常微分方程主要內(nèi)容復(fù)習(xí)-wenkub
2023-05-22 05:30:47 本頁(yè)面
【正文】 2． 解法 : ? ? ? ? ? ?? ?1 0d y f x d x g ygy ??分 離 變 量 得兩端積分得通解 : ? ? ? ?1 d y f x d xgy ???齊次方程 如果一階微分方程 可以化成 的形式，則稱此方程為 齊次微分方程 ． 這類方程的求解分三步進(jìn)行： （ 1）將原方程化為方程 的形式． （ 2）作變量代換 以 為新的未知函數(shù)（注意， 仍是 的函數(shù)），就可以把齊次微分方程化為可分離變量的微分方程來求解． d ( , )dy f x yx ? ddyyxx? ??? ????ddyyxx???? ????yux?u u x? 由 ，得 ? 兩端求導(dǎo)，得 ? 代入方程中，得 y ux?dy duuxdx dx??)( udxduxu ???這是變量可分離的微分方程．分離變量并積分，得 （ 3）求出積分后，再以 代回，便得到所求齊次方程的通解 dd()uxu u x? ????yux?yux?一階線性微分方程 形如 的方程稱為 一階線性微分方程 ，其中 P(x)， Q(x)是連續(xù)函數(shù)，且方程關(guān)于 y及 是一次的， Q(x)是自由項(xiàng) . xydd為 一階線性非齊次方程， ，則稱如果 0)( ?xQ，即如果 0)( ?xQ為 一階線性齊次方程 . d ( ) ( ) ( 1 )dy P x y Q xx ??d ( ) ( )dy P x y Q xx ??d ( ) 0 ( 2 )dy P x yx ??一階線性非齊次微分方程的求解步驟如下 : ( 2 ) 0)(dd ?? yxPxy 的通解： 分離變量后得 xxPyy d)(d ??，的形式，得任意常數(shù)寫成CxxPyClnd)(ln ln? ???化簡(jiǎn)后，方程 (2)的通解為 其中 C為任意常數(shù) .
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