機(jī)械振動(dòng)--第07課頻率方程、振型與正則坐標(biāo)-wenkub
2023-04-06 04:16:41 本頁(yè)面
【正文】 4) 由式 ( 3 .2 4) 可以看出，要使 X 有非零解，必須使其系數(shù)行列式等于零。 頻率方程與特征值問(wèn)題 將各個(gè)固有頻率代入式 ( 4) ? ? 0XKM ??2s ( 4) 可分別求出對(duì)應(yīng)的 X 。已知各彈簧的彈簧常量 kkkk ???321，物體的質(zhì)量 mm ?1, mm 22? 。 另外 ， 當(dāng)一個(gè)微分方程式中出現(xiàn)兩個(gè)以上的加速度項(xiàng)時(shí) ， 稱為在坐標(biāo)之間有 動(dòng)力 耦合或質(zhì)量 （ 慣性 ） 耦合 。 主要內(nèi)容 ? 頻率方程與特征值問(wèn)題 ? 坐標(biāo)耦合 ? 模態(tài)正交性與主坐標(biāo) n自由度的振動(dòng)系統(tǒng)，具有 n個(gè)固有頻率和與之對(duì)應(yīng)的 n階主振型。 i j?i j? iii M?Muu TniK iii ,3,2,1 ,T ???uKuKi稱為第 i階主剛度或第 i階模態(tài)剛度； Mi稱為第 i階主質(zhì)量或第 i階模態(tài)質(zhì)量。在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，每個(gè)主振動(dòng)內(nèi)部的動(dòng)能和勢(shì)能可以互相轉(zhuǎn)化，但各階主振動(dòng)之間不會(huì)發(fā)生能量的傳遞。 因此 ， 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程中既有動(dòng)力耦合又有靜力耦合 。 U~ 由物理坐標(biāo)到模態(tài)坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換，是方程解耦的數(shù)學(xué)過(guò)程。任何一階主振型的存在，并不依賴于其他主振型是否同時(shí)存在。 寫出圖示系統(tǒng)的主振型矩陣和正則振型矩陣 ， 以及用正則坐標(biāo)表示的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程 。因此，位移響應(yīng)向量是各階模態(tài)貢獻(xiàn)的疊加的結(jié)果，而不是模態(tài)耦合的結(jié)果。在物理坐標(biāo)系統(tǒng)中，質(zhì)量矩陣和剛度矩陣一般是非對(duì)角陣，使運(yùn)動(dòng)方程不能解耦。 由前面的討論可知 ， 主振型矩陣 U與正則振型矩陣 ， 均可使系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣轉(zhuǎn)換成為對(duì)角陣 。 以各階主振型矢量為列 ， 按順序排列成一個(gè) n n階方陣 ， 稱此方陣為主振型矩陣或模態(tài)矩陣 ， 即 ??????????????nnnnnnnuuuuuuuuu????????21222211121121 ) ( uuuU???????rrKKUUMMUUTT根據(jù)主振型的正交性，可以導(dǎo)出主振型矩陣的兩個(gè)性質(zhì) ?????????????nrMMM?21M?????????????nrKKK?21K主質(zhì)量矩陣 主剛度矩陣 使 Mr由對(duì)角陣變換為單位陣 將主振型矩陣的各列除以其對(duì)應(yīng)主質(zhì)量的平方根 ， 即 iii M uu1~ ?這樣得到的振型稱為正則振型 。同樣可以證明第 i階固有振動(dòng)的廣義彈性力在第 j階固有振動(dòng)的微小位移上的元功之和也等于零，因此不同階固有振動(dòng)之間也不存在勢(shì)能的轉(zhuǎn)換，或者說(shuō)不存在彈性耦合。 ji u,uji??,iii MuKu 2??jjj MuuK 2??對(duì)應(yīng)于 Tiu兩邊左乘 轉(zhuǎn)置，然后右乘 jujiiji uMuuKu T2T ?
環(huán)評(píng)公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1