【正文】 第一篇：平行線的判定和性質(zhì)(綜合篇)北 京 四 中編 稿：史衛(wèi)紅審 稿：張 楊責 編：姚一民平行線的判定和性質(zhì)（綜合篇）一、重點和難點：重點：平行線的判定性質(zhì)。難點：①平行線的性質(zhì)與平行線的判定的區(qū)分 ②掌握推理論證的格式。二、例題：這部分內(nèi)容所涉及的題目主要是從已知圖形中辨認出對頂角、同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角。解答這類題目的前提是熟練地掌握這些角的概念，關(guān)鍵是把握住這些角的基本圖形特征，有時還需添加必要的輔助線，用以突出基本圖形的特征。上述類型題目大致可分為兩大類。一類題目是判斷兩個角相等或互補及與之有關(guān)的一些角的運算問題。其方法是“由線定角”，即運用平行線的性質(zhì)來推出兩個角相等或互補。另一類題目主要是“由角定線”，也就是根據(jù)某些角的相等或互補關(guān)系來判斷兩直線平行，解此類題目必須要掌握好平行線的判定方法。例1．如圖，已知直線a,b,c被直線d所截，若∠1=∠2，∠2+∠3=180176。，求證：∠1=∠7分析：運用綜合法，證明此題的思路是由已知角的關(guān)系推證出兩直線平行，然后再由兩直線平行解決其它角的關(guān)系。∠1與∠7是直線a和c被d所截得的同位角。須證a//c。法（一）證明：∵d是直線（已知）∴∠1+∠4=180176。（平角定義）∵∠2+∠3=180176。，∠1=∠2（已知）∴∠3=∠4（等角的補角相等）∴a//c（同位角相等，兩直線平行）∴∠1=∠7（兩直線平行，同位角相等）法（二）證明：∵∠2+∠3=180176。，∠1=∠2（已知）∴∠1+∠3=180176。（等量代換）∵∠5=∠1，∠6=∠3（對頂角相等）∴∠5+∠6=180176。（等量代換）∴a//c（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）∴∠1=∠7（兩直線平行，同位角相等）。例2．已知如圖，∠1+∠2=180176。，∠A=∠C，AD平分∠BDF，求證：BC平分∠DBE。分析：只要求得∠EBC=∠CBD，由∠1+∠2=180176。推出∠1=∠BDC，從而推出AE//FC，從而推出∠C=∠EBC而∠C=∠A于是可得∠A=∠EBC。因此又可得AD//BC，最后再運用平行線性質(zhì)和已知條件便可推出∠EBC=∠DBC。證明：∵∠2+∠BDC=180176。（平角定義）又∵∠2+∠1=180176。（已知）∴∠BDC=∠1（同角的補角相等）∴AE//FC（同位角相等兩直線平行）∴∠EBC=∠C（兩直線平行內(nèi)錯角相等）又∵∠A=∠C（已知）∴∠EBC=∠A（等量代換）∴AD//BC（同位角相等，兩直線平行）∴∠ADB=∠CBD（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∠ADF=∠C（兩直線平行，同位角相等）又∵DA平分∠BDF（已知）∴∠ADB=∠ADF（角平分線定義）∴∠EBC=∠DBC（等量代換）∴BC平分∠DBE（角平分線定義）說明：這道題反復應用平行線的判定和性質(zhì)，這是以后在證題過程中經(jīng)常使用的方法，見到“平行”應想到有關(guān)的角相等，見到有關(guān)的角相等，就應想到能否判斷直線間的平行關(guān)系。把平行線的判定與性質(zhì)緊密地結(jié)合在一起也就是使直線平行和角相等聯(lián)系在一起，這樣解題能得心應手，靈活自如。三、小結(jié)：證明角相等的基本方法第一章、第二章中已學過的關(guān)于兩個角相等的命題：（1）同角（或等角）的余角相等；（2）同角（或等角）的補角相等；（3）對頂角相等；（4）兩直線平行，同位角相等；內(nèi)錯角相等；同旁內(nèi)角互補。以上四個命題是我們目前論證兩個角相等的武器，但是何時用這些武器，用什么武器，怎樣使用，這是遇到的一個具體問題，需要認真進行分析。首先必須分析，在題設(shè)中給出了哪些條件，與其相關(guān)的圖形是什么！其次再分析一下要證明的兩個角在圖形的具體位置，與已知條件有什么關(guān)聯(lián)，怎樣運用一次推理或幾個一次推理的組合而來完成題設(shè)到結(jié)論的過渡。例3，如圖∠1=∠2=∠C，求證∠B=∠C。分析：題設(shè)中給出三個相等的角，其中∠2和∠C是直線DE和BC被AC所截構(gòu)成的同位角，由∠2=∠C則DE//BC。再看題中要證明的結(jié)論是∠B=∠C，由于∠C=∠1，所以只要證明∠1=∠B，而∠1與∠B是兩條平行直線DE，BC被直線AB所截構(gòu)成的同位角，∠1=∠B是很顯然的，這樣我們就理順了從已知到求證的途徑：證明：∵∠2=∠C（已知），∴DE//BC（同位角相等，兩直線平行），∴∠1=∠B（兩直線平行，同位角相等），又∵∠1=∠C（已知），∴∠B=∠C（等量代換）。例已知如圖，AB//CD，AD//BC，求證：∠A=∠C，∠B=∠D。