【正文】 線長(zhǎng) 20 厘米 ,試將漏斗的容積 V 表示為它的高 h 的函數(shù) ,并指明定義域 . 根據(jù)相關(guān)知識(shí)建立函數(shù)關(guān)系，以培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力 7練習(xí)鞏固 ，每臺(tái)售價(jià)為 300元，當(dāng)年產(chǎn)量超過 600臺(tái)時(shí)，超過部分只能打 8 折出售，這樣可出售200 臺(tái)，如果再多生產(chǎn)，則本年就銷售不出去了，試寫出本年的收益函數(shù)模型 . 2. 一下水道的截面是矩形加半圓形 (如圖 )， 截面積為 A ， A 是一常量。 鞏固知識(shí)，明確要求，整理知識(shí)結(jié)構(gòu)與思想方法，培養(yǎng)學(xué)生 的組織能力，形成完整的知識(shí)體系 . 8作業(yè) 課本習(xí)題 結(jié)合本專業(yè)特點(diǎn)，達(dá)到理解概念，培養(yǎng)能力，發(fā)展學(xué)生面對(duì)實(shí)際問題，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，解決問題的應(yīng)用意識(shí) . 《高等數(shù)學(xué)》單元課程設(shè)計(jì) 4 課 題 極限（二） 授課班級(jí) 略 上課時(shí)間 2學(xué)時(shí) 課型 理論課 教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)目標(biāo) ：掌握極限的四則運(yùn)算法則 能力目標(biāo) ：具有用極限思想分析問題的意識(shí)，感知極限與生活的緊密聯(lián)系 情感目標(biāo) ：通過實(shí)際案例引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)思想融入實(shí)際生活中 任務(wù)描述 任務(wù)一： 對(duì)某種電子產(chǎn)品的銷售作出預(yù)測(cè) 任務(wù)二：運(yùn)用極限的四則運(yùn)算法則求極限 教學(xué)方法 多媒體教學(xué)，案例驅(qū)動(dòng)，提問，啟發(fā)，探討。 定理 2：若 BxgAxf ?? )(lim,)(lim ，則 )()(lim xgxf ? 存在，且 )(lim)(lim)()(lim xgxfABxgxf ???。 注：以上定理對(duì)數(shù)列亦成立。 推論 2：設(shè) )(),( xQxP 均為多項(xiàng)式，且 0)( 0 ?xQ ，則)( )()( )(lim 000 xQ xPxQ xPxx ??。 【例 5】求 32 2lim221 ????? xxxxx。 【例 7】求 2lim 22 ?? xxx。 證明：當(dāng) ??x 時(shí)，分子、分母極限均不存在，故不能用167。如果年利率一定，但銀行可以在一年內(nèi)多次付給儲(chǔ)戶利息，比如按月付息、按天付息等。 第二天后儲(chǔ)戶本息共計(jì)： 2)(1000 ? ， ?? 則一年后 儲(chǔ)戶本息共計(jì)： 365)(1000 ? 一般地，若該儲(chǔ)戶等間隔地結(jié)算 n次，則有一年后本息共計(jì)： nn )(1000 ? 于是，可以得到如果儲(chǔ)戶等間隔地結(jié)算 n次，一年后本息共計(jì)的一個(gè)函數(shù)： nnns )(1000)( ?? 隨著結(jié)算次數(shù)的無(wú)限增加，有 ??n ,故一年后本息共計(jì)： nn n )(1000lim ??? 怎樣計(jì)算上述極限？引入課題 . 0sinlimxxx? ?？， 1lim (1 )xx x?? ??？ 要極限 1 1. 第一個(gè)重要極限： 1sinlim0 ?? x xx 下面將證明第一個(gè)重要極限： 1sinlim0 ?? x xx。 【例 3】 3113c o s13 3s in3lim3t a nlim00 ??????? ?? xx xx x xx。 任務(wù) 1的解決： = n n n ) 05 . 0 1 ( 1000 lim ? ? ? 結(jié)論： 計(jì)算結(jié)果說明隨著結(jié)算次數(shù)的無(wú)限增加，一年后該儲(chǔ)戶在銀行的存錢不會(huì)無(wú)限變大，該儲(chǔ)戶一年本息和最多不超過 1052美元。 教學(xué)參考資料 《高等數(shù)學(xué)》，侯風(fēng)波主編，高等教育出版社， 2020. 教學(xué)過程設(shè)計(jì) 教學(xué)環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 1案例分析導(dǎo)入課題 連續(xù)性是函數(shù)的重要性態(tài)之一。 例 1 討論函數(shù) 2)( 2 ?? xxf 在 2?x 處的連續(xù)性． 解 ? ? 62lim)(lim 222 ??? ?? xxf xx，而 6)2( ?f ，即 )2()(lim2 fxfx ??．因此，函數(shù) 2)( 2 ?? xxf 在 2?x 處連續(xù)． 