【正文】 第一篇：平行線的判定和性質(綜合篇)北 京 四 中編 稿：史衛(wèi)紅審 稿：張 楊責 編：姚一民平行線的判定和性質（綜合篇）一、重點和難點：重點：平行線的判定性質。難點：①平行線的性質與平行線的判定的區(qū)分 ②掌握推理論證的格式。二、例題：這部分內容所涉及的題目主要是從已知圖形中辨認出對頂角、同位角、內錯角或同旁內角。解答這類題目的前提是熟練地掌握這些角的概念，關鍵是把握住這些角的基本圖形特征，有時還需添加必要的輔助線，用以突出基本圖形的特征。上述類型題目大致可分為兩大類。一類題目是判斷兩個角相等或互補及與之有關的一些角的運算問題。其方法是“由線定角”，即運用平行線的性質來推出兩個角相等或互補。另一類題目主要是“由角定線”，也就是根據(jù)某些角的相等或互補關系來判斷兩直線平行，解此類題目必須要掌握好平行線的判定方法。例1．如圖，已知直線a,b,c被直線d所截，若∠1=∠2，∠2+∠3=180176。，求證：∠1=∠7分析：運用綜合法，證明此題的思路是由已知角的關系推證出兩直線平行，然后再由兩直線平行解決其它角的關系?！?與∠7是直線a和c被d所截得的同位角。須證a//c。法（一）證明：∵d是直線（已知）∴∠1+∠4=180176。（平角定義）∵∠2+∠3=180176。，∠1=∠2（已知）∴∠3=∠4（等角的補角相等）∴a//c（同位角相等，兩直線平行）∴∠1=∠7（兩直線平行，同位角相等）法（二）證明：∵∠2+∠3=180176。，∠1=∠2（已知）∴∠1+∠3=180176。（等量代換）∵∠5=∠1，∠6=∠3（對頂角相等）∴∠5+∠6=180176。（等量代換）∴a//c（同旁內角互補，兩直線平行）∴∠1=∠7（兩直線平行，同位角相等）。例2．已知如圖，∠1+∠2=180176。，∠A=∠C，AD平分∠BDF，求證：BC平分∠DBE。分析：只要求得∠EBC=∠CBD，由∠1+∠2=180176。推出∠1=∠BDC，從而推出AE//FC，從而推出∠C=∠EBC而∠C=∠A于是可得∠A=∠EBC。因此又可得AD//BC，最后再運用平行線性質和已知條件便可推出∠EBC=∠DBC。證明：∵∠2+∠BDC=180176。（平角定義）又∵∠2+∠1=180176。（已知）∴∠BDC=∠1（同角的補角相等）∴AE//FC（同位角相等兩直線平行）∴∠EBC=∠C（兩直線平行內錯角相等）又∵∠A=∠C（已知）∴∠EBC=∠A（等量代換）∴AD//BC（同位角相等，兩直線平行）∴∠ADB=∠CBD（兩直線平行，內錯角相等）∠ADF=∠C（兩直線平行，同位角相等）又∵DA平分∠BDF（已知）∴∠ADB=∠ADF（角平分線定義）∴∠EBC=∠DBC（等量代換）∴BC平分∠DBE（角平分線定義）說明：這道題反復應用平行線的判定和性質，這是以后在證題過程中經(jīng)常使用的方法，見到“平行”應想到有關的角相等，見到有關的角相等，就應想到能否判斷直線間的平行關系。把平行線的判定與性質緊密地結合在一起也就是使直線平行和角相等聯(lián)系在一起，這樣解題能得心應手，靈活自如。三、小結：證明角相等的基本方法第一章、第二章中已學過的關于兩個角相等的命題：（1）同角（或等角）的余角相等；（2）同角（或等角）的補角相等；（3）對頂角相等；（4）兩直線平行，同位角相等；內錯角相等；同旁內角互補。以上四個命題是我們目前論證兩個角相等的武器，但是何時用這些武器，用什么武器，怎樣使用，這是遇到的一個具體問題，需要認真進行分析。首先必須分析，在題設中給出了哪些條件，與其相關的圖形是什么！其次再分析一下要證明的兩個角在圖形的具體位置，與已知條件有什么關聯(lián)，怎樣運用一次推理或幾個一次推理的組合而來完成題設到結論的過渡。例3，如圖∠1=∠2=∠C，求證∠B=∠C。分析：題設中給出三個相等的角，其中∠2和∠C是直線DE和BC被AC所截構成的同位角，由∠2=∠C則DE//BC。再看題中要證明的結論是∠B=∠C，由于∠C=∠1，所以只要證明∠1=∠B，而∠1與∠B是兩條平行直線DE，BC被直線AB所截構成的同位角，∠1=∠B是很顯然的，這樣我們就理順了從已知到求證的途徑：證明：∵∠2=∠C（已知），∴DE//BC（同位角相等，兩直線平行），∴∠1=∠B（兩直線平行，同位角相等），又∵∠1=∠C（已知），∴∠B=∠C（等量代換）。