分析：要證明∠A=∠C，∠B=∠D，從這四個角在圖中的位置來看，每一組既不構(gòu)成同位角，也不是內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角，由此不可能利用題設(shè)中的平行關(guān)系，經(jīng)過一次推理得到結(jié)論，仍然如同例10一樣通過等角進行轉(zhuǎn)化，從題設(shè)條件出發(fā)，由AB//CD，且AB與CD被直線BC所截，構(gòu)成了一對同旁內(nèi)角，∠B、∠C，因此∠B+∠C=180o，同時∠B又是另一對平行線AD、BC被直線AB所截，構(gòu)成的一對同旁內(nèi)角∠B、∠A，∠B+∠A=180o，通過∠B的中介，就可以證明得∠A=∠C。同理，也可得到∠B=∠D，整個思路為：證明：AD//BC（已知），∴∠A+∠B=180o（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），∵AB//CD（已知），∴∠B+∠C=180o（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），∴∠A=∠C（同角的補角相等），同理可證∠B=∠D。例已知如圖，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E=∠3，求證：∠1=∠2。分析：要證明∠1=∠2，而從圖中所示的∠1和∠2的位置來看，根據(jù)題設(shè)或?qū)W過的定義、公理、定理無法直接證明這兩個角相等，因我們可將視野再拓廣一下，尋找一下∠∠2與周邊各角的關(guān)系，我們看到直線AD與GE被直線AE所截，形成同位角∠∠E；被AB所截，形成內(nèi)錯角∠∠3；而題設(shè)明確告訴我們∠3=∠E，于是目標集中到證明AD//GE，根據(jù)題設(shè)中AD⊥BC，EG⊥BC，我們很容易辦到這一點，總結(jié)一下思路，就可以得到以下推理程序：證明：∵ AD⊥BC于D（已知），∴∠ADC=90o（垂直定義），∵EG⊥BC于G（已知），∴∠EGD=90o（垂直定義），∴∠ADC=∠EGD（等量代換），∴EG//AD（同位角相等，兩直線平行），∴∠1=∠E（兩直線平行同位角相等），∠2=∠3（兩直線平行內(nèi)錯角相等），又∵∠E=∠3（已知），∴∠1=∠2（等量代換）。四、兩條直線位置關(guān)系的論證。兩條直線位置關(guān)系的論證包括：證明兩條直線平行，證明兩條直線垂直，證明三點在同一直線上。學過證明兩條直線平行的方法有兩大類（一）利用角；（1）同位角相等，兩條直線平行；（2）內(nèi)錯角相等，兩條直線平行；（3）同旁內(nèi)角互補，兩條直線平行。（二）利用直線間位置關(guān)系：（1）平行于同一條直線的兩條直線平行；*（2）垂直于同一條直線的兩條直線平行。例如圖，已知BE//CF，∠1=∠2，求證：AB//CD。分析：要證明AB//CD，由圖中角的位置可看出AB與CD被BC所截得一對內(nèi)錯角∠ABC和∠DCB，只要證明這對內(nèi)錯角相等，而圖中的直線位置關(guān)系顯示，∠ABC=∠1+∠EBC，∠BCD=∠2+∠FCB，條件中又已知∠1=∠2，于是只要證明∠EBC=∠BCF。證明：∵ BE//CF（已知），∴∠EBC=∠FCB（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∵∠1=∠2（已知），∴∠1+∠EBC=∠2+FCB（等量加等量其和相等），即∠ABC=∠BCD（等式性質(zhì)），∴AB//CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）。例如圖CD⊥AB，EF⊥AB，∠1=∠2，求證：DG//BC。分析：要證明DG//BC，只需證明∠1=∠DCB，由于∠1=∠2，只需證明∠2=∠DCB，∠2與∠DCB又是同位角，只需證明CD//EF。根據(jù)題設(shè)CD⊥AB，EF⊥AB，CD//EF，很容易證得，這樣整個推理過程分成三個層次。（1）（平行線的判定）（2）CD//EF∠2=∠DCB（平行線的性質(zhì)）（3）∠1=∠DCBDG//BC（平行線判定）在這三個推理的環(huán)節(jié)中，平行線的判定和性質(zhì)交替使用，層次分明。證明：∵CD⊥AB于D（已知），∴∠CDB=90o（垂直定義），∵EF⊥AB于F（已知），∴∠EFB=90o（垂直定義），∴∠CDB=∠EFB（等量代換），∴CD//EF（同位角相等，兩直線平行），∴∠2=∠DCB（兩直線平行，同位角相等）又∵∠1=∠2（已知），∴∠1=∠DCB（等量代換），∴DG//BC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）。說明：從以上幾例我們可以發(fā)現(xiàn)，證明兩條直線平行，必須緊扣兩直線平行的條件，往往歸結(jié)于求證有關(guān)兩個角相等，根據(jù)圖形找出兩直線的同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角，設(shè)法證明這一組同位角或內(nèi)錯角相等，或同旁內(nèi)角互補。而證明兩角相等，又經(jīng)常歸于證明兩