【正文】 第 1 頁 共 25 頁 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 — 數(shù)學(xué) [人教版 ] 高三新 數(shù)學(xué) 第一輪復(fù)習(xí)教案（講座 39） — 排列、組合、二項(xiàng)式定理 一．課標(biāo)要求： 1． 分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理 通過實(shí)例，總結(jié)出分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理；能根據(jù)具體問題的特征 ，選擇分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理解決一些簡單的實(shí)際問題 ； 2． 排列與組合 通過實(shí)例，理解排列、組合的概念；能 利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式，并能解決簡單的實(shí)際問題 ； 3． 二項(xiàng)式定理 能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理； 會用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題 。 二．命題走向 本部分內(nèi)容主要包括分類計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)數(shù)原理、排列與組合、二項(xiàng)式定理三部分；考查內(nèi)容：（ 1）兩個原理；（ 2）排列、組合的概念，排列數(shù)和組合數(shù)公式，排列和組合的應(yīng)用；（ 3）二項(xiàng)式定理，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)及二項(xiàng)式系數(shù)和。 排列、組合不僅是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，而且在實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用，因此新高考會有題目涉及；二項(xiàng)式定理是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考每年必考內(nèi)容，新高考會繼續(xù)考察。 考察形式：單獨(dú)的考題會以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，屬于中低難度的題目，排列組合有時與概率結(jié)合出現(xiàn)在解答題 中難度較小，屬于高考題中的中低檔題目；預(yù)測 20xx年高考本部分內(nèi)容一定會有題目涉及，出現(xiàn)選擇填空的可能性較大，與概率相結(jié)合的解答題出現(xiàn)的可能性較大。 三．要點(diǎn)精講 1． 排列、組合、二項(xiàng)式知識相互關(guān)系表 2． 兩個基本原理 （ 1）分類計(jì)數(shù)原理中的分類 ； （ 2）分步計(jì)數(shù)原理中的分步 ； 正確地分類與分步是學(xué)好這一章的關(guān)鍵。 3． 排列 （ 1）排列定義，排列數(shù) 第 2 頁 共 25 頁 （ 2）排列數(shù)公式：系 mnA =)!( !mnn?=n(n－ 1)…( n－ m+1)； （ 3）全排列列： nnA =n!； （ 4）記住下列幾個階乘數(shù)： 1！ =1， 2！ =2， 3！ =6， 4！ =24， 5！ =120， 6！ =720； 4． 組合 （ 1）組合的定義，排列與組合的區(qū)別 ； （ 2）組合數(shù)公式： Cnm=)!(! ! mnm n?=12)1( 1)m(n1)n( ????? ???mmn； （ 3）組合數(shù)的性質(zhì) ① Cnm=Cnnm ； ② rnrnrn CCC 11 ?? ?? ； ③ rCnr=nCn1r1 ； ④ Cn0+Cn1+…+C nn=2n ；⑤ Cn0Cn1+…+( 1)nCnn=0， 即 Cn0+Cn2+Cn4+…=C n1+Cn3+…=2 n1； 5． 二項(xiàng)式定理 （ 1）二項(xiàng)式展開公式 ： (a+b)n=Cn0an+Cn1an1b+…+C nkankbk+…+C nnbn； （ 2）通項(xiàng)公式：二項(xiàng)式展開式中第 k+1 項(xiàng)的通項(xiàng)公式是 ： Tk+1=Cnkankbk； 6． 