【正文】 xpipx iiii?????2211),2,1()( ???(2) 需求函數(shù)的求解 ??????????rxpxpxpixp iiii?????2211),2,1()( ???),2,1()(),(),2,1()()(111???????????????????? ????ipprrpxiprpxpprxpiiiiiiiiiiiiiiii???????????? 解的意義 ： p? 是消費者必需的最小支出， pi ? i 是消費者要花費在商品 i 上的最小支出。 需求完全由邊際方程唯一確定： x = ?( p, r) (( p, r)???)。這個問題中，消費集合 ，價格收入空間為： 假定消費者具有 CobbDouglass形式的效用函數(shù)： 這種效用函數(shù)表示的消費者偏好是連續(xù)的、無滿足的、內(nèi)部嚴格凸的，并且滿足假設 HU 和邊界最差假設。假設商品 i 的最低消費量為 ? i (i = 1,2,?,?)，則向量 ? = ( ? 1, ? 2,?, ? ?) 代表 生活基本需要 。 (3) 移動通訊需求的上半連續(xù)性和非下半連續(xù)性 ? 移動通訊消費者明顯地滿足需求上半連續(xù)性定理的條件，因此移動通訊需求集映 D( p, r)是上半連續(xù)的。小靈通公司正是看到了這一特點，在 2020年果斷采取降價策略，在中國移動通訊市場上一舉獲得成功。這樣，無差異曲線為直線： x1 + x2 = U (0 ? U ?) 通話向量 x = (x1, x2) 的話費為： px = p1x1 + p2 x2 預算集合為： ? ( p, r) = {x?X : px ? r} 下面來找出 ? ( p, r)中所有最好的通話向量，即確定移動通訊需求 D( p, r)。 這樣，平面上的向量 x = (x1, x2) 表示著消費者的通話選擇：使用網(wǎng)絡 A通話 x1分鐘，使用網(wǎng)絡 B通話 x2分鐘。 p2：公司 B的話費 (元 /分種 )。 例 1. 移動通訊需求 ? ? 信息技術(shù)的發(fā)展讓移動通訊業(yè)在全球迅速興盛起來，尤其在中國，手機的使用已經(jīng)比較普遍，移動通訊需求相當旺盛，移動通訊業(yè)的競爭也迅速展開。沒有預算連續(xù)性，就很難保證當價格和收入變化很小時，需求變化也很小。 ? 需求上半連續(xù)性 ： 設消費集合 是下有界非空閉凸子集，偏好關系 ? 連續(xù)。 若考慮效用最大化的二階條件，則又將看到，二階條件決定了可微的需求函數(shù)。 根據(jù)效用最大化理論，理性消費者 (X , ?) 的需求是明確的、實在的： (?( p, r)??)( D( p, r) = {x?? ( p, r): (?y?? ( p, r))( y ? x)} ? ? )。但若基于偏好的需求與現(xiàn)實需求之間差別很大，尤其是兩種需求在性能上差異很大的話，那么基于偏好的需求就失去了意義。然而現(xiàn)實的需求是實實在在的東西，看得見、摸得著。比如，你只需觀察家庭主婦在超市或商場購買的東西，很快就知道她的需求是什么。本講就來研究基于偏好的需求的性能，看看它是否符合現(xiàn)實需求的特點。這樣的需求可以通過邊際方程加以確定，即對任何 ( p, r)??，都有： (?x?X ?)( (x?D( p, r)) ? (?? 0)((u?(x) = ? p)?( px = r)) ) 將會看到，如此決定的 需求集映 D : ??X 是上半連續(xù)的。需求函數(shù)的可微性是通常分析需求規(guī)律時，必不可少的一個前提。則需求 D: ? ? X 是上半連續(xù)的閉集值集映，并且還是對應 。預算連續(xù)性通過預算集映 ? : ?? X 來表達。我們來分析一下移動通訊市場的需求情況。 x1：消費者使用公司 A的網(wǎng)絡通話的時間 (分鐘 )。這樣，消費者的消費集合便為 。為此，對任何 ( p, r)??，可按照 p1 p p1 p p1 = p2 三種情形分別討論。 r/p2 x1 r/p1 px = r D( p, r) (1) p1 p2的情形 (2) p1 p2的情形 (3) p1= p2的情形 ??? ??????????????? RRrppprpxXxppprppprrpD 221211212),( a l lf or if},:{ if) } ,0,{( if) } ,0{(),(通話時間 越多越好 ? ( p, r) ? ( p, r) 通話時間 越多越好 通話時間 越多越好 D( p, r) D( p, r) x1 x1 x2 x2 x2 r/p2 r/p2 r/p1 r/p1 o o o ? ( p, r) r/p2 為此，任意給定收入 r 0和價格 ，選一個開球 V使得 。但它不是下半連續(xù)的，這一事實的證明思路是去證明在 p1 = p2 0 的地方 D( p, r)不下半連續(xù)。當收入用于支付生活必需后還有剩余時，為了得到更大的滿足，需要進行更多的消費。因此，消費者均衡必然在消費集合內(nèi)部實現(xiàn)。用效用 函數(shù) u(x)寫出邊際方程 ： ，故 邊際方程為 。上式說明 , 消費者把剩余收入 r ? p? 按照比例 ? i 用于增加商品 i 的消費量。 (二 ) 二階條件決定可微需求 現(xiàn)在，我們來考察效用最大化的 二階條件。 ? ? ???????? )()( xuxu hk0)()( 1, ?? ????? ?? kh khhkT zzxuzxuz)}(:{}0)(:{)( xTyxyxuzRzx ???????? ?1. 二階充分條件：效用函數(shù)強擬凹 二階必要條件并不充分，但若將其中的 “ 半負定 ” 改換成 “ 負定 ” ，則可得到效用最大化的 二階充分條件 ： ? 強擬凹性的定 義 設效用函數(shù) u(x) 二階可微。 這一事實的證明留作練習。則 u(x)強擬凹 當且僅當 u(x)在 X 內(nèi)部嚴格擬凹并且對任何 x?X ?，加邊海森矩陣 H(u(x))都可逆。 r? px = 0” 唯一確定了需求映射 x = ?( p, r) 并且 ?( p, r) 連續(xù)，即需求函數(shù) 是邊際方程確定的隱函數(shù)。 ???????????????????????????????????????0)(1)(1)(0)(),(),(),(212211xuxuxuppxuxxxpxrpupupuxTT????????????JJ可見，只要 u強擬凹， J(x, ?)就可逆，從而有下面的可微性定理。把 x = ? ( p, r)代入邊際方程，即得到恒等式： 其中 ? = ?( p, r) 為拉格朗日乘數(shù)。因此， 基本矩陣方程左邊的矩陣為： 于是 ，從而 ，即 。 2. Slutsky’s Equation ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ?????????????rpxzrzpxzrpxzzxzrpxzzxzrpxEzzrpxEppxuxTTTTTTTTdd)(dd)(dddddd10dd100)(dd1??????????????SSZZ?????????rpzxrzpxzx TTdd)(ddd)(d????S 斯勒茨基方程表明了價格與收入變動引起的需求變動情況： 此公式叫做 需求變動的 微分公式 。這是為什么呢？其實，這種需求變動一方面來自于實際收入水平變化引起的收入效應，另一方面來商品替代而產(chǎn)生的替代效應。 1. 微分公式揭示的收入效應 微分公式表達著價格與收入變動的總效應。 注意 , ?x /?r表示 收入增加一單位所引起的需求增加量 ，而實際收入變動為 dr – xdp，故二者之積表示純粹由實際收入水平變動引起的需求變動量 ——收入效應 。 在研究收入效應時，人們更加關注價格變動的收入效應。 鑒于此，我們把 系數(shù) ? hk = ? xk ?xh /?r = ? zh xk 叫做 商品 h 對 k 的 (價格 )收入效應系數(shù) 。 還可進一步解釋 Sdp 為什么就是替代效應。 特別是，在商品 k的價格發(fā)生變動 dpk而其余商品價格不變的情況下，給消費者進行收入補償以使實際收入水平不變，則商品 h 的需求變動為 dxh = shkdpk。結(jié)果，在實際收入不變的情況下，商品 k的價格上升一單位所引起的商品 h的需求增加量總共為 ?xh /?pk + xk ?xh /?r，而這一增加量本該就是 shk。注意 S的定義 S = ? Z及 Z的定義： 我們有： 。 ?????? ??????????????????? ????????? TTTTTTpzppzxuzpxuzzppxuEZZZ ??)()(0)(1001amp。 因此，商品替代的相互性蘊含著替代效應的對稱性意義。由此可得： shh ? 0 表明，若 一種商品漲價而其余商品的價格不變 , 那么在收入得到彌補使得漲價并沒有改變實際收入水平的情況下，消費者不會增加對該商品的消費，反而倒是更可能要減少該商品的消費。 2. 替代矩陣的半負定與需求變動的反向性 ?需求法則 任何一種商品的價格變動對該商品自己的替代效應都非正，即 shh ? 0 (h = 1,2, ?,?)， 從而正常商品的需求必然服從需求法則，即正常商品的需求量與該商品的價格反向變動，用公式表達，即 ?xh??ph = shh ? xh ?xh??r 0， 其中 h 為正常商品 (即 ?xh /?r 0)。因此， S 是奇異矩陣。 ? 低檔商品 ： 當商品 h 的收入效應系數(shù) ?xh??r ? 0時 ， 則稱 h為 低檔商品 。 當 shh xh ?xh??r時，替代效應絕對值小于收入效應絕對值，從而?xh??ph 0。其實，這種判別方法不夠準確。 這說明，當商品 k的價格上升時， 替代性支出 (即 shkph 0的那些項之和 )不低于 互補性支出 (即 shkph 0 的那些項之和 )。因此，需要探討這個等式的其他含義，我們借助間接效用函數(shù) 來討論。 進一步，若讓 dp = 0，則 。 1. 羅伊恒等式 rpxpxru dd)dd(d ??? ??????????????????????rrpuhxprpuhh),(),2,1(),(??這樣，便可得到一個恒等式，稱為 羅伊恒等式 (Roy’s identity)： 0),(),( ?????? r rpuxp rpu hhhpu ??rux h ??2. 替代效應與收入效應的直觀意義 x