【正文】 和最小值存在定 理 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一定能取得最大值和最小值． 根的存在定理 設(shè) )(xf 為閉區(qū)間 ? ?ba, 上的連續(xù)函數(shù)，且 )()( bfaf 與 異號(hào)，則至少存在一點(diǎn) ),( ba?? ，使得 0)( ??f ． 介值定理 設(shè) )(xf 是閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù)函數(shù)，且 )()( bfaf ? ，則對(duì)介于)()( bfaf 與 之間的任意一個(gè)數(shù) ? ，則至少存在一點(diǎn) ),( ba?? ???)(f ． 判斷函數(shù)連續(xù)性的方法 由于初等函數(shù)在它的定義區(qū)間內(nèi)總是連續(xù)，所以函數(shù)的連續(xù)性討論多指分段函數(shù)在分段處的連續(xù)性． 小結(jié) 、區(qū)間連續(xù)性定義及判定條件； ； ； 點(diǎn)與判定方法； 。 例 1 討論函數(shù) 2)( 2 ?? xxf 在 2?x 處的連續(xù)性． 解 ? ? 62lim)(lim 222 ??? ?? xxf xx，而 6)2( ?f ，即 )2()(lim2 fxfx ??．因此，函數(shù) 2)( 2 ?? xxf 在 2?x 處連續(xù)． 例 2. 討論函數(shù)?????????.2,s in,2,c o s1)( ??xxxxxf 在點(diǎn) 2??x 的連續(xù)性． 解 這是一個(gè)分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性問(wèn)題．由于 )(xf 在點(diǎn) 2??x 的左、右兩側(cè)表達(dá)式不同，所以先討論函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 2??x 的左、右連續(xù)性． 因?yàn)? ? ? ???????????? ???? 212co s1co s1l i m)(l i m22???? fxxf xx， ?????????? ???? 212s i ns i nl im)(l im22???? fxxf xx， 所以 )(xf 在點(diǎn) 2??x 左、右連續(xù)，因此 )(xf 在點(diǎn) 2??x 連續(xù)． 例 ： ? ? 11lim)(lim00 ???? ?? ?? xxf xx， 0lim)(lim 300 ?? ?? ?? xxf xx． 雖然當(dāng) 0?x 時(shí)的左、右極限都存在，但當(dāng) 0?x 時(shí)，函數(shù) )(xf 并不趨近于某一個(gè)確定的常數(shù)，因而當(dāng) 0?x 時(shí) )(xf 的極限不存在，故函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0?x不連續(xù)． 討論函數(shù)??? ???? .0, ,0,1)( 3 xx xxxf在點(diǎn) 0?x 的連續(xù)性． 解 作出它的圖象（如下圖所示）， y 1 O 1 x 1 2 小結(jié) 、區(qū)間連續(xù)性定義及判定條件； 習(xí)題 2： 10 （ 1） （ 2） 《高等數(shù)學(xué)》單元課程設(shè)計(jì) 7 課 題 函數(shù)的連續(xù)性 間斷點(diǎn) 授課班級(jí) 略 上課時(shí)間 2學(xué) 時(shí) 課型 理論課 教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)目標(biāo) ：理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念，會(huì)判斷間斷點(diǎn)的類型，了解初等函數(shù)的連續(xù)性 能力目標(biāo) ：能用連續(xù)的定義描述專業(yè)現(xiàn)象的特征 情感目標(biāo) ：通過(guò)實(shí)際案例引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)思想融入實(shí)際生活中 任務(wù)描述 任務(wù)一： 會(huì)判斷函數(shù)間斷點(diǎn)的類型 任務(wù)二：會(huì)利用函數(shù)的連續(xù)性求極限 教學(xué)方法 多媒體教學(xué)，案例驅(qū)動(dòng)，提問(wèn)，啟發(fā)，探討。本節(jié)將運(yùn)用極限概念對(duì)它加以描述和研究， 案例 1某日氣溫變化 案例 2小孩個(gè)子的長(zhǎng)高 2 函數(shù)在 一 點(diǎn)連 續(xù) 的概念 定義１ 設(shè)函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，若當(dāng)自變量的增量0xxx ??? 趨于零時(shí)，對(duì) 應(yīng)的函數(shù)增量也趨于零，即 ? ? 0)()(limlim0000 ?????? ???? xfxxfy xx， 則稱函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 處連續(xù)，或稱 0x 是 )(xf 的一個(gè)連續(xù)點(diǎn)． 定義２ 若 )()(lim00 xfxfxx ??，則稱函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 處連續(xù)． ② 左右連 續(xù)的概念 若 )()(lim00 xfxfxx ???，則稱函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 處左連續(xù)；若 )()(lim00 xfxfxx ???