【正文】 )() , . . . ,(,...,33)()( 等或或nnnndx yddx ydxfxfyy ?????? 例１ 函數(shù) .,32 )(3 2 nyxxy 求??? 解： ).4(0,12,212,26 )(2 ????????????? nyyxyxxy n 例２ 函數(shù) .,sin )(nyxy 求? 解： ),2s in (c o s ????? xxy ),22s in ()2c o s ( ?? ??????? xxy ),23s in ()22c o s ( ?? ????????? xxy 一般地， ),2s i n ()( s i n),2s i n ( )()( ?? ?????? nxxnxy nn 即 。 ?????? ?????? xxxyy 所以 .11211)1( )2(2111211239。s i n39。lns i n39。 xxxxyy ????? 于是 ?????? ????????? ??? x xxxxx xxxyy x s i nlnc o ss i nlnc o s s i n39。 教學(xué)參考資料 《高等數(shù)學(xué)》，侯風(fēng)波主編，高等教育出版社， 2020. 教學(xué)過程設(shè)計 教學(xué)環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 1. 隱含數(shù)的導(dǎo)數(shù) 一隱含數(shù)的導(dǎo)數(shù) 定義 由 的隱含數(shù)是確定或 xyyxFyxFyxF ),(),(0),( 21 ?? 例 1 求由方程 12 ??? xye yx 確定的隱含數(shù)的導(dǎo)數(shù)).0,0(y? 解 方程兩邊分別對 x 求導(dǎo)，得 yxyye yx ??????? )21(2 解得，xe eyy yx yx ???? ? ?2 22， 所以 2121)0,0( ?????y. 例２ 求曲線 .1164 22 ）處的切線方程，在點（ ???? yxyx 解 因為 64 22 ??? yxyx , 所以 ,兩邊分別對 x 求導(dǎo)得 02)(8 ?????? yyyxyx ,則 yx yxy 28????. 因此在 (1,1)處切線的斜率為 3)1,1( ??? ?yk, 從而 ,所求切線方程為 )1(31 ??? xy ,即 .043 ??? yx 例３ 設(shè) .,21)13( 35 yxxxy ????? 求 解 等式兩邊分別取絕對值后再取對數(shù) ,有 2211ln2113ln35ln ?????? xxxy , 兩邊分別對 x求導(dǎo) ,得 ,2121112113 335 ?????????? xxxyy 所以 , ].)2(2 1)1(2 113 5[21)13( 35 ?????????? xxxxxxy 注 :上述解法求導(dǎo)時可省略取絕對值 . 例４ 設(shè) .),0(2c o s yxxy x ??? 求 解 等式兩邊分別取對數(shù) ,得 ,ln)2(cosln xxy ? 兩邊分別對 x求導(dǎo) ,得x xxxyy 2c o sln)2( s in2 ???? 所以 , )ln2s in22c o s(2c o s xxx xxy x ??? . 2. 參數(shù)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 二 、 參數(shù)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 求導(dǎo)法則 設(shè)由參數(shù)方程 ),()),(().( ),( xfytty tx ????? ?? 確定的函數(shù)為????其中函數(shù) )(),( tt ?? 可導(dǎo)且0)( ??t? , 可導(dǎo)且則函數(shù) )( xfy ? )).,(()( )( ???? ???? tttdxdy 例 5 求擺線 .2().c os1( ),s i n( 時的切線方程為常數(shù)）在 ????? ?? ?? tatay ttax 解 擺線上 ））（的點為（ aat ,222 ?? ?? ,又 2cotcos1 sin tttdxdy ??? 所以 ,所求切線斜率 14cot ?? ?k ,從而所求切線方程為 2 )2( axay ???? ? , 即 02 )4( ???? ayx ? . 導(dǎo)法 二、對數(shù)求導(dǎo)法 由幾個初等函數(shù)能過乘、除、乘方、開方所構(gòu)成的比較復(fù)雜的函數(shù)，冪指函數(shù)()[ ( )]vxy u x? 的求導(dǎo)，在 ()[ ( )]vxy u x? )(xfy? 