【文章內(nèi)容簡介】 xx ??? 趨于零時(shí)，對(duì) 應(yīng)的函數(shù)增量也趨于零，即 ? ? 0)()(limlim0000 ?????? ???? xfxxfy xx， 則稱函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 處連續(xù)，或稱 0x 是 )(xf 的一個(gè)連續(xù)點(diǎn)． 定義２ 若 )()(lim00 xfxfxx ??，則稱函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 處連續(xù)． ② 左右連 續(xù)的概念 若 )()(lim00 xfxfxx ???，則稱函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 處左連續(xù)；若 )()(lim00 xfxfxx ???，則稱函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 處右連續(xù)． ⑵ 函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的充分必要條件 函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 處連續(xù)的充分必要條件是 )(xf 在點(diǎn) 0x 處既左連續(xù)又右連續(xù)． 由此可知，函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 處連續(xù)，必須同時(shí)滿足以下三個(gè)條件： ① 函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 的某鄰域內(nèi)有定義， ② )(lim0 xfxx?存在， ③ 這個(gè)極限等于函數(shù)值 )(0xf ． ⑶ 函數(shù)在 區(qū)間上連續(xù)的概念 在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)，稱為在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，或者說函數(shù)在該區(qū)間上連 續(xù)，該區(qū)間也稱為函數(shù)的連續(xù)區(qū)間．如果連續(xù)區(qū)間包括端點(diǎn)，那么函數(shù)在右端點(diǎn)連續(xù)是指左連續(xù)，在左端點(diǎn)連續(xù)是指右連續(xù)． 說明： （ 1） 點(diǎn)連續(xù)性的兩個(gè)定義本質(zhì)相同，只是敘述的角度不同。 （ 2） 函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：① 函數(shù)在該點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義； ② 函數(shù)在該點(diǎn)的極限存在； ③ 極限值等于該點(diǎn)的函數(shù)值． （ 3）用“點(diǎn)連續(xù)性的兩個(gè)定義”可證明初等函數(shù)的點(diǎn)連續(xù)性；用“左連續(xù)和右連續(xù)” 可證明分段函數(shù)在其分段 點(diǎn)處的連續(xù)性。 例 1 討論函數(shù) 2)( 2 ?? xxf 在 2?x 處的連續(xù)性． 解 ? ? 62lim)(lim 222 ??? ?? xxf xx，而 6)2( ?f ，即 )2()(lim2 fxfx ??．因此，函數(shù) 2)( 2 ?? xxf 在 2?x 處連續(xù)． 例 2. 討論函數(shù)?????????.2,s in,2,c o s1)( ??xxxxxf 在點(diǎn) 2??x 的連續(xù)性． 解 這是一個(gè)分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性問題．由于 )(xf 在點(diǎn) 2??x 的左、右兩側(cè)表達(dá)式不同，所以先討論函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 2??x 的左、右連續(xù)性． 因?yàn)? ? ? ???????????? ???? 212co s1co s1l i m)(l i m22???? fxxf xx， ?????????? ???? 212s i ns i nl im)(l im22???? fxxf xx， 所以 )(xf 在點(diǎn) 2??x 左、右連續(xù)，因此 )(xf 在點(diǎn) 2??x 連續(xù)． 例 ： ? ? 11lim)(lim00 ???? ?? ?? xxf xx， 0lim)(lim 300 ?? ?? ?? xxf xx． 雖然當(dāng) 0?x 時(shí)的左、右極限都存在，但當(dāng) 0?x 時(shí)，函數(shù) )(xf 并不趨近于某一個(gè)確定的常數(shù)，因而當(dāng) 0?x 時(shí) )(xf 的極限不存在，故函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0?x不連續(xù)． 討論函數(shù)??? ???? .0, ,0,1)( 3 xx xxxf在點(diǎn) 0?x 的連續(xù)性． 