【正文】 xpipx iiii?????2211),2,1()( ???(2) 需求函數(shù)的求解 ??????????rxpxpxpixp iiii?????2211),2,1()( ???),2,1()(),(),2,1()()(111???????????????????? ????ipprrpxiprpxpprxpiiiiiiiiiiiiiiii???????????? 解的意義 ： p? 是消費(fèi)者必需的最小支出， pi ? i 是消費(fèi)者要花費(fèi)在商品 i 上的最小支出。 需求完全由邊際方程唯一確定： x = ?( p, r) (( p, r)???)。這個(gè)問(wèn)題中，消費(fèi)集合 ，價(jià)格收入空間為： 假定消費(fèi)者具有 CobbDouglass形式的效用函數(shù)： 這種效用函數(shù)表示的消費(fèi)者偏好是連續(xù)的、無(wú)滿(mǎn)足的、內(nèi)部嚴(yán)格凸的，并且滿(mǎn)足假設(shè) HU 和邊界最差假設(shè)。假設(shè)商品 i 的最低消費(fèi)量為 ? i (i = 1,2,?,?)，則向量 ? = ( ? 1, ? 2,?, ? ?) 代表 生活基本需要 。 (3) 移動(dòng)通訊需求的上半連續(xù)性和非下半連續(xù)性 ? 移動(dòng)通訊消費(fèi)者明顯地滿(mǎn)足需求上半連續(xù)性定理的條件，因此移動(dòng)通訊需求集映 D( p, r)是上半連續(xù)的。小靈通公司正是看到了這一特點(diǎn)，在 2020年果斷采取降價(jià)策略，在中國(guó)移動(dòng)通訊市場(chǎng)上一舉獲得成功。這樣，無(wú)差異曲線(xiàn)為直線(xiàn)： x1 + x2 = U (0 ? U ?) 通話(huà)向量 x = (x1, x2) 的話(huà)費(fèi)為： px = p1x1 + p2 x2 預(yù)算集合為： ? ( p, r) = {x?X : px ? r} 下面來(lái)找出 ? ( p, r)中所有最好的通話(huà)向量，即確定移動(dòng)通訊需求 D( p, r)。 這樣，平面上的向量 x = (x1, x2) 表示著消費(fèi)者的通話(huà)選擇：使用網(wǎng)絡(luò) A通話(huà) x1分鐘，使用網(wǎng)絡(luò) B通話(huà) x2分鐘。 p2：公司 B的話(huà)費(fèi) (元 /分種 )。 例 1. 移動(dòng)通訊需求 ? ? 信息技術(shù)的發(fā)展讓移動(dòng)通訊業(yè)在全球迅速興盛起來(lái)，尤其在中國(guó)，手機(jī)的使用已經(jīng)比較普遍，移動(dòng)通訊需求相當(dāng)旺盛，移動(dòng)通訊業(yè)的競(jìng)爭(zhēng)也迅速展開(kāi)。沒(méi)有預(yù)算連續(xù)性，就很難保證當(dāng)價(jià)格和收入變化很小時(shí)，需求變化也很小。 ? 需求上半連續(xù)性 ： 設(shè)消費(fèi)集合 是下有界非空閉凸子集，偏好關(guān)系 ? 連續(xù)。 若考慮效用最大化的二階條件，則又將看到，二階條件決定了可微的需求函數(shù)。 根據(jù)效用最大化理論，理性消費(fèi)者 (X , ?) 的需求是明確的、實(shí)在的： (?( p, r)??)( D( p, r) = {x?? ( p, r): (?y?? ( p, r))( y ? x)} ? ? )。但若基于偏好的需求與現(xiàn)實(shí)需求之間差別很大，尤其是兩種需求在性能上差異很大的話(huà)，那么基于偏好的需求就失去了意義。然而現(xiàn)實(shí)的需求是實(shí)實(shí)在在的東西，看得見(jiàn)、摸得著。比如，你只需觀察家庭主婦在超市或商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)的東西，很快就知道她的需求是什么。本講就來(lái)研究基于偏好的需求的性能，看看它是否符合現(xiàn)實(shí)需求的特點(diǎn)。這樣的需求可以通過(guò)邊際方程加以確定，即對(duì)任何 ( p, r)??，都有： (?x?X ?)( (x?D( p, r)) ? (?? 0)((u?(x) = ? p)?