【正文】 f1=diff((x^2+(ya)^2)^*k1+((lx)^2+(yb)^2)^*k1+y*k2,39。 ２． 運(yùn)算過程中運(yùn)用的附加費(fèi)用雖然 進(jìn)行了比較和權(quán)重，得到更貼近實(shí)際的附加費(fèi)用值，但仍不能避免存在一定的誤差。 圖 6 管線建設(shè)費(fèi)用最省的布置方案 五、 模型的評(píng)價(jià) （一） 模型的優(yōu)點(diǎn) 1． 問題一中利用三角函數(shù)、線性規(guī)劃、目標(biāo)函數(shù)、求偏導(dǎo)等數(shù)學(xué)方法建立模型，準(zhǔn)確性高、通用性強(qiáng)、簡(jiǎn)單易懂， 也可以借助 mathlab數(shù)學(xué)軟件對(duì)模型參量求解， 較好的解決了題目中的問題。 利用LINGO軟件對(duì) 目標(biāo)函數(shù)（ 10）優(yōu)化求解（求解過程和結(jié)果見附表 3），所得結(jié)果列于下表 1. 表 1 建設(shè)費(fèi)用最省管線布置方案及相應(yīng)的費(fèi)用（單位：費(fèi)用為萬元，長(zhǎng)度為千米） 總方案 車站 K點(diǎn)坐標(biāo) 交匯 E點(diǎn)坐標(biāo) 分界點(diǎn) F1坐標(biāo) 總長(zhǎng) 總費(fèi)用 X Y X Y X Y 0 15 共用管 A廠 B廠 附加費(fèi) 管線長(zhǎng) 管線費(fèi) 管線長(zhǎng) 管線費(fèi) 管線長(zhǎng) 管線費(fèi) 拆遷線長(zhǎng) 費(fèi)用 由此得出的管線建設(shè)費(fèi)用最省 的 管線布置圖，如圖 5 所示。在城區(qū)分界線上任取一點(diǎn) F1，其坐標(biāo)表示為（ 15， y2）。得到的估算結(jié)果如下： 本方案要中管線布置方案需要 建立模型進(jìn)行優(yōu)化， 相應(yīng)的附加費(fèi)用要針對(duì)三家公司給出的 附加費(fèi)用再一次權(quán)重評(píng)估，設(shè)為 p3萬元 /千米 。 非共用管線的費(fèi)用 1p 和共用管線費(fèi)用 2p 不相等時(shí)所建立的模型 及其結(jié)果，包含了 12pp? 這種模型及其結(jié)果，因而 12pp? 模型是 12pp? 模型的特例， 12pp? 這種模式更具有普遍性 。如果A 、 B兩廠之間的位置不符合上述條件（ 7），那么 E的坐標(biāo)還需要根據(jù)具體情況確定 . ② 若 bal? 1t 時(shí) ， x 0? 因此目標(biāo)函數(shù)的最小值只能在 x=0時(shí)取得，當(dāng) x=0時(shí)，在 ya? 時(shí)，目標(biāo)函數(shù) Z最小。 圖 3 此時(shí)的目標(biāo)函數(shù)為 ： 2 2 2 2[ ( ) ]z a x l x b p? ? ? ? ?， 運(yùn)用求一元函數(shù)極值的方法可以算得，當(dāng) alxab? ?時(shí) Z最小。 如果 A 、 B兩廠之間的位置不符合上述條件（ 5），那么 E的坐標(biāo)需要根據(jù)具體情況確定： ② 若 bal? 33 即 l? 3( )ba? 時(shí) 也就是，兩廠之間的橫向距離很小，而兩廠與鐵路線的距離相差比較大的時(shí)候，比如 133abl???????? 132abl????????……. 通過 lingo求得 兩管道線匯合點(diǎn) E的坐標(biāo)近似為 （ 0， 1）?，F(xiàn)在以總費(fèi)用為目標(biāo)函數(shù)，以 x,y為決策變量，建立數(shù)學(xué)模型： ? ? ? ? ? ?2 2 22Z S p x a y l x b y y p??? ? ? ? ? ? ? ? ????? 約束條件： 00 xlyb???? 問題歸結(jié)為：在指定區(qū)域內(nèi)，當(dāng) x、 y為何值 時(shí)， Z取得最小值。 