解 作出它的圖象（如下圖所示）， y 1 O 1 x 1 2 小結(jié) 、區(qū)間連續(xù)性定義及判定條件； 習(xí)題 2： 10 （ 1） （ 2） 《高等數(shù)學(xué)》單元課程設(shè)計(jì) 7 課 題 函數(shù)的連續(xù)性 間斷點(diǎn) 授課班級(jí) 略 上課時(shí)間 2學(xué) 時(shí) 課型 理論課 教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)目標(biāo) ：理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念，會(huì)判斷間斷點(diǎn)的類型，了解初等函數(shù)的連續(xù)性 能力目標(biāo) ：能用連續(xù)的定義描述專業(yè)現(xiàn)象的特征 情感目標(biāo) ：通過實(shí)際案例引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)思想融入實(shí)際生活中 任務(wù)描述 任務(wù)一： 會(huì)判斷函數(shù)間斷點(diǎn)的類型 任務(wù)二：會(huì)利用函數(shù)的連續(xù)性求極限 教學(xué)方法 多媒體教學(xué)，案例驅(qū)動(dòng)，提問，啟發(fā)，探討。 教學(xué)參考資料 《高等數(shù)學(xué)》，侯風(fēng)波主編，高等教育出版社， 2020. 教學(xué)過程設(shè)計(jì) 教學(xué)環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 1案例分析導(dǎo)入課題 前面我們了解了函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的情況 ,通過例 題看到了優(yōu)勢函數(shù)在某處是不連續(xù)的情況 ,如練習(xí)題 .此時(shí)我們稱函數(shù)為間斷 . 復(fù)習(xí)內(nèi)容 如 : 討論函數(shù)??? ???? .0, ,0,1)( 3 xx xxxf在點(diǎn) 0?x 的連續(xù)性． 解 作出它的圖象（如下圖所示）， y 1 O 1 x 1 2 由上圖可看出： ? ? 11lim)(lim00 ???? ?? ?? xxf xx， 0lim)(lim 300 ?? ?? ?? xxf xx． 雖然當(dāng) 0?x 時(shí)的左、右極限都存在，但當(dāng) 0?x 時(shí)，函數(shù) )(xf 并不趨近于某一個(gè)確定的 常數(shù)，因而當(dāng) 0?x 時(shí) )(xf 的極限不存在，故函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0?x 不連續(xù)． 稱此處函數(shù)間斷 . 點(diǎn) 若函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 處不連續(xù)，則稱點(diǎn) 0x 為函數(shù) )(xf 的間斷點(diǎn)． 1． 間斷點(diǎn)的分類 設(shè) 0x 為 )(xf 的一個(gè)間斷點(diǎn)，如果當(dāng) 0xx? 時(shí)， )(xf 的左極限、右極限都存在，則稱 0x 為 )(xf 的第一類間斷點(diǎn)；否則，稱 0x 為 )(xf 的第二類間斷點(diǎn)． 對(duì)于第一類間斷點(diǎn)有以下兩種情形： ① 當(dāng) )(lim0 xfxx ??與 )(lim0 xfxx ??都存在，但不相等時(shí)，稱 0x 為 )(xf 的跳躍間斷點(diǎn)； ② 當(dāng) )(lim0 xfxx?存在，但極限不等于 )(0xf 時(shí)，稱 0x 為 )(xf 的可去間斷 . 例 4 討論函數(shù) ?????? ,1s in ,)(xxxxf 00??xx， 在點(diǎn) 0?x 處的連續(xù)性． 解 由于函數(shù)在分段點(diǎn) 0?x 處兩邊的表達(dá)式不同，因此，一般要考慮在分段點(diǎn) 0?x 處的左極限與右極限． 因而有 01s i nlim)(lim,0lim)(lim0000 ???? ???? ???? xxxfxxf xxxx， 而 ,0)0( ?f 即 0)0()(lim)(lim 00 ??? ?? ?? fxfxf xx ， 由函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的充要條件知 )(xf 在 0?x 處連續(xù)． 例 5 計(jì)算下列極限： ? ?xex lnarcsinlim? 解 因?yàn)?? ?xlnarcsin 是初等函數(shù)，且 ex? 是它的定義區(qū)間內(nèi)的一點(diǎn)，由定理 3，有 ? ? ? ? 21a r c s i nlna r c s i nlna r c s i nl im ????? exex． 例 6 計(jì)算下列極限： xxx11lim0??? 。 解 所給函數(shù)是初等函數(shù)，但它在 0?x 處無定義，故不能直接應(yīng)用定理 3．易判斷這是一個(gè)“ 00 ” 型的極限問題．經(jīng)過分子有理化，可得到一個(gè)在 0?x 處的連續(xù)函數(shù)，再計(jì)算極限，即 ???? xxx 11lim0 ? ? ???? 11lim0 xx xx 21101 111 1lim 0 ??????? xx 4 初等函數(shù) 的 連續(xù) 性 定理 基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的．