( px = r)) ) 將會(huì)看到，如此決定的 需求集映 D : ??X 是上半連續(xù)的。需求函數(shù)的可微性是通常分析需求規(guī)律時(shí)，必不可少的一個(gè)前提。則需求 D: ? ? X 是上半連續(xù)的閉集值集映，并且還是對(duì)應(yīng) 。預(yù)算連續(xù)性通過(guò)預(yù)算集映 ? : ?? X 來(lái)表達(dá)。我們來(lái)分析一下移動(dòng)通訊市場(chǎng)的需求情況。 x1：消費(fèi)者使用公司 A的網(wǎng)絡(luò)通話(huà)的時(shí)間 (分鐘 )。這樣，消費(fèi)者的消費(fèi)集合便為 。為此，對(duì)任何 ( p, r)??，可按照 p1 p p1 p p1 = p2 三種情形分別討論。 r/p2 x1 r/p1 px = r D( p, r) (1) p1 p2的情形 (2) p1 p2的情形 (3) p1= p2的情形 ??? ??????????????? RRrppprpxXxppprppprrpD 221211212),( a l lf or if},:{ if) } ,0,{( if) } ,0{(),(通話(huà)時(shí)間 越多越好 ? ( p, r) ? ( p, r) 通話(huà)時(shí)間 越多越好 通話(huà)時(shí)間 越多越好 D( p, r) D( p, r) x1 x1 x2 x2 x2 r/p2 r/p2 r/p1 r/p1 o o o ? ( p, r) r/p2 為此，任意給定收入 r 0和價(jià)格 ，選一個(gè)開(kāi)球 V使得 。但它不是下半連續(xù)的，這一事實(shí)的證明思路是去證明在 p1 = p2 0 的地方 D( p, r)不下半連續(xù)。當(dāng)收入用于支付生活必需后還有剩余時(shí)，為了得到更大的滿(mǎn)足，需要進(jìn)行更多的消費(fèi)。因此，消費(fèi)者均衡必然在消費(fèi)集合內(nèi)部實(shí)現(xiàn)。用效用 函數(shù) u(x)寫(xiě)出邊際方程 ： ，故 邊際方程為 。上式說(shuō)明 , 消費(fèi)者把剩余收入 r ? p? 按照比例 ? i 用于增加商品 i 的消費(fèi)量。 (二 ) 二階條件決定可微需求 現(xiàn)在，我們來(lái)考察效用最大化的 二階條件。 ? ? ???????? )()( xuxu hk0)()( 1, ?? ????? ?? kh khhkT zzxuzxuz)}(:{}0)(:{)( xTyxyxuzRzx ???????? ?1. 二階充分條件：效用函數(shù)強(qiáng)擬凹 二階必要條件并不充分，但若將其中的 “ 半負(fù)定 ” 改換成 “ 負(fù)定 ” ，則可得到效用最大化的 二階充分條件 ： ? 強(qiáng)擬凹性的定 義 設(shè)效用函數(shù) u(x) 二階可微。 這一事實(shí)的證明留作練習(xí)。則 u(x)強(qiáng)擬凹 當(dāng)且僅當(dāng) u(x)在 X 內(nèi)部嚴(yán)格擬凹并且對(duì)任何 x?X ?，加邊海森矩陣 H(u(x))都可逆。 r? px = 0” 唯一確定了需求映射 x = ?( p, r) 并且 ?( p, r) 連續(xù)，即需求函數(shù) 是邊際方程確定的隱函數(shù)。 ???????????????????????????????????????0)(1)(1)(0)(),(),(),(212211xuxuxuppxuxxxpxrpupupuxTT????????????JJ可見(jiàn)，只要 u強(qiáng)擬凹， J(x, ?)就可逆，從而有下面的可微性定理。把 x = ? ( p, r)代入邊際方程，即得到恒等式： 其中 ? = ?( p, r) 為拉格朗日乘數(shù)。因此， 基本矩陣方程左邊的矩陣為： 于是 ，從而 ，即 。 2. Slutsky’s Equation ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????rpxzrzpxzrpxzzxzrpxzzxzrpxEzzrpxEppxuxTTTTTTTTdd)(dd)(dddddd10dd100)(dd1??????????????SSZZ?????????rpzxrzpxzx TTdd)(ddd)(d????S 斯勒茨基方程表明了價(jià)格與收入變動(dòng)引起的需求變動(dòng)情況： 此公式叫做 需求變動(dòng)的 微分公式 。