球與各種幾何體切、接問題專題[一]-wenkub
2023-04-09 06:01:40 本頁面
【正文】 一個(gè)球的球面相切， 則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球.一、球與柱體的切接規(guī)則的柱體，如正方體、長方體、正棱柱等能夠和球進(jìn)行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過球的半徑和棱柱的棱產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問題. 球與正方體（1）正方體的內(nèi)切球，如圖1.位置關(guān)系：正方體的十二條棱與球面相切，正方體中心與球心重合；（1）數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正四面體的棱長為，高為；球的半徑為，這時(shí)有；（可用正四面體高減去內(nèi)切球的半徑得到）例5 求棱長為1的正四面體外接球的半徑。例6例7設(shè)正四面體中，第一個(gè)球是它的內(nèi)切球，第二個(gè)球是它的外接球，求這兩個(gè)球的表面積之比及體積之比．思路分析：此題求解的第一個(gè)關(guān)鍵是搞清兩個(gè)球的半徑與正四面體的關(guān)系，第二個(gè)關(guān)鍵是兩個(gè)球的半徑之間的關(guān)系，依靠體積分割的方法來解決的．（4）為什么正四面體外接球和內(nèi)切球心是同一個(gè)點(diǎn)？（1）球與正棱錐的組合，常見的有兩類，一是球?yàn)槿忮F的外接球，此時(shí)三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)在球面上，根據(jù)截面圖的特點(diǎn)，例如正三棱錐的內(nèi)切球，球與正三棱錐四個(gè)面相切，球心到四個(gè)面的距離相等，都為球半徑．這樣求球的半徑可轉(zhuǎn)化為球球心到三棱錐面的距離，故可采用等體積法解決，即四個(gè)小三棱錐的體積和為正三棱錐的體積.（2）球與一些特殊的棱錐進(jìn)行組合，一定要抓住棱錐的幾何性質(zhì)，可綜合利用截面法、補(bǔ)形法等進(jìn)行求解.結(jié)論1：正棱錐的外接球的球心在其高上，具體位置可通過計(jì)算找到．結(jié)論2：若棱錐的頂點(diǎn)可構(gòu)成共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點(diǎn)就是其外接球的球心．長方體或正方體的外接球的球心是在其體對角線的中點(diǎn)處．以下是常見的、基本的幾何體補(bǔ)成正方體或長方體的途徑與方法．途徑1：正四面體、三條側(cè)棱兩兩垂直的正三棱錐、四個(gè)面都是是直角三角形的三棱錐都分別可構(gòu)造正方體．途徑2：同一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱兩兩垂直的四面體、相對的棱相等的三棱錐都分別可構(gòu)造長方體和正方體．途徑3：若已知棱錐含有線面垂直關(guān)系，則可將棱錐補(bǔ)成長方體或正方體．途徑4：若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，則可將三棱錐補(bǔ)成長方體或正方體．例8 正三棱錐
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