二項(xiàng)式的應(yīng)用 （ 1）求某些多項(xiàng)式系數(shù)的和 ； （ 2）證明一些簡單的組合恒等式 ； （ 3）證明整除性。 ① 求數(shù)的末位； ② 數(shù)的整除性及求系數(shù)； ③ 簡單多項(xiàng)式的整除問題 ； （ 4）近似計(jì)算。當(dāng) |x|充分小時，我們常用下 列公式估計(jì)近似值： ① (1+x)n≈1+nx； ② (1+x)n≈1+nx+2 )1( ?nnx2； （ 5）證明不等式。 四．典例解析 題型 1：計(jì)數(shù)原理 例 1．完成下列選擇題與填空題 （ 1）有三個不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，則不同的投法有 種。 A． 81 B． 64 C． 24 D． 4 （ 2）四名學(xué)生爭奪三項(xiàng)冠軍，獲得冠軍的可能的種數(shù)是（ ） A． 81 B． 64 C． 24 D． 4 （ 3）有四位學(xué)生參加三項(xiàng)不同的競賽， ①每位學(xué)生 必須參加一項(xiàng)競賽，則有不同的參賽方法有 ； ②每項(xiàng)競賽只許有一位學(xué)生參加，則有不同的參賽方法有 ； ③每位學(xué)生最多參加一項(xiàng)競賽，每項(xiàng)競賽只許有一位學(xué)生參加，則不同的參賽方法有 。 解析：（ 1）完成一件事是“分步”進(jìn)行還是“分類”進(jìn)行，是選用基本原理的關(guān)鍵。第 3 頁 共 25 頁 將“投四封信”這件事分四步完成，每投一封信作為一步，每步都有投入三個不同信箱的三種方法，因此： N=3 3 3 3=34=81，故答案選 A。 本題也可以這樣分類完成，①四封信投入一個信箱中，有 C31 種投法；②四封信投入兩個信箱中，有 C32（ C41 A22+C42 C22）種投法；③四封信投入三個信箱，有兩封信在同一信箱中，有 C42 A33 種投法 、 ，故共有 C31+C32（ C41 A22+C42C22） +C42 A33=81（種）。故選 A。 （ 2）因?qū)W生可同時奪得 n 項(xiàng)冠軍，故學(xué)生可重復(fù)排列，將 4 名學(xué)生看作 4 個“店”，3 項(xiàng)冠軍看作“客”，每個“客”都可住進(jìn) 4 家“店”中的任意一家，即每個“客”有 4種住宿法。由分步計(jì)數(shù)原理得： N=4 4 4=64。 故答案選 B。 （ 3）①學(xué)生可以選擇項(xiàng)目，而競賽項(xiàng)目對學(xué)生無 條件限制，所以類似（ 1）可得 N=34=81（種）； ②競賽項(xiàng)目可以挑學(xué)生，而學(xué)生無選擇項(xiàng)目的機(jī)會，每一項(xiàng)可以挑 4 種不同學(xué)生，共有 N=43=64（種）； ③等價于從 4 個學(xué)生中挑選 3 個學(xué)生去參加三個項(xiàng)目的競賽，每人參加一項(xiàng)，故共有 C43 A33=24（種）。 例 2． （ 06 江蘇卷）今有 2 個紅球、 3 個黃球、 4 個白球，同色球不加以區(qū)分，將這 9個球排成一列有 種不同的方法（用數(shù)字作答）。 解析： 本題考查排列組合的基本知識 ， 由題意可知，因同色球不加以區(qū)分，實(shí)際上是一個組合問題，共有 4 2 3953 1260CCC ? 。 點(diǎn)評： 分步計(jì)數(shù)原理與分類計(jì)數(shù)原理是排列組合中解決問題的重要手段 ， 也是基礎(chǔ)方法 ， 在高中數(shù)學(xué)中 ， 只有這兩個原理 ， 尤其是分類計(jì)數(shù)原理與分類討論有很多相通之處 ， 當(dāng)遇到比較復(fù)雜的問題時 ， 用分類的方法可以有效的將之化簡 ,達(dá)到求解的目的 。 題型 2：排列問題 例 3． （ 1） （ 06 北京卷）在 1,2,3,4,5 這五個數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，各位數(shù)字之和為奇數(shù)的共有 （ ） （ A） 36 個 （ B） 24 個 （ C） 18 個 （ D） 6 個 （ 2） （ 06 福建卷） 從 4 名男生和 3 名女生中選出 3 人，分別從事三項(xiàng)不同的工作，若這 3 人中至少有 1 名女生，則選派方案共有 （ ） （ A） 108 種 （ B） 186 種 （ C） 216 種 （ D） 270 種 （ 3）（ 06 湖南卷）在數(shù)字 1,2， 3 與符號＋，－五個元素的所有全排列中，任意兩個數(shù)字都不相鄰的全排列個數(shù)是（ ） A． 