這是為什么呢？其實(shí)，這種需求變動(dòng)一方面來(lái)自于實(shí)際收入水平變化引起的收入效應(yīng)，另一方面來(lái)商品替代而產(chǎn)生的替代效應(yīng)。 1. 微分公式揭示的收入效應(yīng) 微分公式表達(dá)著價(jià)格與收入變動(dòng)的總效應(yīng)。 注意 , ?x /?r表示 收入增加一單位所引起的需求增加量 ，而實(shí)際收入變動(dòng)為 dr – xdp，故二者之積表示純粹由實(shí)際收入水平變動(dòng)引起的需求變動(dòng)量 ——收入效應(yīng) 。 在研究收入效應(yīng)時(shí)，人們更加關(guān)注價(jià)格變動(dòng)的收入效應(yīng)。 鑒于此，我們把 系數(shù) ? hk = ? xk ?xh /?r = ? zh xk 叫做 商品 h 對(duì) k 的 (價(jià)格 )收入效應(yīng)系數(shù) 。 還可進(jìn)一步解釋 Sdp 為什么就是替代效應(yīng)。 特別是，在商品 k的價(jià)格發(fā)生變動(dòng) dpk而其余商品價(jià)格不變的情況下，給消費(fèi)者進(jìn)行收入補(bǔ)償以使實(shí)際收入水平不變，則商品 h 的需求變動(dòng)為 dxh = shkdpk。結(jié)果，在實(shí)際收入不變的情況下，商品 k的價(jià)格上升一單位所引起的商品 h的需求增加量總共為 ?xh /?pk + xk ?xh /?r，而這一增加量本該就是 shk。注意 S的定義 S = ? Z及 Z的定義： 我們有： 。 ?????? ??????????????????? ????????? TTTTTTpzppzxuzpxuzzppxuEZZZ ??)()(0)(1001amp。 因此，商品替代的相互性蘊(yùn)含著替代效應(yīng)的對(duì)稱(chēng)性意義。由此可得： shh ? 0 表明，若 一種商品漲價(jià)而其余商品的價(jià)格不變 , 那么在收入得到彌補(bǔ)使得漲價(jià)并沒(méi)有改變實(shí)際收入水平的情況下，消費(fèi)者不會(huì)增加對(duì)該商品的消費(fèi)，反而倒是更可能要減少該商品的消費(fèi)。 2. 替代矩陣的半負(fù)定與需求變動(dòng)的反向性 ?需求法則 任何一種商品的價(jià)格變動(dòng)對(duì)該商品自己的替代效應(yīng)都非正，即 shh ? 0 (h = 1,2, ?,?)， 從而正常商品的需求必然服從需求法則，即正常商品的需求量與該商品的價(jià)格反向變動(dòng)，用公式表達(dá)，即 ?xh??ph = shh ? xh ?xh??r 0， 其中 h 為正常商品 (即 ?xh /?r 0)。因此， S 是奇異矩陣。 ? 低檔商品 ： 當(dāng)商品 h 的收入效應(yīng)系數(shù) ?xh??r ? 0時(shí) ， 則稱(chēng) h為 低檔商品 。 當(dāng) shh xh ?xh??r時(shí)，替代效應(yīng)絕對(duì)值小于收入效應(yīng)絕對(duì)值，從而?xh??ph 0。其實(shí)，這種判別方法不夠準(zhǔn)確。 這說(shuō)明，當(dāng)商品 k的價(jià)格上升時(shí)， 替代性支出 (即 shkph 0的那些項(xiàng)之和 )不低于 互補(bǔ)性支出 (即 shkph 0 的那些項(xiàng)之和 )。因此，需要探討這個(gè)等式的其他含義，我們借助間接效用函數(shù) 來(lái)討論。 進(jìn)一步，若讓 dp = 0，則 。 1. 羅伊恒等式 rpxpxru dd)dd(d ??? ??????????????????????rrpuhxprpuhh),(),2,1(),(??這樣，便可得到一個(gè)恒等式，稱(chēng)為 羅伊恒等式 (Roy’s identity)： 0),(),( ?????? r rpuxp rpu hhhpu ??rux h ??2. 替代效應(yīng)與收入效應(yīng)的直觀意義 x