【正文】 Row Slack or Surplus Dual Price 1 模型Ⅳ求解程序如下： model: min=(15*15+(5y2)^2)^*+((15x1)^2+(y2y1)^2)^*(+)+y1*(+)+((20x1)^2+(8y1)^2)^*(6+)。 附 錄 問題二： 模型Ⅱ求解程序如下： model: min=(X1^2+(5Y1)^2)^*+((Y2Y1)^2+(15X1)^2)^*+*Y1+((2015)^2+(8Y2)^2)^*。 在現(xiàn)實生活中有很多類似輸油管道的鋪設(shè)的問題，如公路的鋪設(shè)，港口的建立，都可以用這種模型進(jìn)行求解，此種模型在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用很廣。建立交點在城區(qū)的模型，如圖八，用以與模型Ⅲ作比較。通過圖六的比較可以排除 M點在城區(qū)的可能，因為 B點到鐵路的距離要比 A點到鐵路的距離大，通過平面鏡成像原理可得 M 點的位置一定在 AB 水平距離中點偏左，而且一定不會在 A點之上，不考慮費用，交點 M不會在城區(qū)范圍，如要考慮費用， BN長度也會比 BM短，故排除 M在城區(qū)的情況。 目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為：222 1)2( )2(239。 五、 模型建立與求解 問題一：如圖一，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，假設(shè) A 煉油廠的坐標(biāo)為 A（ 0,a） ,B 煉油廠的坐標(biāo)為 B（ l,b） ,兩煉油廠的管線交點為 M（ x,y），點 P為車站， MP即為共用管線，在不考慮其他因素影響下，顯然共用管道 MP 應(yīng)垂直鐵路線，得到建設(shè)費用的一般表達(dá)式：2122122 )()()( mymybxlmyaxz ??????????? 。 假設(shè)管道可以任意鋪設(shè)，不受地形等其他因素的影響。 二、 問題的分析 對 于問題一，鐵路線和周邊的地理環(huán)境是未知的，以及居民的分布也是不確定的，在建立模型時不考慮這些因素的影響。估算結(jié)果如下表所示： 請為設(shè)計院給出管線布置方案及相應(yīng)的費用。兩煉油廠的具體位置由附圖所示，其中 A廠位于郊區(qū)（圖中的 I 區(qū)域）， B 廠位于城區(qū)（圖中的 II 區(qū)域），兩個區(qū)域的分界線用圖中的虛線表示。由于這種模式具有一定的普遍性，油田設(shè)計院希望建立管線建設(shè)費用最省的一般數(shù)學(xué)模型與方法。 o=q+w+n+f。 n=y*k2。 q=(x^2+(Ya)^2)^*k1。 k2=。 b=8。 v=(x^2+(Ya)^2)^+((xc)^2+(yY1)^2)^+y+((cl)^2+(y1b)^2)^。 m=y。 z=(x^2+(Ya)^2)^。 l=20。 y=simple(y) 運行結(jié)果為 ： f1 = 1/(x^2+(ya)^2)^(1/2)*k1*x+1/2/((lx)^2+(yb)^2)^(1/2)*k1*(2*l+2*x) f2 = 1/2/(x^2+(ya)^2)^(1/2)*k1*(2*y2*a)+1/2/((lx)^2+(yb)^2)^(1/2)*k1*(2*y2*b)+k2 x = 1/2*(4*k1^2*a4*k1^2*bk2^2*a+k2^2*b+k2*l*(4*k1^2k2^2)^(1/2))/k2/(4*k1^2k2^2)^(1/2) 1/2*(4*k1^2*a4*k1^2*bk2^2*a+k2^2*bk2*l*(4*k1^2k2^2)^(1/2))/k2/(4*k1^2k2^2)^(1/2) y = 1/2*(4*k1^2*ak2^2*a+4*k1^2*bk2^2*bk2*l*(4*k1^2k2^2)^(1/2))/(4*k1^2k2^2) 1/2*(4*k1^2*ak2^2*a+4*k1^2*bk2^2*b+k2*l*(4*k1^2k2^2)^(1/2))/(4*k1^2k2^2) 附件 2 程序 A=[1 7/3 7/3 3/7 1 1 3/7 1 1]。y39。y39。 （二） 模型推廣 問題一 ， 模型解決了 輸油管的布置的問題，模型適用于在 3個點隨意變動的情況，通用性強(qiáng)，具有一定的推廣性，還可以解決一些像煤氣管線、自來水管線、污水管道線，電力電纜的鋪設(shè)設(shè)計等。 （二） 模型的缺點 １． 由于題目所給條件和問題的限制，我們?yōu)榱私忸}方便假設(shè)了較為理想的工程建造環(huán)境，這在現(xiàn)實中是較少的，因此模型的應(yīng)用還受到許多因素的限制。 表 2 建設(shè)費用最省管線布置方案及相應(yīng)的費用（單位：費用為萬元，長度為千米） 總方案 車站 K點坐標(biāo) 交匯 E點坐標(biāo) 分界點 F1坐 標(biāo) 總長 總費用 X Y X Y X Y 0 15 共用管 A廠 B廠 附加費 管線長 管線費 管線長 管線費 管線長 管線費 拆遷線長 費用 由此得出的管線建設(shè)費用最省 的 管線布置圖，如圖 6所示。 