，則稱函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 處右連續(xù)． ⑵ 函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的充分必要條件 函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 處連續(xù)的充分必要條件是 )(xf 在點(diǎn) 0x 處既左連續(xù)又右連續(xù)． 由此可知，函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 處連續(xù)，必須同時(shí)滿足以下三個(gè)條件： ① 函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 的某鄰域內(nèi)有定義， ② )(lim0 xfxx?存在， ③ 這個(gè)極限等于函數(shù)值 )(0xf ． ⑶ 函數(shù)在 區(qū)間上連續(xù)的概念 在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)，稱為在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，或者說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上連 續(xù)，該區(qū)間也稱為函數(shù)的連續(xù)區(qū)間．如果連續(xù)區(qū)間包括端點(diǎn)，那么函數(shù)在右端點(diǎn)連續(xù)是指左連續(xù)，在左端點(diǎn)連續(xù)是指右連續(xù)． 說(shuō)明： （ 1） 點(diǎn)連續(xù)性的兩個(gè)定義本質(zhì)相同，只是敘述的角度不同。 教學(xué)參考資料 《高等數(shù)學(xué)》，侯風(fēng)波主編，高等教育出版社， 2020. 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì) 教學(xué)環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 1案例分析導(dǎo)入課題 連續(xù)性是函數(shù)的重要性態(tài)之一。 2. 求下列極限：（強(qiáng)調(diào)與其它方法的綜合運(yùn)用） （ 1） 211limxxx ?????? ???； （ 2） ? ?20lim 1xx x? ?； （ 3） x xx )1ln(0lim ?? ； （ 4） xxex10lim??； （ 5） ? ? 10lim 1 2xx x? ? 。 任務(wù) 1的解決： = n n n ) 05 . 0 1 ( 1000 lim ? ? ? 結(jié)論： 計(jì)算結(jié)果說(shuō)明隨著結(jié)算次數(shù)的無(wú)限增加，一年后該儲(chǔ)戶在銀行的存錢(qián)不會(huì)無(wú)限變大，該儲(chǔ)戶一年本息和最多不超過(guò) 1052美元。 要極限 2 第二個(gè)重要極限： ex xx ???? )11(lim 即 ??5 9 0 4 57 1 8 2 8 1 8 2 8 )11(lim ????? en nx 注意： 1：我們可證明： enx nnxx ???? ???? )11(lim)1(lim 1 ， 2：指數(shù)函數(shù) xey? 及自然對(duì)數(shù) xy ln? 中的底就是這個(gè)常數(shù) e 。 【例 3】 3113c o s13 3s in3lim3t a nlim00 ??????? ?? xx xx x xx。 （ 2）應(yīng)用時(shí)要保證極限中的 0?x 、 xsin 和分母 x 三者中的 x 形式一致 （ 3）對(duì)于此極限要求掌握它的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和應(yīng)用，它的證明只是了解 任務(wù) 2：求下列極限 【例 1】 1s in1lims inlims inlim 00a r c s i n0 ??? ????ttttx xc ttxtx令 。 第二天后儲(chǔ)戶本息共計(jì)： 2)(1000 ? ， ?? 則一年后 儲(chǔ)戶本息共計(jì)： 365)(1000 ? 一般地，若該儲(chǔ)戶等間隔地結(jié)算 n次，則有一年后本息共計(jì)： nn )(1000 ? 于是，可以得到如果儲(chǔ)戶等間隔地結(jié)算 n次，一年后本息共計(jì)的一個(gè)函數(shù)： nnns )(1000)( ?? 隨著結(jié)算次數(shù)的無(wú)限增加，有 ??n ,故一年后本息共計(jì)： nn n )(1000lim ??? 怎樣計(jì)算上述極限？引入課題 . 0sinlimxxx? ?？， 1lim (1 )xx x?? ??？ 要極限 1 1. 第一個(gè)重要極限： 1sinlim0 ?? x xx 下面將證明第一個(gè)重要極限： 1sinlim0 ?? x xx。如果銀行允許儲(chǔ)戶在一年內(nèi)可任意次結(jié)算，在不計(jì)利息稅的情況下，若儲(chǔ)戶等間隔的地結(jié)算 n次，每次結(jié)算后將 本息全部存入銀行，問(wèn) 1) 隨著結(jié)算次數(shù)的增多，一年后該儲(chǔ)戶的本息和是否也在增多？ 2) 隨著結(jié)算次數(shù)的無(wú)限增加，一年后該儲(chǔ)戶在銀行的存錢(qián)是否會(huì)無(wú)限變大？ 案例 分析 若該儲(chǔ)戶每月結(jié)算一次，則每月利率為： 故第一個(gè)月后儲(chǔ)戶本息共計(jì)： )(1000 ? 。如果年利率一定，但銀行可以在一年內(nèi)多次付給儲(chǔ)戶利息，比如按月付息、按天付息等。 