù)在某一點(diǎn)要是不連續(xù)會(huì)出現(xiàn)什么情形呢？接著我們就來學(xué)習(xí)這個(gè)問題：函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn)定義：我們把不滿足函數(shù)連續(xù)性的點(diǎn)稱之為間斷點(diǎn). 它包括三種情形：a)：在x0無定義；b)：在x→x0時(shí)無極限；c)：在x→x0時(shí)有極限但不等于；下面我們通過例題來學(xué)習(xí)一下間斷點(diǎn)的類型：例1： 正切函數(shù)在處沒有定義，所以點(diǎn)是函數(shù)的間斷點(diǎn)，因，我們就稱為函數(shù)的無窮間斷點(diǎn)；例2：函數(shù)在點(diǎn)x=0處沒有定義；故當(dāng)x→0時(shí)，函數(shù)值在1與+1之間變動(dòng)無限多次，我們就稱點(diǎn)x=0叫做函數(shù)的振蕩間斷點(diǎn)；我們令，則可使函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)，故這種間斷點(diǎn)x0稱為可去間斷點(diǎn)。 推論：若函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，就稱函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。注：函數(shù)在x0處的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等是函數(shù)在x0處的可導(dǎo)的充分必要條件函數(shù)的和、差求導(dǎo)法則函數(shù)的和差求導(dǎo)法則函數(shù)的積商求導(dǎo)法則常數(shù)與函數(shù)的積的求導(dǎo)法則法則：在求一個(gè)常數(shù)與一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)時(shí)，常數(shù)因子可以提到求導(dǎo)記號(hào)外面去。即： 是對(duì)y求導(dǎo)，是對(duì)x求導(dǎo)例題：求的導(dǎo)數(shù).解答：此函數(shù)的反函數(shù)為，故則：例題：求的導(dǎo)數(shù).解答：此函數(shù)的反函數(shù)為，故則：高階導(dǎo)數(shù)定義：，記作或，即：，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做四階導(dǎo)數(shù)，…，一般地(n1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做n階導(dǎo)數(shù).分別記作：，…，或，…，二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù)。隱函數(shù)的求導(dǎo)若已知F(x,y)=0，求時(shí)，一般按下列步驟進(jìn)行求解：a)：若方程F(x,y)=0，能化為的形式，則用前面我們所學(xué)的方法進(jìn)行求導(dǎo)；b)：若方程F(x,y)=0，不能化為的形式，則是方程兩邊對(duì)x進(jìn)行求導(dǎo)，并把y看成x的函數(shù)，用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行。有些函數(shù)在求導(dǎo)數(shù)時(shí)，若對(duì)其直接求導(dǎo)有時(shí)很不方便，像對(duì)某些冪函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)時(shí)，有沒有一種比較直觀的方法呢？下面我們?cè)賮韺W(xué)習(xí)一種求導(dǎo)的方法：對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)的法則：根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)的方法，對(duì)某一函數(shù)先取函數(shù)的自然對(duì)數(shù)，然后在求導(dǎo)。叫做函數(shù)在點(diǎn)x0相應(yīng)于自變量增量△x的微分，記作dy，即：=。 ， 我們把這一性質(zhì)稱為微分形式不變性。 成立。 若在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且，那末在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)c，使成立。Hospital)法則，它就是這個(gè)問題的答案Hospital)法則這種通過分子分母求導(dǎo)再來求極限來確定未定式的方法，就是所謂的羅彼塔(L39。 例題：求 設(shè)函數(shù)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo). b)：如果在(a,b)內(nèi)＜0，那末函數(shù)在[a,b]上單調(diào)減少.