【正文】 案例引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)思想融入實(shí)際生活中 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 重點(diǎn) 、函數(shù)的極限概念和性質(zhì)； ； 難點(diǎn) 熟練練判斷分段函數(shù)在分段點(diǎn)處極限是否存在 . 任務(wù)描述 任務(wù)一： 會求分段函數(shù)在分界點(diǎn)的極限 教學(xué)方法 多媒體教學(xué)，案例驅(qū)動，提問，啟發(fā)，探討。 讓學(xué)生學(xué)會運(yùn)用概念 ,分析問題解答問題 . 題 例題 1分析下列復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)： (1) y =2cotx； (2) y = 1sin 2?xe . 例 2 有一個圓錐形的漏斗 ,其母線長 20 厘米 ,試將漏斗的容積 V 表示為它的高 h 的函數(shù) ,并指明定義域 . 根據(jù)相關(guān)知識建立函數(shù)關(guān)系，以培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力 7練習(xí)鞏固 ，每臺售價(jià)為 300元，當(dāng)年產(chǎn)量超過 600臺時，超過部分只能打 8 折出售，這樣可出售200 臺，如果再多生產(chǎn)，則本年就銷售不出去了，試寫出本年的收益函數(shù)模型 . 2. 一下水道的截面是矩形加半圓形 (如圖 )， 截面積為 A ， A 是一常量。 能力目標(biāo) ：能熟練判函數(shù)關(guān)系是否為初等函數(shù)，感知數(shù)學(xué)知識的邏輯性 情感目標(biāo) ：通過實(shí)際案例激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 重點(diǎn) 理解初等函數(shù)的概念，掌握初等函數(shù)的類型 難點(diǎn) 分析復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型 任務(wù)描述 任務(wù)一： 了解 學(xué)習(xí) 高等數(shù)學(xué)的意義、方法、內(nèi)容，學(xué)習(xí)的要求 任務(wù)二： 通過案例分析，學(xué)會區(qū)分函數(shù)類型 . 教學(xué)方法 案例驅(qū)動，提問，啟發(fā)，探討，多媒體教學(xué) 教學(xué)參考資料 《高等數(shù)學(xué)》，侯風(fēng)波主編，高等教育出版社， 2020. 教學(xué)過程設(shè)計(jì) 教學(xué)環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 設(shè)計(jì)意圖 1引言 任務(wù) 1： 學(xué)習(xí) 從數(shù)學(xué)的角度看待世間萬物之變 化 . 認(rèn)識應(yīng)用高等數(shù)學(xué)的重要性 , 培養(yǎng)濃厚的學(xué)習(xí)興趣 2案例引入 任務(wù) 2：通過案例分析，認(rèn)識復(fù)合函數(shù) . 案例 :收入和價(jià)格變化和 銷量變化之關(guān)系 . 從學(xué)生實(shí)際生活中遇到的問題入手，引導(dǎo)學(xué)生分析問題引入概念，這樣能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。這常量取決于預(yù)定的排水量 .設(shè)截面的周長為 s ，底寬為 x ，試建立 s 與 x 的函數(shù)模型 . 結(jié) 主要知識點(diǎn)： 1. 學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的意義、方法、內(nèi)容 、要求 、分段函數(shù)、基本初等函數(shù)、復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù)的定義，函數(shù)的表示法，基本初等函數(shù)的圖形，初等函數(shù)的函數(shù)值、定義域、值域的確定，復(fù)合函數(shù)的分解。 案例 1氣溫與時間 案例 2郵件付費(fèi) 從學(xué)生實(shí)際生活中遇到的問題入手，引導(dǎo)學(xué)生分析問題引入概念，這樣能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣?！