的兩邊先取對數(shù)，然后利用隱函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)，可簡化求導(dǎo)運算． 例 已知 39。1(1c o s1s in21s in12???? xxxxxx1c o t2)1(1c o s1s i n21s i n1222 ???????， 任務(wù) 1 解 設(shè)在時刻 t 時，氣球的體積與半徑分別為 V 和 r .顯然 34 , ( )3V r r r t??? 所以 V 通過中間變量 r 與時間 t 發(fā)生聯(lián)系，是一個復(fù)合函數(shù) 34 [ ( )]3V r t?? 根據(jù)題意，已知 3100 /dV cm sdt ? ，要求當(dāng) 10r cm? 時 drdt 的值 . 所以得 24 3[ ( )]3d V d rrtd t d t??? 將已知數(shù)據(jù)代人上式得 1 /4dr cm sdt ?? . 案例 2： 若水以 32 /minm 的速度灌入高為 10m ，底面半徑為 5m 的圓錐型水槽中，問當(dāng)水深為 6m 時 水位的上升速度為多少？ 課本習(xí)題 3： 4（ 11） （ 20） 的求導(dǎo) 定理 3 如果單調(diào)連續(xù)函數(shù) )(yx ?? 在點 y 處可導(dǎo)，而且 39。1s i n( l n39。1( s i n1s i n21s i n)39。39。39。( ln39。( s in)39。y . 解 令 uy ln? ， 2vu? ， wv sin? ， xw 1? ，由復(fù)合 函數(shù)求導(dǎo)法則有 xwvuxwvu xwvuwvuyy )39。 任務(wù)描述 任務(wù)一：怎樣求氣球充氣式半徑增加的速度 任務(wù)二：能用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo) 教學(xué)方法 多媒體教學(xué)，案例驅(qū)動 ，提問，啟發(fā)，探討。 (3)掌握一定的計算技巧 . 《高等數(shù)學(xué)》單元課程設(shè)計 11 課 題 導(dǎo)數(shù)的運算 — 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 授課班級 略 上課時間 2學(xué)時 課型 理論課 教學(xué)目標(biāo) 知識目標(biāo) ：掌握復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)求導(dǎo)的運算法則 能力目標(biāo) ：能用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解決生活和建筑工程中與變化率相關(guān)的問題。 xxa rc ??? 習(xí) 課本習(xí)題 3： 1（ 1） （ 10）， 結(jié) (1)熟練記住常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo) 數(shù)公式 。1 1)(arc tan239。1 1)( a r c c o s 239。1 1)( a r c s in 239。c s cc o t)(cs c 39。s ectan)(s ec 39。cs c)(co t 239。sec)(tan 239。sin)(co s 39。cos)(sin 39。1)(ln 39。ln1)(log 39。)( 39。ln)( 39。)( 139。0)( 39。39。39。)39。39。( CuCu ? （ C為常數(shù)）． 說明：定理 1中的（ 1）、（ 2）可推廣到有限個可導(dǎo)函數(shù)的情形．如 設(shè) )(),(),( xwwxvvxuu ??? 均可導(dǎo)，則有 .)( 。 ????????? vv uvvuvu 推論 39。uvvuuv ?? （ 3） ).0(39。)39。( vuvu ??? （ 2） 。39。 教學(xué)參考資料 《高等數(shù)學(xué)》，侯風(fēng)波主編，高等教育出版社， 2020. 教學(xué)過程設(shè)計 教學(xué)環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 和差積商的導(dǎo)數(shù) 定理 1 設(shè)函數(shù) )(),( xvvxuu ?? 在點 x 處可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商（分母不為零）也在 x 處可導(dǎo)，且 （ 1） 。 情感目標(biāo) ：通過實際案例培養(yǎng)學(xué)生勤奮鉆研，求是嚴(yán)謹，積極學(xué)習(xí)的精神。 教學(xué)參考資料 《高等數(shù)學(xué)》，侯風(fēng)波主編，高等教育出版社， 2020. 