函數(shù)近似計算的插值法neton插值(已修改)
2025-08-21 20:29 本頁面
【正文】 第五章 函數(shù)近似計算的插值法 Newton插值法 167。 均差（也稱為差商）是數(shù)值方法中的一個重要概念，它可以反映出列表函數(shù)的性質，并能對Lagrange插值公式給出新的表達形式，這就是Newton插值 。 一、均差 二、 Newton插值公式 三、等距節(jié)點的 Newton插值公式 四、 Newton插值算法 Newton插值法 167。)(xlj ??? ??? njii ijixxxx0 )()( nj ,2,1,0 ??我們知道 ,Lagrange插值多項式的插值基函數(shù)為 形式上太復雜 ,計算量很大 ,并且重復計算也很多 由線性代數(shù)的知識可知 ,任何一個 n次多項式都可以表示成 ,1 ,0xx? ),)(( 10 xxxx ?? )())(( 110 ???? nxxxxxx ?,?共 n+1個多項式的線性組合 那么，是否可以將這 n+1個多項式作為插值基函數(shù)呢？ 引入差商和差分的目的 ,1 ,0xx? ),)(( 10 xxxx ?? )())(( 110 ???? nxxxxxx ?,?顯然，多項式組 線性無關， 因此，可以作為插值基函數(shù) ,ix設插值節(jié)點為 nif i ,1,0, ??函數(shù)值為1,2,1,0,1 ???? ? nixxh iii ?ii hh m a x?nifxP ii ,1,0,)( ???插值條件為)())(())(()()(110102020????????????nn xxxxxxaxxxxaxxaaxP??具有如下形式設插值多項式 )( xPnifxPxP ii ,1,0,)()( ???應滿足插值條件000 )( afxP ??有 )()( 011011 xxaafxP ????00 fa ?01011 xxffa???))(()()( 12022021022 xxxxaxxaafxP ???????12010102022 xxxxffxxffa???????再繼續(xù)下去待定系數(shù)的形式將更復雜 為此引入差商和差分的概念 一、差商 (均差 ) 定義 1. nifxxfii ,1,0,)( ??處的函數(shù)值為在互異的節(jié)點設稱 )(],[ jixx ffxxfjijiji ????( ) , ( ) ( ) 。ijf x x x為 關 于 節(jié) 點 一 階 差 商 均 差 平 均 變 化 率)(],[],[],[ kjixx xxfxxfxxxfjkjikikji ?????( ) , ,i j kf x x x x為 關 于 的 二 階 差 商 ( 均 差 ), 它 是 由 1 階 均 差再 作 一 次 差 商 所 得 。依此類推 ],[ 110 kk iiii xxxxf ??階差商的關于節(jié)點為 kxxxxxf kk iiii ,)( 110 ??],[
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