例 2. 討論函數(shù)?????????.2,s in,2,c o s1)( ??xxxxxf 在點(diǎn) 2??x 的連續(xù)性． 解 這是一個(gè)分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性問題．由于 )(xf 在點(diǎn) 2??x 的左、右兩側(cè)表達(dá)式不同，所以先討論函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 2??x 的左、右連續(xù)性． 因?yàn)? ? ? ???????????? ???? 212co s1co s1l i m)(l i m22???? fxxf xx， ?????????? ???? 212s i ns i nl im)(l im22???? fxxf xx， 所以 )(xf 在點(diǎn) 2??x 左、右連續(xù)，因此 )(xf 在點(diǎn) 2??x 連續(xù)． 例 ： ? ? 11lim)(lim00 ???? ?? ?? xxf xx， 0lim)(lim 300 ?? ?? ?? xxf xx． 雖然當(dāng) 0?x 時(shí)的左、右極限都存在，但當(dāng) 0?x 時(shí)，函數(shù) )(xf 并不趨近于某一個(gè)確定的常數(shù)，因而當(dāng) 0?x 時(shí) )(xf 的極限不存在，故函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0?x不連續(xù)． 討論函數(shù)??? ???? .0, ,0,1)( 3 xx xxxf在點(diǎn) 0?x 的連續(xù)性． 解 作出它的圖象（如下圖所示）， y 1 O 1 x 1 2 小結(jié) 、區(qū)間連續(xù)性定義及判定條件； 習(xí)題 2： 10 （ 1） （ 2） 《高等數(shù)學(xué)》單元課程設(shè)計(jì) 7 課 題 函數(shù)的連續(xù)性 間斷點(diǎn) 授課班級(jí) 略 上課時(shí)間 2學(xué) 時(shí) 課型 理論課 教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)目標(biāo) ：理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念，會(huì)判斷間斷點(diǎn)的類型，了解初等函數(shù)的連續(xù)性 能力目標(biāo) ：能用連續(xù)的定義描述專業(yè)現(xiàn)象的特征 情感目標(biāo) ：通過實(shí)際案例引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)思想融入實(shí)際生活中 任務(wù)描述 任務(wù)一： 會(huì)判斷函數(shù)間斷點(diǎn)的類型 任務(wù)二：會(huì)利用函數(shù)的連續(xù)性求極限 教學(xué)方法 多媒體教學(xué)，案例驅(qū)動(dòng)，提問，啟發(fā)，探討。 教學(xué)參考資料 《高等數(shù)學(xué) 》，侯風(fēng)波主編，高等教育出版社， 2020. 教學(xué)過程設(shè)計(jì) 教學(xué)環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 一、知識(shí)要點(diǎn) 一、知識(shí)要點(diǎn) 函數(shù)的極限，左極限，右極限，數(shù)列的極限，無(wú)窮小量，無(wú)窮大量，等價(jià)無(wú)窮小，在一點(diǎn)連續(xù)，連續(xù)函數(shù)，間斷點(diǎn)，第一類間斷點(diǎn)（可去間斷點(diǎn)，跳躍間斷點(diǎn)），第二類間斷點(diǎn) . (1) 1sinlim0 ?? 口口口， (2) e)11(lim0 ??? 口口 口(口 代表同一 變量 ). 方法 ⑴ 利用函數(shù)的連續(xù)性求極限； ⑵ 利用四則運(yùn)算法則求極限； ⑶ 利用兩個(gè)重要極限求極限； ⑷ 利用無(wú)窮小替換定理求極限； ⑸ 利用分子、分母消去共同的非零公因子求 00 形式的極限； ⑹ 利用分子，分母同除以自變量的最高次冪求 ?? 形式的極限； ⑺ 利用連續(xù)函數(shù)的函數(shù)符號(hào)與極限符號(hào)可交換次序的特性求極限； ⑻ 利用“無(wú)窮小與有界函數(shù)之積仍為無(wú)窮小量”求極限 . 左右極限與極限的關(guān)系， 單調(diào)有界原理，夾逼準(zhǔn)則，極限的惟一性，極限的保號(hào)性，極限的四則運(yùn)算法則，極限與無(wú)窮小的關(guān)系，無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)，無(wú)窮小的替換定理，無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系，初等函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) . 