橢圓的幾何性質(zhì)及綜合問題-wenkub
2023-04-09 04:50:55 本頁(yè)面
【正文】 _______．【典例4】已知F1，F(xiàn)2為橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦點(diǎn)，P為橢圓上任意一點(diǎn)，且，則該橢圓的離心率的取值范圍是 練習(xí)：如圖，把橢圓的長(zhǎng)軸AB分成8等份，過每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓的上半部分與P1,P2,…,P7七個(gè)點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則= 【典例5】若 “過橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的兩條互相垂直的直線l1，l2的交點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部”，求離心率的取值范圍．【典例6】已知橢圓C：＋＝1，點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合．若M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為A，B，線段MN的中點(diǎn)在C上，則|AN|＋|BN|＝________．【方法歸納】：，總體原則是“先定位，再定量”.，其原則是“數(shù)形結(jié)合，定義優(yōu)先，幾何性質(zhì)簡(jiǎn)化”，一定要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸等橢圓的基本量時(shí)，要理清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，充分利用平面幾何的性質(zhì)及有關(guān)重要結(jié)論來探尋參數(shù)a,b,c之間的關(guān)系，以減少運(yùn)算量．，結(jié)合圖形，注意動(dòng)點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離的轉(zhuǎn)化．4. 求橢圓的離心率或其范圍時(shí)，一般是依據(jù)題設(shè)得出一個(gè)關(guān)于a，b，c的等式(或不等式)，利用a2＝b2＋c2消去b，即可求得離心率或離心率的范圍；有時(shí)也可利用正弦、余弦的有界性求解離心率的范圍．,b,c的關(guān)系時(shí)，若能充分考慮平面幾何的性質(zhì)，則可使問題簡(jiǎn)化，如典例5.【本節(jié)練習(xí)】1．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是8，離心率是，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是( )A．＋＝1 B．＋＝1或＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1或＋＝1＋＝1的離心率，且e∈(，1)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( )A．(0，3) B．(3，) C．(0，3)∪(，＋∞) D．(0，2)，B2，焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，若四邊形B1F1B2F2是正方形，則這個(gè)橢圓的離心率e等于( )A． B． C． D．，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓＋＝1的離心率e＝，F(xiàn)，A分別是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，則豫西五校聯(lián)考)已知橢圓＋＝1(0＜b＜2)的左、右焦點(diǎn)分別為FF2，過F1的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若|BF2|＋|AF2|的最大值為5，則b的值是( )A．1 B． C． D．3．(2015 (Ⅱ) 已知點(diǎn)B(－1,0), 設(shè)不垂直于x軸的直線與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P, Q, 若x軸是的角平分線, 證明直線過定點(diǎn). 2.（2014課標(biāo)1）在直角坐標(biāo)系中，曲線與直線交與兩點(diǎn)，（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；（Ⅱ）軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)變動(dòng)時(shí)，總有∠OPM=∠OPN？說明理由.：相切于點(diǎn)P，與直線相交于點(diǎn)Q，證明：以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點(diǎn).：若點(diǎn)P(x0,y0)為橢圓上一點(diǎn)，則直線l:與橢圓相切，現(xiàn)過橢圓C:上一點(diǎn)P作橢圓的切線交直線于點(diǎn)A，試判斷以線段AP為直徑的圓是否恒過定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由.，其中a,b,c都是正數(shù)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，原點(diǎn)到過點(diǎn)A(0,b)和B(a,0)兩點(diǎn)的直線的距離為.(1) 求橢圓的方程；(2) 若點(diǎn)M,N是定直線x=4上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，證明：以MN為直徑的圓過定點(diǎn)，并求定點(diǎn)坐標(biāo).5.(2015廣東汕頭二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓C：的離心率為，左頂點(diǎn)A與上頂點(diǎn)B的距離為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過原點(diǎn)O的動(dòng)直線（與坐標(biāo)軸不重合）與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，直線PA、QA分別與y軸交于M、N兩點(diǎn)，問：以MN為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論.6. 如圖，橢圓E: 的離心率是，過點(diǎn)P(0，1)的動(dòng)直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)當(dāng)直線平行于x軸時(shí)，直線被橢圓E截的線段長(zhǎng)為（Ⅰ）求橢圓E的方程（Ⅱ）在平面直角坐標(biāo)系中是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q,使得恒成立，若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.:的離心率，右焦點(diǎn)到直線的距離為.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）已知直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M、N，且線段MN的中點(diǎn)不在圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（Ⅲ）過點(diǎn)的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，是否存在點(diǎn)Q，使得以AB為直徑的圓恒過這個(gè)定點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.(0r4)的公共點(diǎn)的軌跡為曲線E，、B滿足直線MA，MB的斜率之積為.（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）證明直線AB恒過定點(diǎn)，并求定點(diǎn)坐標(biāo)；（Ⅲ）求的面積的最大值.四、參數(shù)（或式）的取值范圍問題 解決圓錐曲線中的取值范圍問題的五方面考慮：(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍．引例1 已知A是橢圓E：的左頂點(diǎn)，斜率為的直線交E于A，M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，.（I）當(dāng)時(shí)，求的面積(II)當(dāng)2時(shí)，證明：.引例2
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