行列式乘法規(guī)則的證明方法及其應(yīng)用_畢業(yè)論文-wenkub
2022-09-07 21:46:35 本頁(yè)面
【正文】 p p p? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?D D D. 所以 132=DD0DD . 根據(jù)分塊矩陣乘法和拉普拉斯定理，得 1 1232=.D ?D0 DDDD . 由此可見利用分塊矩陣和拉普拉斯定理組合也可以得到和引理 1 一樣的結(jié)果。 其實(shí)這不是偶然，引理 1 中的行列式 D 是 1D 的特例， 1D 是 D 得一般形式。 其實(shí)，定理 1就是拉普 拉斯定理的簡(jiǎn)單敘述，以上也給出了一般的證明方法。 定理 1 若 D 為 n 階 行列式 ， 12,tM ,M M 為 D 的取定 r 行后得到的子式，12, , , tA A A 分別為 12, , , tM M M 的代數(shù)余子式。比 1rq?項(xiàng)大的有 1rnq?? 項(xiàng)，而 12, , ,r r nq q q?? 中有 1nr?? 項(xiàng)，所以 12, , , rq q q 能 與 1rq? 構(gòu)成逆序的有 1( 1) rrq??? 項(xiàng)，同理在 12, , , rq q q 中能與 2rq? 構(gòu)成逆序的有 2( 2) rrq??? 項(xiàng)，依此類推，能與 nq 構(gòu)成逆序的有 nnq? 項(xiàng)。 再者 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) [ ( 1 ) ( 2 ) ( ) ] ,r r r n r r r n rp p p p p p p p p p p p p p p r? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? （ 3） 我們注意到 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )r r r n r r r np p p p p p p p p p p p? ? ?? ? ? ??? ， 因?yàn)?12, , , rp p p 中的任意項(xiàng)也會(huì)與 12, , ,r r np p p?? 中的任意項(xiàng)構(gòu)成逆序，產(chǎn)生逆序數(shù)。令 M 展開后 的一般項(xiàng)為 1 2 1 2 1 1 2 2( ) ( )( 1 ) ,rr rrp p p q q q p q p q p qa a a?? ?? （ 1） 其中 12, , , rp p p 為從小到大的行排列， 12, , , rq q q 為次序不定的列排列。 因此， 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理，引理 1 得證。 命題 1（ 行列式的乘法規(guī)則） 若 兩個(gè) r 階行列式 1 1 1 2 1 1 1 1 2 12 1 2 2 2 2 1 2 2 21 2 1 2,rrr r r r r r r rn n n m m mn n n m m mN Μn n n m m m??LLM M M M M MLL， 則 N 與 M 的乘積 NM 是一個(gè) r 行列式 1 1 1 2 12 1 2 2 212,rrr r rrc c cc c cCc c c? 其中 1, , 1 , 2 , , .rik ij jkjn m i k r???? c 要證明行列式的乘法規(guī)則，需先證明以下兩個(gè)引理： 引 理 1 證明 : 2 11 12 121 22 21211 12 121 22 2120 0 00 0 00 0 01 0 00 1 00 0 1rrr r rrrrr r rrn n nn n nn n nDm m mm m mm m m???? 1 1 1 2 1 1 1 1 2 12 1 2 2 2 2 1 2 2 21 2 1 2.rrr r r r r r r rn n n m m mn n n m m mn n n m m m? . 證明 首先我們對(duì) r 的個(gè)數(shù)作數(shù)學(xué)歸納法。由于行列式的計(jì)算方 法多樣，應(yīng)用靈活，我們要根據(jù)題目的具體要求選擇簡(jiǎn)便的方法，使問題解決簡(jiǎn)單化。 partitioned matrix 目 錄 ....................................................... 1 ............................................. 1 .............................................. 1 ............................................ 5 ................................................ 8 ............................................. 9 .............................................................. 11 參考文獻(xiàn) .............................................................. 11 致 謝 ................................................................. 13 1 線性方程組是數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)也是應(yīng)用最廣泛的內(nèi)容之一，而行列式是解線性方程組的一個(gè)基本工具。本文首先用三種方法證明了行列式的乘法規(guī)則，包括數(shù)學(xué)歸納法，利用拉普拉斯定理證明和用矩陣分塊思想證明。 本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 題 目： 行列式乘法規(guī)則的證明方法及其應(yīng)用 學(xué)生： *** 學(xué)號(hào)： ************* 學(xué)院： 數(shù)學(xué) 與計(jì)算科學(xué) 學(xué)院 專業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 入學(xué)時(shí)間： 2020 年 9 月 16 日 指導(dǎo)教師： ** 職稱： 講師
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