例已知如圖，AB//CD，AD//BC，求證：∠A=∠C，∠B=∠D。分析：要證明∠A=∠C，∠B=∠D，從這四個角在圖中的位置來看，每一組既不構成同位角，也不是內錯角或同旁內角，由此不可能利用題設中的平行關系，經(jīng)過一次推理得到結論，仍然如同例10一樣通過等角進行轉化，從題設條件出發(fā)，由AB//CD，且AB與CD被直線BC所截，構成了一對同旁內角，∠B、∠C，因此∠B+∠C=180o，同時∠B又是另一對平行線AD、BC被直線AB所截，構成的一對同旁內角∠B、∠A，∠B+∠A=180o，通過∠B的中介，就可以證明得∠A=∠C。同理，也可得到∠B=∠D，整個思路為：證明：AD//BC（已知），∴∠A+∠B=180o（兩直線平行，同旁內角互補），∵AB//CD（已知），∴∠B+∠C=180o（兩直線平行，同旁內角互補），∴∠A=∠C（同角的補角相等），同理可證∠B=∠D。例已知如圖，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E=∠3，求證：∠1=∠2。分析：要證明∠1=∠2，而從圖中所示的∠1和∠2的位置來看，根據(jù)題設或學過的定義、公理、定理無法直接證明這兩個角相等，因我們可將視野再拓廣一下，尋找一下∠∠2與周邊各角的關系，我們看到直線AD與GE被直線AE所截，形成同位角∠∠E；被AB所截，形成內錯角∠∠3；而題設明確告訴我們∠3=∠E，于是目標集中到證明AD//GE，根據(jù)題設中AD⊥BC，EG⊥BC，我們很容易辦到這一點，總結一下思路，就可以得到以下推理程序：證明：∵ AD⊥BC于D（已知），∴∠ADC=90o（垂直定義），∵EG⊥BC于G（已知），∴∠EGD=90o（垂直定義），∴∠ADC=∠EGD（等量代換），∴EG//AD（同位角相等，兩直線平行），∴∠1=∠E（兩直線平行同位角相等），∠2=∠3（兩直線平行內錯角相等），又∵∠E=∠3（已知），∴∠1=∠2（等量代換）。四、兩條直線位置關系的論證。兩條直線位置關系的論證包括：證明兩條直線平行，證明兩條直線垂直，證明三點在同一直線上。學過證明兩條直線平行的方法有兩大類（一）利用角；（1）同位角相等，兩條直線平行；（2）內錯角相等，兩條直線平行；（3）同旁內角互補，兩條直線平行。（二）利用直線間位置關系：（1）平行于同一條直線的兩條直線平行；*（2）垂直于同一條直線的兩條直線平行。例如圖，已知BE//CF，∠1=∠2，求證：AB//CD。分析：要證明AB//CD，由圖中角的位置可看出AB與CD被BC所截得一對內錯角∠ABC和∠DCB，只要證明這對內錯角相等，而圖中的直線位置關系顯示，∠ABC=∠1+∠EBC，∠BCD=∠2+∠FCB，條件中又已知∠1=∠2，于是只要證明∠EBC=∠BCF。證明：∵ BE//CF（已知），∴∠EBC=∠FCB（兩直線平行，內錯角相等）∵∠1=∠2（已知），∴∠1+∠EBC=∠2+FCB（等量加等量其和相等），即∠ABC=∠BCD（等式性質），∴AB//CD（內錯角相等，兩直線平行）。例如圖CD⊥AB，EF⊥AB，∠1=∠2，求證：DG//BC。分析：要證明DG//BC，只需證明∠1=∠DCB，由于∠1=∠2，只需證明∠2=∠DCB，∠2與∠DCB又是同位角，只需證明CD//EF。根據(jù)題設CD⊥AB，EF⊥AB，CD//EF，很容易證得，這樣整個推理過程分成三個層次。（1）（平行線的判定）（2）CD//EF∠2=∠DCB（平行線的性質）（3）∠1=∠DCBDG//BC（平行線判定）在這三個推理的環(huán)節(jié)中，平行線的判定和性質交替使用，層次分明。證明：∵CD⊥AB于D（已知），∴∠CDB=90o（垂直定義），∵EF⊥AB于F（已知），∴∠EFB=90o（垂直定義），∴∠CDB=∠EFB（等量代換），∴CD//EF（同位角相等，兩直線平行），∴∠2=∠DCB（兩直線平行，同位角相等）又∵∠1=∠2（已知），∴∠1=∠DCB（等量代換），∴DG//BC（內錯角相等，兩直線平行）。說明：從以上幾例我們可以發(fā)現(xiàn)，證明兩條直線平行，必須緊扣兩直線平行的條件，往往歸結于求證有關兩個角相等，根據(jù)圖形找出兩直線的同位角、內錯角或同旁內角，設法證明這一組同位角或內錯角相等，或同旁內角互補。而證明兩角相等，又經(jīng)常歸于證明兩