二、例題精解 二、例題精解 例 1 求下列極限 : (1) ))( c o ss in(limta n2224πxx xxx ???； (2) 1)12 32(lim ??? ?? xx xx (3) 3111lim xxx ??? (4) )1s ins in(lim0 xxxxx ???； (5) )2s in (lim xxx ????? ； (6) xxxx 1sin53lim2???. 解 (1)由于討論函數(shù) xxxxxf ta n222 )( c o ss in)( ??? 在 4π?x 處有定義，而且在 4π?x 處 連 續(xù) ， 所 以 有])( c o ss in[lim ta n2224πxx xxx ???4πta n222 )4π( c o s)4π( s in)4π( ???222 )22()22(16π ??? 116π2 ?? ． (2) 123lim ( )21xxxx ????? 12 1 2lim ( )21 xxx x ?????? ? 12lim (1 )21xx x ????? ? （這是 ?1 型，設(shè)法將其化為 口口 ）口（ 11lim ??? ） 11221lim (1 )12xx x???????2121 )2111(lim)2111(lim ?????? ????? xx xxx 212121 )]2111(lim[)2111(lim ????? ?????? xx xxx211e?? e? ． (3) 311lim1xxx??? 23323 3 31(1 ) (1 ) 1 ( )l im(1 ) 1 ( ) (1 )xx x x xx x x x???? ? ? ??????? ? ? ??? 2331(1 ) 1 ( )l i m(1 )( 1 )xx x xxx???? ? ?????? 23311 ( )lim 1xxxx???? ? 32? ． (4) )1s ins in(lim0 xxxxx ??? xxxxxx1s inlims inlim00 ?? ?? ??01?? 1? ． （ 5）、（ 6）解略。 教學(xué)參考資料 《高等數(shù)學(xué)》，侯風(fēng)波主編，高等教育出版社， 2020. 教學(xué)過程設(shè)計(jì) 教學(xué)環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 導(dǎo)入 任務(wù) 。 教學(xué)參考資料 《高等數(shù)學(xué)》，侯風(fēng)波主編，高等教育出版社， 2020. 教學(xué)過程設(shè)計(jì) 教學(xué)環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 和差積商的導(dǎo)數(shù) 定理 1 設(shè)函數(shù) )(),( xvvxuu ?? 在點(diǎn) x 處可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商（分母不為零）也在 x 處可導(dǎo)，且 （ 1） 。( vuvu ??? （ 2） 。uvvuuv ?? （ 3） ).0(39。( CuCu ? （ C為常數(shù)）． 說明：定理 1中的（ 1）、（ 2）可推廣到有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的情形．如 設(shè) )(),(),( xwwxvvxuu ??? 均可導(dǎo)，則有 .)( 。)39。39。)( 139。)( 39。1)(ln 39。sin)(co s 39。cs c)(co t 239。c s cc o t)(cs c 39。1 1)( a r c c o s 239。 xxa rc ??? 習(xí) 課本習(xí)題 3： 1（ 1） （ 10）， 結(jié) (1)熟練記住常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo) 數(shù)公式 。 任務(wù)描述 任務(wù)一：怎樣求氣球充氣式半徑增加的速度 任務(wù)二：能用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo) 教學(xué)方法 多媒體教學(xué)，案例驅(qū)動(dòng) ，提問，啟發(fā)，探討。( s in)39。39。1( s i n1s i n21s i n)39。1(1c o s1s in21s in12???? xxxxxx1c o t2)1(1c o s1s i n21s i n1222 ???????， 任務(wù) 1 解 設(shè)在時(shí)刻 t 時(shí)，氣球的體積與半徑分別為 V 和 r .顯然 34 , ( )3V r r r t??? 所以 V 通過中間變量 r 與時(shí)間 t 發(fā)生聯(lián)系，是一個(gè)復(fù)合函數(shù) 34 [ ( )]3V r t?? 根據(jù)題意，已知 3100 /dV cm sdt ? ，要求當(dāng) 10r cm? 時(shí) drdt 的值 . 所以得 24 3[ ( )]3d V d rrtd t d t??? 將已知數(shù)據(jù)代人上式得