以 方案總費用 最省為目標(biāo)建立數(shù)學(xué)模型： min Z=（ AE+EF1+F1B） *p1+KE*p2+B 1F *p3 即 ???????????????????????????)10(00.)()()()()()(m i n 2312221222122ylxtspyppbylcpyycxpayxZ 對于問題二 ,（ 10）式中 a = 5， b = 8， c = 15， l = 20， p1= p2=， p3=。 根據(jù)三個公司的資質(zhì)得出三個公司的權(quán)重分別為 : ω= （ ） 評估后的附加費為： 3p 0 . 5 3 8 4 7 1 2 2 5 3 2 1 0 . 2 3 0 7 6 4 3 8 7 4 2 4 + 0 . 2 3 0 7 6 4 3 8 7 4 2 0? ? ? ? ? ? （萬元 /千米） （二）管線布置方案 模型優(yōu)化 在問題一中模型的基礎(chǔ)上對問題二進(jìn)行構(gòu)造模型，如圖 4 所示，圖中各字母表示的距離（單位：千米）分別為 a = 5， b = 8， c = 15， l = 20。題中給出了三家工程咨詢公司對附加費用進(jìn)行估計。即，當(dāng) 1ablt? ? 時， 兩管道線匯合點 E的坐標(biāo)為（ alab? ， 0） 結(jié)論：通過比較可以看出， 管線建設(shè)費用最省時交匯點 E的坐標(biāo)（ x， y） 是關(guān)于 a，b， l 的函數(shù)。 令 221224ppp? = t ,則 兩管道線匯合點 E的坐標(biāo)為 : 2222a b lxta b lyt?? ??????? ???? （ 6） 再將（ 6）代入約束條件： 00 xlyb???? 得： 1ablt? ? ， 1balt? ? （ 7） 也就是說： ① 當(dāng) A 、 B兩廠之間的位置符合上述條件（ 7）的時候，管道的鋪設(shè)線路如圖 1 所示，且 兩管道線匯合點 E 的坐標(biāo)為 2222a b lxta b lyt?? ??????? ???? 其中 t = 221224ppp? 。 ③ 若 33abl? ? 即 3( )l a b??時， 也就是，兩廠之間的橫向距離比較大，而兩廠與鐵路線的距離都比較近的時候，比如 127abl???????? 128abl????????……. 由（ 4）算出的 y0，而管線沒有必要鋪到鐵路線的另一側(cè)（如圖 3），所以令 y=0是合理的。 再將它們代入約束條件： 00 xlyb???? 得： 33abl? ? ， 33bal? ? （ 5） 也就是說： ① 當(dāng) A 、 B兩廠之間的位置符合上述條件（ 5）的時候，管道的鋪設(shè)線路如圖 1所示，且 兩管道線匯合點 E的坐標(biāo)為（ 3( )22a b l? ? ， 326a b l? ? ） 。 圖 1 看圖分 析可知，管道線的總長 : S A E K E B E? ? ? （一） 假設(shè)非共用管線的費用 1p 和共用管線費用 2p 相等，同為 P（ P） 0） , 那么，當(dāng) S最小時，總費用最小。 對于問題三， 實際是更一般性的模型，也可以如同問題二一樣求解。 對于問題一，考慮到兩煉油廠 和車站的地址 可以在鐵路線的一側(cè)任意選擇，且 它們所在區(qū)域看作近似一個平面，可以通過建立坐標(biāo)系將其轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué) 模型 ，定義 A、 B兩廠和車站，通過計算管線總長的中間量，求總管線費用，以 管線建設(shè)費用最省 為 目標(biāo)建立優(yōu)化模型，進(jìn)行求解，在通過偏導(dǎo)方法對模型進(jìn)行深一步的分析， 或通過數(shù)學(xué)軟件優(yōu)化， 進(jìn)一步分析在兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離的各種不同情形。請給出管線最佳布置方案及相應(yīng)的費用。 鋪設(shè)在城區(qū)的管線還需增加拆遷和工程補償?shù)雀郊淤M用，為對此項附加費用進(jìn)行估計，聘請三家工程咨詢公司（其中 公司一具有甲級資質(zhì)，公司二和公司三具有乙級資質(zhì)） 進(jìn)行了估算。 2. 設(shè)計院目前需對一更為復(fù)雜的情形進(jìn)行具體的設(shè)計。 關(guān)鍵詞： 輸油管線布置 優(yōu)化模型 二元函數(shù)極值一、 問題重述 某油田計劃在鐵路 線一側(cè)建造兩家煉油廠，同時在鐵路線上增建一個車站，用來運送成品油。 問題一，針對兩煉油廠到鐵路線距離 a、 b和兩煉油廠間距離 l 的各種不同情形，得出管線建設(shè)費用最省時交匯 點