數(shù)量金融利率建模-wenkub
2022-09-11 08:58:37 本頁面
【正文】 刻的價格為 其中在風(fēng)險中性世界中 ， 利率滿足的隨機過程為 即 ()式為 ()式和終值條件 V(r, T。 當(dāng)利率偏離 η/γ時 ， 此模型會以 γ的速率將利率拉回 η/γ。 )( , 。 ) ) ( ) ,241( 。 且當(dāng)常數(shù)滿足 η α/2時 ， 得到的利率為正 。 ) ,A t T r B t TP r t T e ??19 常用的單因子利率模型 HoLee模型 其中 η(t)為時間的函數(shù) 。 ) ( 。 ) .TtA t T s T s d s T tB t T T t??? ? ? ? ????21 常用的單因子利率模型 HullWhite單因子模型 其中 η(t)為時間的函數(shù) 。 構(gòu)造投資組合： 持有 1份遠(yuǎn)期合同；賣空 Δ單位的基本資產(chǎn) S和 Δ1單位的 T時刻到期的零息債券； 1( , , ) ( , 。 T)。 ) 1 .P P Pw u w r Pt r rP r T T?? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ??? ??26 隨機利率下的遠(yuǎn)期和期貨價格 期貨 假定基于資產(chǎn) S的 T時刻到期的期貨價格為 F(S, r, t)。 無套利要求此投資組合的回報率為 r， 故得到 終止條件為 F(S, r, T)=S。 ) 1 .qq q q qrw u w r q w wt r r q rq r T T? ? ?? ???? ??? ? ? ?? ???? ? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ??29 第八講 信用風(fēng)險 Merton模型 . 違約風(fēng)險與風(fēng)險債券價格 . 隨機違約風(fēng)險模型 . CDO. Merton模型 30 Merton模型 假設(shè)價值為 A的公司通過股權(quán) (價值為 S)和價值為 V，到期期限為 T的純貼現(xiàn)債券進(jìn)行融資。 ? ?21ln2Pr ( ) .tTAr T tDADTt?????? ??? ? ???????????? ? ? ??????35 期望違約頻率和對應(yīng)的評級類別 EDF Samp。 () ,p T teQ??42 風(fēng)險債券價格 （ 繼續(xù) ） 如果無風(fēng)險利率是隨機的 ， 那么有違約風(fēng)險的在 T時刻支付 1的零息債券的價格 V(r, p, t)滿足 ( , ) ( , ) ,tdr u r t dt w r t dZ??2221( ) ( ) 0 ,2( , , ) 1 .V V Vw u w r p Vt r rV r p T?? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ??? ??43 證明： 構(gòu)造投資組合： 持有 1單位有違約風(fēng)險債券 V(r, p, t)； 賣空 Δ單位無違約風(fēng)險債券 Q(r, t)； i） 有 pdt的概率發(fā)生違約 ， 此時投資組合價值的改變?yōu)? ( , , ) ( , ) .V r p t Q r t? ? ? ?1 / 2( ) . ( )d V O dt? ? ? ?44 證明 （ 繼續(xù) ） ： ii） 有 (1?pdt)的概率不發(fā)生違約 ， 此時投資組合價值的改變?yōu)? 選擇 注意到 222222121 .2V V Vd d t d r w d tt r rQ Q Qd t d r w d tt r r? ? ?? ? ? ?? ? ???? ? ?? ? ? ???? ? ???,VQrr???? ??2221 ( ) 0 ,2Q Q Qw u w rQt r r?? ? ?? ? ? ? ?? ? ?45 證明 （ 繼續(xù) ） ： 我們有 求期望 ， 合并 ()和 ()， 得到 2221 ( ) , ( 8 . 2 )2V V QVQd d t w d t u w r Q d trrt r r?? ? ??? ??? ? ? ? ? ?????? ? ???2221()2 ( ) , .V V QVQ
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