陡叩葦?shù)學(xué)》單元課程設(shè)計(jì) 1 課 題 函數(shù) 授課班級 略 上課時間 2學(xué)時 課型 理論課 教學(xué)目標(biāo) 知識目標(biāo) ：理解函數(shù)、分段函數(shù)掌握基本初等函數(shù)的圖像和性質(zhì) 能力目標(biāo) ：能熟練建立簡單問題的函數(shù)關(guān)系式，感知數(shù)學(xué)知識的邏輯性 情感目標(biāo) ：通過實(shí)際案例激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 重點(diǎn) 理解函數(shù)的概念，掌握基本初等函數(shù)的圖像和性質(zhì) 難點(diǎn) 就實(shí)際問題形成函數(shù) ,建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型 任務(wù)描述 任務(wù)一： 了解 學(xué)習(xí) 高等數(shù)學(xué)的意義、方法、內(nèi)容，學(xué)習(xí)的要求 任務(wù)二： 通過案例分析，學(xué)會建立簡單問題的函數(shù)關(guān)系式 。 教學(xué)方法 案例驅(qū)動，提問，啟發(fā)，探討 ，多媒體教學(xué) 教學(xué)參考資料 《高等數(shù)學(xué)》，侯風(fēng)波主編，高等教育出版社， 2020. 教學(xué)過程設(shè)計(jì) 教學(xué)環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 設(shè)計(jì)意圖 1引言 任務(wù) 1： 學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的意義、方法、內(nèi)容，學(xué) 習(xí)的要求 認(rèn)識應(yīng)用高等數(shù)學(xué)的重要性 , 培養(yǎng)濃厚的學(xué)習(xí)興趣 2案例引入 任務(wù) 2： 通過案例分析，學(xué)會建立簡單問題的函數(shù)關(guān)系式。 3理解函數(shù)的概念 2. 函數(shù)的兩要素 3． 函數(shù)的記號 4． 函數(shù)的三種表示方法 , （ 1）圖像法 （ 2）表格法 （ 3）公式法 講清概念的內(nèi)涵和外延，感受數(shù)學(xué)知識的高度嚴(yán)謹(jǐn)與抽象性 ,培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力和語言表達(dá)能力， 4函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù)的有界性、周期性、單調(diào)性、奇偶性 對于這部分知識只是通過例子和圖象講清性質(zhì)、定理的內(nèi)涵和外延，重點(diǎn)是對性質(zhì)的運(yùn)用 ，從而培養(yǎng)學(xué)生的解題技巧和邏輯推力能力 .這也體現(xiàn)了高職數(shù)學(xué)必須遵循的“以應(yīng)用為目的，以必需、夠用”為度的原則 5練習(xí)鞏固 ， 每臺售價(jià)為 300元，當(dāng)年產(chǎn)量超過 600臺時， 鞏固知識 ,形成技能 ,反饋矯正 . 超過部分只能打 8 折出售，這樣可出售200 臺，如果再多生產(chǎn)，則本年就銷售不出去了，試寫出本年的收益函數(shù)模型 . 2. 一下水道的截面是矩形加半圓形 (如圖 )，截面積為 A ， A 是一常量。 （奇偶性、周期性、單調(diào)性和有界性）的定義及其幾何特 鞏固知識，明確要求，整理知識結(jié)構(gòu)與思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的組織能力，形成完整的知識體系 . 課本習(xí)題、 教學(xué)案例 結(jié)合本專業(yè)特點(diǎn)，達(dá)到理解概念，培養(yǎng)能力，發(fā)展學(xué)生面對實(shí)際問題，運(yùn)用所學(xué)知識，解決問題的應(yīng)用意識 . 《高等數(shù)學(xué)》單元課程設(shè)計(jì) 2 課 題 函數(shù) 授課班級 略 上課時間 2學(xué)時 課型 理論課 教學(xué)目標(biāo) 知識目標(biāo) ：理解復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)的概念、掌握初等函數(shù)的定義 。 3理解 復(fù)合函數(shù)的概念 函數(shù)的定義 : 若函數(shù) )(ufy? 