函數(shù)的極值及其求法函數(shù)極值的定義 判斷極值點(diǎn)存在的方法有兩種：如下方法一： 則函數(shù)在x0點(diǎn)取極大值。 則函數(shù)在x0點(diǎn)取極小值。 用方法一求極值的一般步驟是： a)：求； b)：求的全部的解——駐點(diǎn)； c)：判斷在駐點(diǎn)兩側(cè)的變化規(guī)律，即可判斷出函數(shù)的極值。 則：a)：當(dāng)＜0，函數(shù)在x0點(diǎn)取極大值； c)：當(dāng)=0，其情形不一定，可由方法一來判定. ＜0，故此點(diǎn)為極大值點(diǎn)；要求在[a,b]上的最大值、最小值時(shí)，可求出開區(qū)間(a,b)內(nèi)全部的極值點(diǎn)，加上端點(diǎn)的值，從中取得最大值、最小值即為所求。 故函數(shù)的最大值為，函數(shù)的最小值為。 對(duì)區(qū)間I的曲線作切線，如果曲線弧在所有切線的下面，則稱曲線在區(qū)間I凸，如果曲線在切線的上面，稱曲線在區(qū)間I凹。 導(dǎo)數(shù)在區(qū)間(a,b)上是單調(diào)增(或單調(diào)減)。 若在(a,b)內(nèi)，＞0，則在[a,b]對(duì)應(yīng)的曲線是凹的； 因?yàn)?，所以在函?shù)的定義域(0,+∞)內(nèi)，＜0， 連續(xù)函數(shù)上，上凹弧與下凹弧的分界點(diǎn)稱為此曲線上的拐點(diǎn)。 (1)：求； 例題：求曲線的拐點(diǎn)。 函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)叫做函數(shù)f(x)的不定積分，記作。 即:=F(x)+C(x)的原函數(shù). 例題：求分部積分法v+uv39。=(uv)39。 ，關(guān)于分部積分法的問題 (1)v要容易求得；(2)容易積出。 在求有理函數(shù)的不定積分時(shí)，若有理函數(shù)為假分式應(yīng)先利用多項(xiàng)式的除法，把一個(gè)假分式化成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和的形式，然后再求之。 解答：五、定積分及其應(yīng)用定積分的概念　如下圖所示： 我們知道曲邊梯形在底邊上各點(diǎn)處的高f(x)在區(qū)間[a,b]上變動(dòng)，而且它的高是連續(xù)變化的，因此在很小的一段區(qū)間的變化很小，近似于不變，并且當(dāng)區(qū)間的長(zhǎng)度無限縮小時(shí)，高的變化也無限減小。為此我們產(chǎn)生了定積分的概念。 [x0，x1]，...[xn1,xn],即：關(guān)于定積分的問題 性質(zhì)(1)：函數(shù)的和(差)得定積分等于它們的定積分的和(差）. 性質(zhì)(4)：設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值及最小值，則 m(ba)≤≤M(ba)微積分積分公式 積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 注意：為了明確起見，我們改換了積分變量（定積分與積分變量的記法無關(guān)） （a≤x≤b)牛頓萊布尼茲公式定積分的換元法與分部積分法定積分的換元法 定理：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)；函數(shù)g(t)在區(qū)間[m,n]上是單值的且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)；當(dāng)t在區(qū)間[m,n]上變化時(shí)，x=g(t)的值在[a,b]上變化，且g(m)=a,g(n)=b；則有定積分的換元公式: 解答:設(shè)x=asint,則dx=acostdt,且當(dāng)x=0時(shí)，t=0；當(dāng)x=a時(shí)，t=π/： 計(jì)算不定積分有分部積分法，相應(yīng)地，計(jì)算定積分也有分部積分法。(x)，則有(uv)39。 上式即為定積分的分部積分公式。為此我們對(duì)定積分加以推廣，也就是———廣義積分。 存在， 即：=. 存在， 此時(shí)也就是說廣義積分收斂。 記作：， 上述廣義積分統(tǒng)稱積分區(qū)間為無窮的廣義積分。 又，設(shè)f(x)在[a,b]上除點(diǎn)c(acb)外連續(xù)， 則定義：=+. 例題：計(jì)算廣義積分(a0) 六、空間解析幾何空間笛卡爾直角坐標(biāo)系空間兩點(diǎn)間的距離 設(shè)有空間兩點(diǎn)，若以P1為始點(diǎn)，,Oy,Oz三個(gè)坐標(biāo)軸正向夾角分別記作α,β,β,≤α≤π,0≤β≤π,0≤γ≤π. 若有向線段的方向確定了，則其方向角也是唯一確定的。 ，兩直線的夾角 兩直線平行的充分必要條件為： 我們把與一平面垂直的任一直線稱為此平面的法