【正文】 f1=diff((x^2+(ya)^2)^*k1+((lx)^2+(yb)^2)^*k1+y*k2,39。 ２． 運算過程中運用的附加費用雖然 進行了比較和權重，得到更貼近實際的附加費用值，但仍不能避免存在一定的誤差。 圖 6 管線建設費用最省的布置方案 五、 模型的評價 （一） 模型的優(yōu)點 1． 問題一中利用三角函數(shù)、線性規(guī)劃、目標函數(shù)、求偏導等數(shù)學方法建立模型，準確性高、通用性強、簡單易懂， 也可以借助 mathlab數(shù)學軟件對模型參量求解， 較好的解決了題目中的問題。 利用LINGO軟件對 目標函數(shù)（ 10）優(yōu)化求解（求解過程和結果見附表 3），所得結果列于下表 1. 表 1 建設費用最省管線布置方案及相應的費用（單位：費用為萬元，長度為千米） 總方案 車站 K點坐標 交匯 E點坐標 分界點 F1坐標 總長 總費用 X Y X Y X Y 0 15 共用管 A廠 B廠 附加費 管線長 管線費 管線長 管線費 管線長 管線費 拆遷線長 費用 由此得出的管線建設費用最省 的 管線布置圖，如圖 5 所示。在城區(qū)分界線上任取一點 F1，其坐標表示為（ 15， y2）。得到的估算結果如下： 本方案要中管線布置方案需要 建立模型進行優(yōu)化， 相應的附加費用要針對三家公司給出的 附加費用再一次權重評估，設為 p3萬元 /千米 。 非共用管線的費用 1p 和共用管線費用 2p 不相等時所建立的模型 及其結果，包含了 12pp? 這種模型及其結果，因而 12pp? 模型是 12pp? 模型的特例， 12pp? 這種模式更具有普遍性 。如果A 、 B兩廠之間的位置不符合上述條件（ 7），那么 E的坐標還需要根據(jù)具體情況確定 . ② 若 bal? 1t 時 ， x 0? 因此目標函數(shù)的最小值只能在 x=0時取得，當 x=0時，在 ya? 時，目標函數(shù) Z最小。 圖 3 此時的目標函數(shù)為 ： 2 2 2 2[ ( ) ]z a x l x b p? ? ? ? ?， 運用求一元函數(shù)極值的方法可以算得，當 alxab? ?時 Z最小。 如果 A 、 B兩廠之間的位置不符合上述條件（ 5），那么 E的坐標需要根據(jù)具體情況確定： ② 若 bal? 33 即 l? 3( )ba? 時 也就是，兩廠之間的橫向距離很小，而兩廠與鐵路線的距離相差比較大的時候，比如 133abl???????? 132abl????????……. 通過 lingo求得 兩管道線匯合點 E的坐標近似為 （ 0， 1）?，F(xiàn)在以總費用為目標函數(shù)，以 x,y為決策變量，建立數(shù)學模型： ? ? ? ? ? ?2 2 22Z S p x a y l x b y y p??? ? ? ? ? ? ? ? ????? 約束條件： 00 xlyb???? 問題歸結為：在指定區(qū)域內，當 x、 y為何值 時， Z取得最小值。 符號說明 ： Z：表示管線建設費用； A：表示 A廠位于坐標系中的位置； a：表示 A廠到鐵路線的垂直距離，即 A點的縱坐標； B：表示 B廠位于坐標系中的位置； l ：表示 A、 B兩廠沿著鐵路的距離，即 B點的橫坐標； b：表示 B廠到鐵路線的垂直距離，即 B點的縱坐標； E：表示 A、 B兩廠輸油管的匯集點 ,坐標用（ x， y）表示； F1：表示管線與城區(qū)分界線的交點，坐標為（ 15， y2）； S： 表示 管線的總長； 1p ：表示 A廠 非公用管線費用； 2p ：表示公用管線費用； 3p ：表示鋪設在城區(qū)管線的附加費用； 4p ：表示 B廠 非公用管線費用； K：表示鐵路線上的車站，坐標為（ xS， 0）。 問題二 ， 際上是問題一的延伸，可以在問題一 的 模型上改進。 二、 問題分析 我國處于迅速發(fā)展時期，是能源消耗大國，能源建設項目眾多，進行最優(yōu)配置設計對節(jié)約成本來講數(shù)目十分可觀。估算結果如下表所示： 請為設計院給出管線布置方案及相應的費用。兩煉油廠的具體位置由附圖所示，其中 A廠位于郊區(qū)（圖中的 I 區(qū)域）， B 廠位于城區(qū)（圖中的 II 區(qū)域），兩個區(qū)域的分界線用圖中的虛線表示。由于這種模式具有一定的普遍性，油田設計院希望建立管線建設費用最省的一般數(shù)學模型與方法。 問題二，由問題一模型的延伸，在城區(qū)引入合理 附加費 萬元 /千米，綜合實際情況后以總 費用最省為目標建立模型，用 lingo軟件模擬結果得：當兩廠管線交匯點 E位于（ ， ）時，管線建設費用最省為 萬元，管線建設的總線長為 ，同時也得出了此種情形下的各段管線的相關參數(shù)。