方差分析及回歸分析-wenkub
2023-05-31 12:55:17 本頁面
【正文】 各臺機器生產(chǎn)的薄板厚度有顯著差異。 ?????????????????sjjjijijijjijnsjniNX12.0, . . . ,2,1, . . . ,2,1,),0(~,???????獨立各個不全相等。記為 Xij μj =εij ，則Xij 可以寫為 Xij = μj +εij εij ~N(0, ζ2),各 εij獨立 i=1,2,…,nj , j=1,2,…,s (1,1)稱為單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型。這就變?yōu)闄z驗同方差的多個正態(tài)總體均值是否相等的問題。 機器 1 機器 2 機器 3 類型 1 類型 2 類型 3 類型 4 19 15 22 20 18 20 40 21 33 27 16 17 15 18 26 18 22 19 第三個例子 ? 一火箭使用四種燃料，三種推進器做射程試驗。 ? 試驗的分析：利用方差分析來分析試驗的結(jié)果。 ? 方差分析：根據(jù)試驗的結(jié)果進行分析，鑒別各個因素對試驗結(jié)果的影響的一種分析方法。 1單因素試驗的方差分析 （一）單因素試驗 ? 試驗指標(biāo)：在試驗中，要考察的指標(biāo)稱為試驗指標(biāo)。 ? 因素：影響試驗指標(biāo)的條件稱為因素。 ? 化學(xué)生產(chǎn)中，因素有： 原料成分、原料劑量、催化劑、反應(yīng)溫度、壓力、反應(yīng)時間、機器設(shè)備、操作人員水平 等。 ? 根據(jù)影響試驗結(jié)果的因素的多少分為單因素試驗的方差分析和多因素試驗的方差分析。每種燃料與美中推進器的組合個發(fā)射火箭兩次，得射程如下： ? 試驗指標(biāo)：射程；因素：推進器（三個水平）、燃料（四個水平）；目的：考察推進器核燃料這兩個因素對射程是否有顯著影響。而方差分析法就是解決這一問題的一種統(tǒng)計方法。 (1,1) 方差分析的任務(wù) I. 檢驗 s個總體 的均值是否相等，即檢驗假設(shè) II. 作出未知參數(shù) 的估計 若記 的加權(quán)平均為 再引入 表示總體平均值與總平均的差異，稱為水平 Aj的效應(yīng)。ssHH??????,...,:,0...:211210 ????()’ ()’ (二）平方和的分解 ? 引入總偏差平方和（或總變差）與總平均：即 ? 水平 Aj下的樣本均值為 ? 這時，可以將 ST寫成： ? ?? ?? ?? ????sjniijsjniijTjjXnXXXS1 11 121)(與（ 1， 5） （ 1， 6） ???jniijjj XnX1.1（ 1， 7） ? 上式的第三項為 ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ????????????sjnijjijsjnijsjnijijsjnijjijTjjjjXXXXXXXXXXXXS1 1..1 12.1 12.1 12..))((2)()()]()[(0])[)(2])([)(2))((21.1.1.1.1 1..?????????????? ?????? ?jjjnijjijsjjnijijsjjsjnijjijXnXXXXXXXXXXX? 若記 ? SE稱為 誤差平方和 ， SA表示 Aj水平下的樣本均值與數(shù)據(jù)總平均的差異，叫做 效應(yīng)平方和， 他是由水平 Aj的效應(yīng)的差異以及隨機誤差引起的。 方差來源 平方和 自由度 均方 F比 因素 A SA= 053 33 2 526 67 誤差 SE= 192 12 016 總和 ST = 245 33 14 例 4的方差分析表 （五）未知參數(shù)的估計 （ 1）參數(shù) σ2 ， μ， μj ， δj的估計 由上面的討論，不管 H0是否為真， 是 ζ2的無偏估計 由于 故 分別是 μ， μj的無偏估計。 ? 解：經(jīng)計算 ? 由 (ns)= (12)=，得 ? 故 μ1 – μ2 ， μ1 – μ3 ， μ2 –μ3的置信水平為 信區(qū)間分別為 .,?,?,0 0 0 0 1 ..2?????????????????????xxxxxxxxxxsnSE????????52101671 )11()( 4 ???????kjE nnSsnt? 例 6 設(shè)在第二個例子中，四類電路的響應(yīng)時間的總體均為正態(tài)分布，切割總體的方差相同，但參數(shù)未知，并且個樣本相互獨立。 方差來源 平方和 自由度 均方 F比 因素 誤差 3 14 2825 總和 17 一元線性回歸 本節(jié)的內(nèi)容提綱 （一）一元線性回歸的概念和數(shù)學(xué)模型 （二） a、 b的估計 （三） σ2的估計 （四）線性假設(shè)的顯著性檢驗 （五）系數(shù) b的置信區(qū)間 （六）回歸函數(shù) μ(x)=a+bx函數(shù)值的點估計和置信區(qū)間 （七） Y的觀測值的點預(yù)測和預(yù)測區(qū)間 第三節(jié)、一元線性回歸 ? 兩個變量之間的關(guān)系包括： 1. 確定性關(guān)系：能用函數(shù)關(guān)系表達(dá)； 2. 非確定性關(guān)系：就是相關(guān)關(guān)系。 1. 預(yù)測問題：在給定的置信度下，估計出當(dāng) x取某一定值時，隨機變量 y的取值情況； 2. 控制問題：在給定的置信度下，控制自變量 x的取值范圍，使 y在給定的范圍內(nèi)取值； 回歸分析的任務(wù) ? 主要是根據(jù)試驗，估計回歸函數(shù)，討論點估計、區(qū)間估計、假設(shè)檢驗等問題。 ? 在直角坐標(biāo)系中描出散點圖，粗略得出 μ(x) ? 例 1 為研究某一化學(xué)反應(yīng)過程中溫度 (x,)與產(chǎn)品得率 y的影響。 ? 一元線性回歸模型： 設(shè) Y~N(a+bx, σ2 )其中 a,b, σ2是未知參數(shù)，記 ε = Y（ a+bx），則 Y= a+bx + ε, ε ~N(0, σ2 ) （ 1） 稱上式為一元線性回歸模型。 ? 令 ? 得方程組： ? 稱這個方程組為正規(guī)方程組。 ? 也可以把經(jīng)驗回歸方程寫為 ? 若記 xbax ??)(? ???xbay ??? ??)(?? xxbyy ?????????????????????????? ? ??? ??? ??? ? ??? ??? ??nininiiiiiniiixyniniiiniiyyniniiiniixxyxnyxyyxxSyn
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