符號(hào)說明 ： Z：表示管線建設(shè)費(fèi)用； A：表示 A廠位于坐標(biāo)系中的位置； a：表示 A廠到鐵路線的垂直距離，即 A點(diǎn)的縱坐標(biāo)； B：表示 B廠位于坐標(biāo)系中的位置； l ：表示 A、 B兩廠沿著鐵路的距離，即 B點(diǎn)的橫坐標(biāo)； b：表示 B廠到鐵路線的垂直距離，即 B點(diǎn)的縱坐標(biāo)； E：表示 A、 B兩廠輸油管的匯集點(diǎn) ,坐標(biāo)用（ x， y）表示； F1：表示管線與城區(qū)分界線的交點(diǎn)，坐標(biāo)為（ 15， y2）； S： 表示 管線的總長(zhǎng)； 1p ：表示 A廠 非公用管線費(fèi)用； 2p ：表示公用管線費(fèi)用； 3p ：表示鋪設(shè)在城區(qū)管線的附加費(fèi)用； 4p ：表示 B廠 非公用管線費(fèi)用； K：表示鐵路線上的車站，坐標(biāo)為（ xS， 0）。 問題二 ， 際上是問題一的延伸，可以在問題一 的 模型上改進(jìn)。 二、 問題分析 我國(guó)處于迅速發(fā)展時(shí)期，是能源消耗大國(guó)，能源建設(shè)項(xiàng)目眾多，進(jìn)行最優(yōu)配置設(shè)計(jì)對(duì)節(jié)約成本來講數(shù)目十分可觀。估算結(jié)果如下表所示： 請(qǐng)為設(shè)計(jì)院給出管線布置方案及相應(yīng)的費(fèi)用。兩煉油廠的具體位置由附圖所示，其中 A廠位于郊區(qū)（圖中的 I 區(qū)域）， B 廠位于城區(qū)（圖中的 II 區(qū)域），兩個(gè)區(qū)域的分界線用圖中的虛線表示。由于這種模式具有一定的普遍性，油田設(shè)計(jì)院希望建立管線建設(shè)費(fèi)用最省的一般數(shù)學(xué)模型與方法。 問題二，由問題一模型的延伸，在城區(qū)引入合理 附加費(fèi) 萬元 /千米，綜合實(shí)際情況后以總 費(fèi)用最省為目標(biāo)建立模型，用 lingo軟件模擬結(jié)果得：當(dāng)兩廠管線交匯點(diǎn) E位于（ ， ）時(shí)，管線建設(shè)費(fèi)用最省為 萬元，管線建設(shè)的總線長(zhǎng)為 ，同時(shí)也得出了此種情形下的各段管線的相關(guān)參數(shù)。（ 2020年Ｃ題全國(guó)一等獎(jiǎng)） 輸油管 線 布置 的最優(yōu)設(shè)計(jì) 摘 要 我國(guó)是能源消耗大國(guó)，石油輸油管的建設(shè)是一個(gè)投資巨大的工程，優(yōu)化輸油管線的鋪設(shè)可以節(jié)約成本，具有十分明顯的經(jīng)濟(jì)意義。 問題三， 在該實(shí)際問題中， 為進(jìn)一步節(jié)省費(fèi)用， 各段管線的單位造價(jià)可根據(jù)自身生產(chǎn)能力造來選擇，綜合實(shí)際情況后以總 費(fèi)用最省為目標(biāo)建立模型，用 lingo 軟件模擬結(jié)果得：當(dāng)兩廠管線交匯點(diǎn) E 位于（ ， ）時(shí)，管線建設(shè)費(fèi)用最省為 ，管線建設(shè)的總線長(zhǎng)為 ，同時(shí)也得出了此種情形下的各段管線的相關(guān)參數(shù)。 1. 針對(duì)兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離的各種不同情形，提出你的設(shè)計(jì)方案。圖中各字母表示 的距離（單位：千米）分別為 a = 5， b = 8， c = 15， l = 20。 3. 在該實(shí)際問題中，為進(jìn)一步節(jié)省費(fèi)用，可以根據(jù)煉油廠的生產(chǎn)能力，選用相 適應(yīng)的油管。輸油管優(yōu)化布置方案設(shè)計(jì)降低了建設(shè)成本，具有現(xiàn)實(shí)意義。對(duì)于三個(gè)咨詢公司給出的評(píng)估數(shù)據(jù)，可以直接取用，帶有一點(diǎn)的主觀性，為了數(shù)據(jù)取樣更有說服力，采用了對(duì)三個(gè)咨詢公司給出的 評(píng)估數(shù) 加權(quán)平均值 ，通過矩陣求解得到更合理的數(shù)值。 