（ 2020年Ｃ題全國一等獎） 輸油管 線 布置 的最優(yōu)設計 摘 要 我國是能源消耗大國，石油輸油管的建設是一個投資巨大的工程，優(yōu)化輸油管線的鋪設可以節(jié)約成本，具有十分明顯的經濟意義。 問題三， 在該實際問題中， 為進一步節(jié)省費用， 各段管線的單位造價可根據(jù)自身生產能力造來選擇，綜合實際情況后以總 費用最省為目標建立模型，用 lingo 軟件模擬結果得：當兩廠管線交匯點 E 位于（ ， ）時，管線建設費用最省為 ，管線建設的總線長為 ，同時也得出了此種情形下的各段管線的相關參數(shù)。 1. 針對兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離的各種不同情形，提出你的設計方案。圖中各字母表示 的距離（單位：千米）分別為 a = 5， b = 8， c = 15， l = 20。 3. 在該實際問題中，為進一步節(jié)省費用，可以根據(jù)煉油廠的生產能力，選用相 適應的油管。輸油管優(yōu)化布置方案設計降低了建設成本，具有現(xiàn)實意義。對于三個咨詢公司給出的評估數(shù)據(jù)，可以直接取用，帶有一點的主觀性，為了數(shù)據(jù)取樣更有說服力，采用了對三個咨詢公司給出的 評估數(shù) 加權平均值 ，通過矩陣求解得到更合理的數(shù)值。 三、 模型假設 將所考慮的區(qū)域近似看作一個平面； 兩個煉油廠和車站均近似看作為平面上的點，分別用點 A、 B、 K表示； 在所考慮的區(qū)域內鐵路線為直線 CD，新建車站可以在鐵路線的任意位置； 兩個煉油廠的地址可以在鐵路線的一側任意選擇； 不考慮自然條件的制約，假設區(qū)域內任意兩點之間均可以以直線連接； 假設聘請的三家咨詢公司估計出來的數(shù)值可信。 2 2 2 2()( ) ( ) ( )z x x l px a y x b y l x????? ? ? ? ? ? 2 2 2 2( 1 )( ) ( ) ( )z y a y b py a y x b y l x? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? 令 0zx??? 和 0zy???，化簡后得 ： 2 2 2 2( ) ( ) ( )l x a y x b y? ? ? ? （ 1） 8 6 2 4 4 83 ( ) 8 ( ) 6 ( )y a y a x x y a x? ? ? ? ? ? （ 2） 即： 8 6 43 ( ) 8 ( ) 6 ( ) 1 0y a y a y ax x x? ? ?? ? ? ? 解此方程得 2 1()3yax? ? 33ya y a xx?? ? ? ? ? ? 這是過（ 0， a）且傾斜角為 150度和 30度的兩條直線 再由（ 1）代入上式，得 2 1()3bylx? ?? 所以 33bylx? ??? 即 ： 3 ()3y b x l? ? ? ? 這是過點（ l ， b） ,傾斜角為 30度和 150度的兩條直線。 事實上，當由 (4)算出的 x 0? 時，管道長度肯定大（斜邊大于直角邊），如圖 2 圖 2 因此目標函數(shù)的最小值只能在 x=0時取得。 所以，當 33abl? ? 時， 兩管道線匯合點 E的坐標為 （ alab?， 0） （二） 設非共用管線的費用 1p 和共用管線費用 2p 不相等， 目標函數(shù)為： ? ? ? ? ? ?2 2 22 12z x a y l x b y p y p??? ? ? ? ? ? ? ????? 約束條件： 00 xlyb???? 問題同樣歸結為：在指定區(qū)域內，當 x、 y為何值時， Z取得最小值。 所以，當 bal? 33 時， 兩管道線匯合點 E的坐標為 （ 0， a）。 問題二： 問題 2中 兩煉油廠的具體位置， A廠位于郊區(qū)（ I區(qū)域）， B廠位于城區(qū)（ II區(qū)域），兩個區(qū)域的分界線垂直與鐵路線。 （一）附加費用權重評估 通過比較矩陣和權向量方法對三個公司給出來的估計附加費用進行比較和權重，得到更貼近實際的附加費用值。對于 A廠、 B 廠管線的交匯點 E，會出現(xiàn)兩種情況，一是交匯點 E落在城區(qū)內，這種情況無形中會增加更多的附加費用，因此這種情況總費用不會是最低；二是交匯點落在郊區(qū)內，總費用最低的 E點應該會落在這個區(qū)域內，針對這種情況建立模型。 圖 5 管線建設費用最省的布置方案 問題三： 在實際問題中，為進一步節(jié)省費用，可以根據(jù)煉油廠的生產能力，各自 選擇相適應的油管， A 廠管線鋪設的費用 降為每千米