的定義域?yàn)?1D ，函數(shù) )(xu ?? 在 2D 上有定義 ，其值域?yàn)?}),({ 22 DxxuuW ??? ? 且 12 DW? ，則對于任一 2Dx? ，通過函數(shù) )(xu ?? 有確定的 2Wu? 與之對應(yīng)，通過函數(shù) )(ufy? 有確定的 y 值與之對應(yīng)．這樣對于任一 2Dx? ，通過函數(shù) u 有確定的 y 值與之對應(yīng)，從而得到一個以 x 為自變量 ， y 為因變量的函數(shù)，稱其為由函數(shù) )(ufy? 和 )(xu ?? 復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，記為 )]([ xfy ?? ，其定義域?yàn)?2D ， u 稱為中間變量 2. 判定函數(shù)是否是復(fù)合函數(shù) 講清概念的內(nèi)涵和外延，感受數(shù)學(xué)知識的高度嚴(yán)謹(jǐn)與抽象性 ,培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力和語言表達(dá)能力， 4復(fù)合 函數(shù)的 拆分 \復(fù)合 \ 1. 將基本初等函數(shù)合成復(fù)合函數(shù) 2. 將復(fù)合函數(shù)拆成簡單函數(shù) 通過練習(xí)鍛煉學(xué)生思維 ,結(jié)合例題講清概念的內(nèi)涵和外延，重點(diǎn)是對復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)的分析 . 數(shù) 初等函數(shù) 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù)合運(yùn)算而得到的，且用一個式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。這常量取決于預(yù)定的排水量 .設(shè)截面的周長為 s ，底寬為 x ，試建立 s 與 x 的函數(shù)模型 . 鞏固知識 ,形成技能 ,反饋矯正 . 結(jié) 主要知識點(diǎn)： 1. 學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的意義、方法、內(nèi)容 、要求 ，函數(shù)的表示法，基本初等函數(shù)的圖形，初等函數(shù)的函數(shù)值、定義域、值域的確定，復(fù)合函數(shù)的分解。 教學(xué)參考資料 《高等數(shù)學(xué)》，侯風(fēng)波主編，高等教育出版社， 2020. 教學(xué)過程設(shè)計(jì) 教學(xué)環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 設(shè)計(jì)意圖 1數(shù)列極限 1 引例：公元前 3 世紀(jì)，道家代表莊子《天下篇》：一尺之棰，日取其半，萬世不竭． 由我國古代數(shù)學(xué)案例引入概念 , 培養(yǎng)學(xué)生的 的學(xué)習(xí)興趣 和民族自豪感 2函數(shù)的極限 1. 0xx? 時函數(shù) ()fx的極限 2. 0xx?? ( 0xx?? )時函數(shù) ()fx的極限 定理 .)(lim)(lim)(lim000 AxfxfAxf xxxxxx ???? ?? ??? 3. ??x 時函數(shù)的極限 講清概念的內(nèi)涵和外延，感受數(shù)學(xué)知識的高度嚴(yán)謹(jǐn)與抽象性 ,培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力和語言表達(dá)能力， 定理 2 AxfxfAxfxxx ???? ???????? )(lim)(lim)(lim 3極限的性質(zhì) 1．唯一性 2．有界性 3．保號性 注：逆命題不成立 講清定理的條件和結(jié)論 ，感受數(shù)學(xué)知識的高度嚴(yán)謹(jǐn)與抽象性 ,培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力和語言表達(dá)能力 量 2．極限與無窮小之間的關(guān)系 運(yùn)算性質(zhì) 定理 ． 定理 3. 有限個無窮小量的乘積是無窮小量． 推論 1. 無窮小量與有界量的乘積是無窮小量． 推論 2. 常數(shù)與無窮小量的乘積是無窮小量． 注意 : 兩個無窮小之商未必是無窮小， 對于這部分知識只是通過例子和圖象講清性質(zhì)、定理的內(nèi)涵和外延，重點(diǎn)是對性質(zhì)的運(yùn)用 ，從而培養(yǎng)學(xué)生的解題技巧和邏輯推力能力 . 