第9－12課時(shí)不等式問題的題型與方法-wenkub
2023-04-09 06:48:40 本頁面
【正文】 （3）討論：對任意，的充要條件。不等式和與之對應(yīng)的方程及函數(shù)圖象有著密不可分的內(nèi)在聯(lián)系，在解決問題的過程中，要適時(shí)地聯(lián)系它們之間的內(nèi)在關(guān)系。本題的關(guān)鍵不是對參數(shù)進(jìn)行討論，而是去絕對值時(shí)必須對末知數(shù)進(jìn)行討論，得到兩個(gè)不等式組，最后對兩個(gè)不等式組的解集求并集，得出原不等式的解集。尤其是（Ⅱ）與（Ⅲ），許多尖子學(xué)生證明了（Ⅱ）的結(jié)論而不能解決（Ⅲ）。考慮結(jié)論（Ⅱ）：因?yàn)?，故原不等式為；?dāng)時(shí)，左右兩邊相等；當(dāng)時(shí)，且，則原不等式即為：，令，則原不等式化為，即為。由此即得；又對任意有，得函數(shù)在R上單調(diào)增，所以函數(shù)是R上的單調(diào)增函數(shù)。而點(diǎn)、是函數(shù)圖象上的兩個(gè)點(diǎn)，是連接這兩點(diǎn)的弦的斜率。參數(shù)量太多，讓考生們在短時(shí)間內(nèi)難以理清頭緒。在溫室內(nèi)，沿左．右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3寬的空地。⑶不等式證明方法有多種，既要注意到各種證法的適用范圍，又要注意在掌握常規(guī)證法的基礎(chǔ)上，選用一些特殊技巧。三．教學(xué)過程：（Ⅰ）基礎(chǔ)知識詳析1．解不等式的核心問題是不等式的同解變形，不等式的性質(zhì)則是不等式變形的理論依據(jù)，方程的根、函數(shù)的性質(zhì)和圖象都與不等式的解法密切相關(guān)，要善于把它們有機(jī)地聯(lián)系起來，互相轉(zhuǎn)化．在解不等式中，換元法和圖解法是常用的技巧之一．通過換元，可將較復(fù)雜的不等式化歸為較簡單的或基本不等式，通過構(gòu)造函數(shù)、數(shù)形結(jié)合，則可將不等式的解化歸為直觀、形象的圖形關(guān)系，對含有參數(shù)的不等式，運(yùn)用圖解法可以使得分類標(biāo)準(zhǔn)明晰．2．整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基礎(chǔ)，利用不等式的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性，將分式不等式、絕對值不等式等化歸為整式不等式(組)是解不等式的基本思想，分類、換元、數(shù)形結(jié)合是解不等式的常用方法．方程的根、函數(shù)的性質(zhì)和圖象都與不等式的解密切相關(guān)，要善于把它們有機(jī)地聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化和相互變用．3．在不等式的求解中，換元法和圖解法是常用的技巧之一，通過換元，可將較復(fù)雜的不等式化歸為較簡單的或基本不等式，通過構(gòu)造函數(shù)，將不等式的解化歸為直觀、形象的圖象關(guān)系，對含有參數(shù)的不等式，運(yùn)用圖解法，可以使分類標(biāo)準(zhǔn)更加明晰．通過復(fù)習(xí)，感悟到不等式的核心問題是不等式的同解變形，能否正確的得到不等式的解集，不等式同解變形的理論起了重要的作用．4．比較法是不等式證明中最基本、也是最常用的方法，比較法的一般步驟是：作差(商)→變形→判斷符號(值)． 5．證明不等式的方法靈活多樣，內(nèi)容豐富、技巧性較強(qiáng)，這對發(fā)展分析綜合能力、正逆思維等，將會起到很好的促進(jìn)作用．在證明不等式前，要依據(jù)題設(shè)和待證不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法．通過等式或不等式的運(yùn)算，將待證的不等式化為明顯的、熟知的不等式，從而使原不等式得到證明；反之亦可從明顯的、熟知的不等式入手，經(jīng)過一系列的運(yùn)算而導(dǎo)出待證的不等式，前者是“執(zhí)果索因”，后者是“由因?qū)Ч保瑸闇贤?lián)系的途徑，證明時(shí)往往聯(lián)合使用分析綜合法，兩面夾擊，相輔相成，達(dá)到欲證的目的．6．證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數(shù)學(xué)歸納法仍是證明不等式的基本方法．要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟，技巧和語言特點(diǎn)．7．不等式這部分知識，滲透在中學(xué)數(shù)學(xué)各個(gè)分支中，有著十分廣泛的應(yīng)用．因此不等式應(yīng)用問題體現(xiàn)了一定的綜合性、靈活多樣性，這對同學(xué)們將所學(xué)數(shù)學(xué)各部分知識融會貫通，起到了很好的促進(jìn)作用．在解決問題時(shí)，要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系、選擇適當(dāng)?shù)慕鉀Q方案，最終歸結(jié)為不等式的求解或證明．不等式的應(yīng)用范圍十分廣泛，它始終貫串在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)之中．諸如集合問題，方程(組)的解的討論，函數(shù)單調(diào)性的研究，函數(shù)定義域的確定，三角、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問題，無一不與不等式有著密切的聯(lián)系，許多問題，最終都可歸結(jié)為不等式的求解或證明。2．掌握兩個(gè)（不擴(kuò)展到三個(gè)）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會簡單的應(yīng)用。3．掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式。8．不等式應(yīng)用問題體現(xiàn)了一定的綜合性．這類問題大致可以分為兩類：一類是建立不等式、解不等式；另一類是建立函數(shù)式求最大值或最小值．利用平均值不等式求函數(shù)的最值時(shí)，要特別注意“正數(shù)、定值和相等”三個(gè)條件缺一不可，有時(shí)需要適當(dāng)拼湊，使之符合這三個(gè)條件．利用不等式解應(yīng)用題的基本步驟：10審題，20建立不等式模型，30解數(shù)學(xué)問題，40作答。如運(yùn)用放縮法證明不等式時(shí)要注意調(diào)整放縮的度。當(dāng)矩形溫室的邊長各為多少時(shí)？蔬菜的種植面積最大。因而解決問題的關(guān)鍵就在于“消元”——把題設(shè)條件及欲證關(guān)系中的多個(gè)參數(shù)量轉(zhuǎn)化為某幾個(gè)特定變量來表示，然而再進(jìn)行運(yùn)算證明。若欲證的不等式關(guān)系也能轉(zhuǎn)化為這樣的斜率表示，則可以借助斜率進(jìn)行“整體消元”。如果，則，因?yàn)?，所以。因?yàn)?，則，所以成立，即（Ⅱ）中結(jié)論成立。借助斜率k“整體消元”的想法把（Ⅱ）、（Ⅲ）中的不等關(guān)系都轉(zhuǎn)化為相同的不等關(guān)系，然后由條件推證，有獨(dú)到之處。解：當(dāng)。解：記①的解集為A，②的解集為B，③的解集為C。證明：（1）依題意，對任意，都有（2）充分性
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