一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的． 最大值和最小值存在定 理 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一定能取得最大值和最小值． 根的存在定理 設(shè) )(xf 為閉區(qū)間 ? ?ba, 上的連續(xù)函數(shù)，且 )()( bfaf 與 異號(hào)，則至少存在一點(diǎn) ),( ba?? ，使得 0)( ??f ． 介值定理 設(shè) )(xf 是閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù)函數(shù)，且 )()( bfaf ? ，則對(duì)介于)()( bfaf 與 之間的任意一個(gè)數(shù) ? ，則至少存在一點(diǎn) ),( ba?? ???)(f ． 判斷函數(shù)連續(xù)性的方法 由于初等函數(shù)在它的定義區(qū)間內(nèi)總是連續(xù)，所以函數(shù)的連續(xù)性討論多指分段函數(shù)在分段處的連續(xù)性． 小結(jié) 、區(qū)間連續(xù)性定義及判定條件； ； ； 點(diǎn)與判定方法； 。 作業(yè) 習(xí)題 2： 10 （ 1） （ 2） 《高等數(shù)學(xué)》單元課程設(shè)計(jì) 8 課 題 《極限》習(xí)題課 授課班級(jí) 略 上課時(shí)間 2學(xué)時(shí) 課型 理論課 教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)目標(biāo)： 掌握本模塊的知識(shí)要點(diǎn) 能力目標(biāo)： 能利用求函數(shù)極限的各種方法求極限 情感目標(biāo)： 通過求函數(shù)極限 的 練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的鉆研精神，強(qiáng)化邏輯思維的能力 任務(wù)描述 任務(wù)一： 掌握本模塊的知識(shí)要點(diǎn) 任務(wù)二： 能利用求函數(shù)極限的各種方法求極 教學(xué)方法 多媒體教學(xué)，案例驅(qū)動(dòng)，提問，啟發(fā)，探討。 教學(xué)參考資料 《高等數(shù)學(xué) 》，侯風(fēng)波主編，高等教育出版社， 2020. 教學(xué)過程設(shè)計(jì) 教學(xué)環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 一、知識(shí)要點(diǎn) 一、知識(shí)要點(diǎn) 函數(shù)的極限，左極限，右極限，數(shù)列的極限，無窮小量，無窮大量，等價(jià)無窮小，在一點(diǎn)連續(xù)，連續(xù)函數(shù)，間斷點(diǎn)，第一類間斷點(diǎn)（可去間斷點(diǎn)，跳躍間斷點(diǎn)），第二類間斷點(diǎn) . (1) 1sinlim0 ?? 口口口， (2) e)11(lim0 ??? 口口 口(口 代表同一 變量 ). 方法 ⑴ 利用函數(shù)的連續(xù)性求極限； ⑵ 利用四則運(yùn)算法則求極限； ⑶ 利用兩個(gè)重要極限求極限； ⑷ 利用無窮小替換定理求極限； ⑸ 利用分子、分母消去共同的非零公因子求 00 形式的極限； ⑹ 利用分子，分母同除以自變量的最高次冪求 ?? 形式的極限； ⑺ 利用連續(xù)函數(shù)的函數(shù)符號(hào)與極限符號(hào)可交換次序的特性求極限； ⑻ 利用“無窮小與有界函數(shù)之積仍為無窮小量”求極限 . 左右極限與極限的關(guān)系， 單調(diào)有界原理，夾逼準(zhǔn)則，極限的惟一性，極限的保號(hào)性，極限的四則運(yùn)算法則，極限與無窮小的關(guān)系，無窮小的運(yùn)算性質(zhì)，無窮小的替換定理，無窮小與無窮大的關(guān)系，初等函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) . 二、例題精解 二、例題精解 例 1 求下列極限 : (1) ))( c o ss in(limta n2224πxx xxx ???； (2) 1)12 32(lim ??? ?? xx xx (3) 3111lim xxx ??? (4) )1s ins in(lim0 xxxxx ???； (5) )2s in (lim xxx ????? ； (6) xxxx 1sin53lim2???. 解 (1)由于討論函數(shù) xxxxxf ta n222 )( c o ss in)( ??? 在 4π?x 處有定義，而且在 4π?x 處 連 續(xù) ， 所 以 有])( c o ss in[lim ta n2224πxx xxx ???4πta n222 )4π( c o s)4π( s in)4π( ???222 )22()22(16π ??? 116π2 ?? ． (2) 123lim ( )21xxxx ????? 12 1 2lim ( )21 xxx x ?????? ? 12lim (1 )21xx x ????? ? （這是 ?1 型，設(shè)法將其化為 口口 ）口（ 11lim ??? ） 11221lim (1 )12xx x???????2121 )2111(lim)2111(lim ?????? ????? xx xxx 212