解：當(dāng) ??n 時(shí)，這是無(wú)窮多項(xiàng)相加，故不能用定理 1，先變形： 原式 212 1l i m2 )1(1l i m)21(1l i m22 ?????????? ?????? nnnnnnn nnn ?? 堂練習(xí) 課本習(xí) 題 2： 1（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）（ 5）（ 6）， 2. 時(shí)小結(jié) 1. 函數(shù)極限的運(yùn)算法則及其應(yīng)用； 2. 綜合應(yīng)用極限的運(yùn)算法則計(jì)算函數(shù)極限的方法 業(yè)題 課本習(xí)題 3： 1（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）（ 5）（ 6） 《高等數(shù)學(xué)》單元課程設(shè)計(jì) 5 課 題 極限（三） 授課班級(jí) 略 上課時(shí)間 2學(xué)時(shí) 課型 理論課 教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)目標(biāo) ：會(huì)用兩個(gè)重要極限求極限，會(huì)無(wú)窮小的比較 能力目標(biāo) ：能用極限的概念分析實(shí)際問(wèn)題 情感目標(biāo) ：通過(guò)實(shí)際案例培養(yǎng)學(xué)生勤奮鉆研，嚴(yán)謹(jǐn)求是的作風(fēng) 任務(wù)描述 任務(wù)一： 會(huì)計(jì)算連續(xù)利率問(wèn)題 任務(wù)二：會(huì)利用兩個(gè)重要極限求極限 教學(xué)方 多媒體教學(xué)，案例驅(qū)動(dòng)，提問(wèn)，啟發(fā)，探討。 證明：當(dāng) ??x 時(shí)，分子、分母極限均不存在，故不能用167。 【例 8】若 3)1s in(lim 221 ????? xbaxxx，求 a,b的值。 【例 7】求 2lim 22 ?? xxx。 【例 6】求 )1311(lim31 ????? xxx。 【例 5】求 32 2lim221 ????? xxxxx。 【例 4】 3300 9070397lim53530 ?????????? ??? xxxxx（因?yàn)?03005 ??? ）。 推論 2：設(shè) )(),( xQxP 均為多項(xiàng)式，且 0)( 0 ?xQ ，則)( )()( )(lim 000 xQ xPxQ xPxx ??。 【例 2】 nnxxnxx xxx 0]lim[lim 00 ?? ??。 注：以上定理對(duì)數(shù)列亦成立。 推論 2： nn xfxf )]([lim)](lim [ ? （ n 為正整數(shù)）。 定理 2：若 BxgAxf ?? )(lim,)(lim ，則 )()(lim xgxf ? 存在，且 )(lim)(lim)()(lim xgxfABxgxf ???。 定理 1：若 BxgAxf ?? )(lim,)(lim ，則 )]()(lim[ xgxf ? 存在，且)(lim)(lim)]()(l i m[ xgxfBAxgxf ????? 。 鞏固知識(shí)，明確要求，整理知識(shí)結(jié)構(gòu)與思想方法，培養(yǎng)學(xué)生 的組織能力，形成完整的知識(shí)體系 . 8作業(yè) 課本習(xí)題 結(jié)合本專業(yè)特點(diǎn)，達(dá)到理解概念，培養(yǎng)能力，發(fā)展學(xué)生面對(duì)實(shí)際問(wèn)題，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，解決問(wèn)題的應(yīng)用意識(shí) . 《高等數(shù)學(xué)》單元課程設(shè)計(jì) 4 課 題 極限（二） 授課班級(jí) 略 上課時(shí)間 2學(xué)時(shí) 課型 理論課 教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)目標(biāo) ：掌握極限的四則運(yùn)算法則 能力目標(biāo) ：具有用極限思想分析問(wèn)題的意識(shí)，感知極限與生活的緊密聯(lián)系 情感目標(biāo) ：通過(guò)實(shí)際案例引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)思想融入實(shí)際生活中 任務(wù)描述 任務(wù)一： 對(duì)某種電子產(chǎn)品的銷售作出預(yù)測(cè) 任務(wù)二：運(yùn)用極限的四則運(yùn)算法則求極限 教學(xué)方法 多媒體教學(xué)，案例驅(qū)動(dòng)，提問(wèn)，啟發(fā)，探討。 鞏固知識(shí)，明確要求，整理知識(shí)結(jié)構(gòu)與思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的組織能力，形成完整的知識(shí)體系 . 課本習(xí)題、教學(xué)案例 結(jié)合本專業(yè)特點(diǎn)，達(dá)到理解概念，培養(yǎng)能力，發(fā)展學(xué)生面對(duì)實(shí)際問(wèn)題，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，解決問(wèn)題的應(yīng)用意識(shí) . 《高等數(shù)學(xué)》單元課程設(shè)計(jì) 3 課 題 極限（一） 授課班級(jí) 略 上課時(shí)間 2學(xué)時(shí) 課型 理論課 教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)目標(biāo) ：了 解函數(shù)極限的描述性定義 能力目標(biāo) ：具有用極限思想分析問(wèn)題的意識(shí)，感知極限與生活的緊密聯(lián)系 情感目標(biāo) ：通過(guò)實(shí)際