復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求法與含參數(shù)問題-wenkub
2023-04-09 00:18:15 本頁面
【正文】 若，又，且值域與定義域的交集不空，則函數(shù)叫的復(fù)合函數(shù)，其中叫外層函數(shù)，叫內(nèi)層函數(shù)，簡而言之，所謂復(fù)合函數(shù)就是由一些初等函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)。 解 因為復(fù)合函數(shù)中內(nèi)層函數(shù)值域必須包含于外層函數(shù)定義域中，即 即或故的定義域為【評注】所謂定義域是指函數(shù)中自變量的取值范圍，因此我們可以直接將復(fù)合函數(shù)中看成一個整體，即由可得，解出的范圍即可。 例3 已知的定義域為，求的定義域。 一、外函數(shù)與內(nèi)函數(shù)只有一種單調(diào)性的復(fù)合型：例1已知函數(shù)y=loga(2ax)在[0,1]上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是( )(A).(0,1) (B).(1,2) (C).(0,2) (D).2，+∞)解：設(shè)y= logau，u=2ax，∵a是底數(shù)，所以a0，∵ 函數(shù)y=loga u在u∈[0,1]上是減函數(shù)，而u=2ax在區(qū)間x∈[0,1]上是減函數(shù)，∴ y= logau是u∈(0, +∞)上的增函數(shù)，故a1，還要使2ax0在區(qū)間上總成立，令g(x)= 2ax，由{ ，解得a2，∴1a2，故選(B).二、外函數(shù)只有一種單調(diào)性，而內(nèi)函數(shù)有兩種單調(diào)性的復(fù)合型：例2函數(shù)y=(x2+4x+4)在什么區(qū)間上是增函數(shù)？解：令y= ，u= x2+4x+4，由x2+4x+40知函數(shù)的定義域為x≠0，因y= ∈(0,+∞)上是減函數(shù)，而u= x2+4x+4在x∈(∞，2)上是減函數(shù)，在(2，+ ∞)上是增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合規(guī)律知，函數(shù)y=(x2+4x+4) 在x∈(∞，2)上是增函數(shù).=+3的單調(diào)性。 這里沒有第四步，因為中間變量允許的取值范圍是R，無需轉(zhuǎn)化為自變量的取值范圍。四、外函數(shù)與內(nèi)函數(shù)都有兩種單調(diào)性的復(fù)合型： 例(89 分析如下： 令u=x2ax+3a，y=u． 因為y=u在(0，+∞)上是減函數(shù) ∴ f(x)=(x2ax+3a)在[2，+∞
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