量 （ 1）無窮大的定義 在自變量的某個變化過程中，絕對值可以無限增大的變量稱為這個變化過程中的無窮大量，簡稱無窮大． 應(yīng)該注意的是：無窮大量是極限不存在 的一種情形，我們借用極限的記號 ??? )(lim0 xfxx，表示“當(dāng)0xx? 時 , )(xf 是無窮大量” ． （ 2）無窮小量與無窮大量的關(guān)系 定理 4.（在無窮小量與無窮大量的關(guān)系）自變量的某個變化過程中，無窮大量的倒數(shù)是無窮小量，非零無窮小量的倒數(shù)是無窮大量． 例 ，下列函數(shù)是無窮大量 1. xyxyxyxy 2)4(,ln)3(,12)2(,11 ?????? 結(jié)合例題講清概念的內(nèi)涵和外延，重點(diǎn)是對復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu) 的分析 6練習(xí)鞏固 課本習(xí)題 2： 1（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）， 2（ 1）（ 2），3（ 1）（ 2） 鞏固知識 ,形成技能 ,反饋矯正 . 7課堂小結(jié) 主要知識點(diǎn)： 1. 極限的概念與方法， 0xx? 及 ??x 時函數(shù))(xf 極限定義及數(shù)列極限的定義； 2. 函數(shù)極限和數(shù)列極限的幾何意義； 3. 無窮小量、無窮大量的定義； 4. 無窮小量與無窮大量的關(guān)系。 教學(xué)參考資料 《高等數(shù)學(xué)》，侯風(fēng)波主編，高等教育出版社， 2020. 教學(xué)過程設(shè)計(jì) 教學(xué)環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 入 任務(wù)一：某商場推出某種電子產(chǎn)品時，在短期內(nèi)銷量會迅速增加，然后下降，其函數(shù)關(guān)系為 4003002 ?? t ty，請你對該產(chǎn)品的長期銷售作出預(yù)測 分析： 00104001300lim400300limlim22 ??????? ?????????ttttyttt 所以購買次電子產(chǎn)品的人將越來越少，轉(zhuǎn)而買新的電子產(chǎn)品 限的運(yùn)算法則 極限四則運(yùn)算法則 由極限定義來求極限是 不可取的，也是不行的，因此需尋求一些方法來求極限。 注：本定理可推廣到有限個函數(shù)的情形。 推論 1： )(lim)](lim [ xfcxcf ? （ c 為常數(shù)）。 定理 3：設(shè) 0)(lim,)(lim ??? BxgAxf ，則)(lim )(lim)( )(lim xg xfBAxg xf ??。 分析：定理和推論只要求掌握它的意義和運(yùn)用，對證明不作要求 任務(wù)二：求下列例題中的極限 【例 1】 baxbxabaxbaxxxxxxxxx ??????? ???? 00000 limlimlim)(lim。 推論 1：設(shè) nnnn axaxaxaxf ????? ?? 1110)( ??為一多項(xiàng)式，當(dāng) )()(l i m 001101000 xfaxaxaxaxf nnnnxx ?????? ??? ??。 【例 3】 31151105(lim 221 ????????? xxx。 注：若 0)( 0 ?xQ ，則不能用推論 2來求極限， 需采用其它手段。 解：當(dāng) 1?x 時，分子、分母均趨于 0，因?yàn)?1?x ，約去公因子 )1( ?x ， 所以 5332 2lim32 2lim1221 ?????? ???? xxxx xxxx。 解：當(dāng) 13,11,13 ???? xxx全沒有極限，故不能直接用定理 3，但當(dāng) 1??x 時， 12)1)(1( )2)(1(1311 223 ??????? ?????? xx xxxx xxxx，所以 11)1()1( 2112l i m)1311(l i m 22131 ?????? ?????????? ???? xx xxx xx 。 解：當(dāng) 2?x 時， 02??x ，故不能直接用定理 5，又 42?x ，考慮：04 222lim 22 ????? xxx ， ????? 2lim22 xxx。 當(dāng) 1?x 時， 1~)1s in( 22 ?? xx ，且 0)(lim 21 ???? baxxx 1 0 , = ( 1 )a b b a? ? ? ? ?