三、 模型假設(shè) 將所考慮的區(qū)域近似看作一個(gè)平面； 兩個(gè)煉油廠和車站均近似看作為平面上的點(diǎn)，分別用點(diǎn) A、 B、 K表示； 在所考慮的區(qū)域內(nèi)鐵路線為直線 CD，新建車站可以在鐵路線的任意位置； 兩個(gè)煉油廠的地址可以在鐵路線的一側(cè)任意選擇； 不考慮自然條件的制約，假設(shè)區(qū)域內(nèi)任意兩點(diǎn)之間均可以以直線連接； 假設(shè)聘請(qǐng)的三家咨詢公司估計(jì)出來的數(shù)值可信。 2 2 2 2()( ) ( ) ( )z x x l px a y x b y l x????? ? ? ? ? ? 2 2 2 2( 1 )( ) ( ) ( )z y a y b py a y x b y l x? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? 令 0zx??? 和 0zy???，化簡(jiǎn)后得 ： 2 2 2 2( ) ( ) ( )l x a y x b y? ? ? ? （ 1） 8 6 2 4 4 83 ( ) 8 ( ) 6 ( )y a y a x x y a x? ? ? ? ? ? （ 2） 即： 8 6 43 ( ) 8 ( ) 6 ( ) 1 0y a y a y ax x x? ? ?? ? ? ? 解此方程得 2 1()3yax? ? 33ya y a xx?? ? ? ? ? ? 這是過（ 0， a）且傾斜角為 150度和 30度的兩條直線 再由（ 1）代入上式，得 2 1()3bylx? ?? 所以 33bylx? ??? 即 ： 3 ()3y b x l? ? ? ? 這是過點(diǎn)（ l ， b） ,傾斜角為 30度和 150度的兩條直線。 事實(shí)上，當(dāng)由 (4)算出的 x 0? 時(shí)，管道長(zhǎng)度肯定大（斜邊大于直角邊），如圖 2 圖 2 因此目標(biāo)函數(shù)的最小值只能在 x=0時(shí)取得。 所以，當(dāng) 33abl? ? 時(shí)， 兩管道線匯合點(diǎn) E的坐標(biāo)為 （ alab?， 0） （二） 設(shè)非共用管線的費(fèi)用 1p 和共用管線費(fèi)用 2p 不相等， 目標(biāo)函數(shù)為： ? ? ? ? ? ?2 2 22 12z x a y l x b y p y p??? ? ? ? ? ? ? ????? 約束條件： 00 xlyb???? 問題同樣歸結(jié)為：在指定區(qū)域內(nèi)，當(dāng) x、 y為何值時(shí)， Z取得最小值。 所以，當(dāng) bal? 33 時(shí)， 兩管道線匯合點(diǎn) E的坐標(biāo)為 （ 0， a）。 問題二： 問題 2中 兩煉油廠的具體位置， A廠位于郊區(qū)（ I區(qū)域）， B廠位于城區(qū)（ II區(qū)域），兩個(gè)區(qū)域的分界線垂直與鐵路線。 （一）附加費(fèi)用權(quán)重評(píng)估 通過比較矩陣和權(quán)向量方法對(duì)三個(gè)公司給出來的估計(jì)附加費(fèi)用進(jìn)行比較和權(quán)重，得到更貼近實(shí)際的附加費(fèi)用值。對(duì)于 A廠、 B 廠管線的交匯點(diǎn) E，會(huì)出現(xiàn)兩種情況，一是交匯點(diǎn) E落在城區(qū)內(nèi)，這種情況無形中會(huì)增加更多的附加費(fèi)用，因此這種情況總費(fèi)用不會(huì)是最低；二是交匯點(diǎn)落在郊區(qū)內(nèi)，總費(fèi)用最低的 E點(diǎn)應(yīng)該會(huì)落在這個(gè)區(qū)域內(nèi)，針對(duì)這種情況建立模型。 圖 5 管線建設(shè)費(fèi)用最省的布置方案 問題三： 在實(shí)際問題中，為進(jìn)一步節(jié)省費(fèi)用，可以根據(jù)煉油廠的生產(chǎn)能力，各自 選擇相適應(yīng)的油管， A 廠管線鋪設(shè)的費(fèi)用 降為每千米