6 B. 12 C. 18 D. 24 （ 4） (06 重慶卷 )高三（一）班學(xué)要安排畢業(yè)晚會的 4 各音樂節(jié)目， 2 個舞蹈節(jié)目和1 個曲藝節(jié)目的演出順序，要求兩個舞蹈節(jié)目不連排，則不同排法的種數(shù)是（ ） 第 4 頁 共 25 頁 （ A） 1800 （ B） 3600 （ C） 4320 （ D） 5040 解析：（ 1）依題意，所選的三位數(shù)字有兩種情況：（ 1） 3 個數(shù)字都是奇數(shù)，有 33A 種方法（ 2） 3 個數(shù)字中有一個是奇數(shù)，有 1333CA ，故共有 33A ＋ 1333CA ＝ 24 種方法，故選 B； （ 2） 從全部方案中減去只選派男生的方案數(shù)，合理的 選派方案共有 3374AA? =186 種 ，選 B； （ 3） 先排列 1， 2， 3，有 33 6A? 種排法，再將“ ＋ ” ， “ － ”兩個符號插入，有 22 2A?種方法，共有 12 種方法，選 B； （ 4） 不同排法的種數(shù)為 5256AA ＝ 3600，故選 B。 點(diǎn)評：合理的應(yīng)用排列的公式處理實(shí)際問題，首先應(yīng)該進(jìn)入排列問題的情景，想清楚我處理時應(yīng)該如何去做。 例 4．（ 1） （ 06 天津卷）用數(shù)字 0， 1， 2， 3， 4 組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，則其中數(shù)字 1， 2 相鄰的偶數(shù)有 個（用數(shù)字作答） ； （ 2） （ 06 上海春）電視臺連續(xù)播放 6 個廣告，其中含 4 個不同的商業(yè)廣告和 2 個不同的公益廣告，要求首尾必須播放公益廣告，則共有 種 不同的 播放方式（結(jié)果用數(shù)值表示） . 解析： （ 1） 可以分情況討論： ① 若末位數(shù)字為 0，則 1， 2，為一組，且可以交換位置， 3， 4，各為 1 個數(shù) 字，共可以組成 332 12A??個五位數(shù)； ② 若末位數(shù)字為 2，則 1與它相鄰，其余 3 個數(shù)字排列，且 0 不是首位數(shù)字，則有 2224A??個五位數(shù)； ③ 若末位數(shù)字為 4，則 1， 2，為一組，且可以交換位置， 3， 0，各為 1 個數(shù)字，且 0 不是首位數(shù)字，則有 222 (2 )A?? =8 個五位數(shù)，所以全部合理的五位數(shù)共有 24 個。 （ 2） 分二步：首尾必須播放公益廣告的有 A22 種；中間 4 個為不同的商業(yè)廣告有 A44種，從而應(yīng)當(dāng)填 A22 A44＝ 48. 從而應(yīng)填 48。 點(diǎn)評：排列問題不可能解決所有問題，對于較復(fù)雜的問題都是以排列公式為輔助。 題型三：組合問題 例 5．（ 1） (06 重慶卷 )將 5 名實(shí)習(xí)教師分配到高一年級的３個班實(shí)習(xí)，每班至少１名，最多２名，則不同的分配方案有（ ） （ A）３０種 （ B）９０種 （ C）１８０種 （ D）２７０種 （ 2）（ 06 天津卷）將 4 個顏色互不相同的球全部放入編號為 1 和 2 的兩個盒子里，使得放入每個盒子里的球的個數(shù)不小于該盒子的編號，則不同的放球方法有（ ） A． 10 種 B． 20 種 C． 36 種 D． 52 種 解析：（ 1）將 5 名實(shí)習(xí)教師分配到高一年級的 3 個班實(shí)習(xí)，每班至少 1 名，最多 2第 5 頁 共 25 頁 名，則將 5 名教師分成三組，一組 1 人，另兩組都是 2 人，有 125422 15CCA? ?種方法，再將3 組分到 3 個班，共有 3315 90A??種不同的分配方案，選 B； （ 2） 將 4 個顏色互不相同的球全部放入編號為 1 和 2 的兩個盒子里，使得放入每個盒子里的球的個數(shù)不小于該盒子的編號 ，分情況討論：① 1 號盒子中放 1 個球，其余 3個放入 2 號盒子 ，有 14 4C? 種方法；② 1 號盒子中放 2 個球，其余 2 個放入 2 號盒子，有 24 6C? 種方法； 則不同的放球方法有 10 種，選 A。 點(diǎn)評：計(jì)數(shù)原理是解決較為復(fù)雜的排列組合問題的基礎(chǔ)，應(yīng)用計(jì)數(shù)原理結(jié)合 例 6． （ 1） (06 陜西卷 )某校從 8 名教師中選派 4 名教師同時去 4 個邊遠(yuǎn)地區(qū)支教 (每地 1 人 )，其中