教學(xué)過程設(shè)計 教學(xué)環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 導(dǎo)入 任務(wù) 。 情感目標(biāo) ：通過實際案例培養(yǎng)學(xué)生勤奮鉆研，求是嚴(yán)謹，積極學(xué)習(xí)的精神。 教學(xué)參考資料 《高等數(shù)學(xué) 》，侯風(fēng)波主編，高等教育出版社， 2020. 教學(xué)過程設(shè)計 教學(xué)環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 一、知識要點 一、知識要點 函數(shù)的極限，左極限，右極限，數(shù)列的極限，無窮小量，無窮大量，等價無窮小，在一點連續(xù)，連續(xù)函數(shù)，間斷點，第一類間斷點（可去間斷點，跳躍間斷點），第二類間斷點 . (1) 1sinlim0 ?? 口口口， (2) e)11(lim0 ??? 口口 口(口 代表同一 變量 ). 方法 ⑴ 利用函數(shù)的連續(xù)性求極限； ⑵ 利用四則運算法則求極限； ⑶ 利用兩個重要極限求極限； ⑷ 利用無窮小替換定理求極限； ⑸ 利用分子、分母消去共同的非零公因子求 00 形式的極限； ⑹ 利用分子，分母同除以自變量的最高次冪求 ?? 形式的極限； ⑺ 利用連續(xù)函數(shù)的函數(shù)符號與極限符號可交換次序的特性求極限； ⑻ 利用“無窮小與有界函數(shù)之積仍為無窮小量”求極限 . 左右極限與極限的關(guān)系， 單調(diào)有界原理，夾逼準(zhǔn)則，極限的惟一性，極限的保號性，極限的四則運算法則，極限與無窮小的關(guān)系，無窮小的運算性質(zhì)，無窮小的替換定理，無窮小與無窮大的關(guān)系，初等函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) . 二、例題精解 二、例題精解 例 1 求下列極限 : (1) ))( c o ss in(limta n2224πxx xxx ???； (2) 1)12 32(lim ??? ?? xx xx (3) 3111lim xxx ??? (4) )1s ins in(lim0 xxxxx ???； (5) )2s in (lim xxx ????? ； (6) xxxx 1sin53lim2???. 解 (1)由于討論函數(shù) xxxxxf ta n222 )( c o ss in)( ??? 在 4π?x 處有定義，而且在 4π?x 處 連 續(xù) ， 所 以 有])( c o ss in[lim ta n2224πxx xxx ???4πta n222 )4π( c o s)4π( s in)4π( ???222 )22()22(16π ??? 116π2 ?? ． (2) 123lim ( )21xxxx ????? 12 1 2lim ( )21 xxx x ?????? ? 12lim (1 )21xx x ????? ? （這是 ?1 型，設(shè)法將其化為 口口 ）口（ 11lim ??? ） 11221lim (1 )12xx x???????2121 )2111(lim)2111(lim ?????? ????? xx xxx 212121 )]2111(lim[)2111(lim ????? ?????? xx xxx211e?? e? ． (3) 311lim1xxx??? 23323 3 31(1 ) (1 ) 1 ( )l im(1 ) 1 ( ) (1 )xx x x xx x x x???? ? ? ??????? ? ? ??? 2331(1 ) 1 ( )l i m(1 )( 1 )xx x xxx???? ? ?????? 23311 ( )lim 1xxxx???? ? 32? ． (4) )1s ins in(lim0 xxxxx ??? xxxxxx1s inlims inlim00 ?? ?? ??01?? 1? ． （ 5）、（ 6）解略。 解 所給函數(shù)是初等函數(shù)，但它在 0?x 處無定義，故不能直接應(yīng)用定理 3．易判斷這是一個“ 00 ” 型的極限問題．經(jīng)過分子有理化，可得到一個在 0?x 處的連續(xù)函數(shù)，再計算極限，即 ???? xxx 11lim0 ? ? ???? 11lim0 xx xx 21101 111 1lim 0 ??????? xx 4 初等函數(shù) 的 連續(xù) 性 定理 基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的．一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的． 最大值