【正文】 第一篇：六年級奧數六年級奧數專題時鐘問題專題介紹]鐘面上有時針與分針，每針轉動的速度是確定的。分針每分鐘旋轉的速度：360176。247。60＝6176。時針每分鐘旋轉的速度：360176。247。(1260)＝0．5176。在鐘面上總是分針追趕時針的局面，或是分針超越時針的局面。這里的轉動角度用度數來表示，相當于行走的路程。因此鐘面上兩針的運動是一類典型的追及行程問題。[經典例題]例1 鐘面上3時多少分時，分針與時針恰好重合？分析 正3時時，分針在12的位置上，時針在3的位置上，兩針相隔90176。當兩針第一次重合，就是3時過多少分。在正3時到兩針重合的這段時間內，分針要比時針多行走90176。而可知每分鐘分針比時針多行走6－0．5＝5．5(度)。相應的所用的時間就很容易計算出來了。解 360247。123= 90(度)90247。(6－0．5)＝ 90247。5．5≈16．36(分)答 兩針重合時約為3時16．36分。例2 在鐘面上5時多少分時，分針與時針在一條直線上，而指向相反？分析 在正5時時，時針與分針相隔150176。然后隨時間的消逝，分針先是追上時針，在此時間內，分針需比時針多行走150176。，然后超越時針180176。就成一條直線且指向相反了。解 360247。125=150(度)(150＋ 180)247。(6— 0．5)＝ 60(分)5時60分即6時正。答 分針與時針在同一條直線上且指向相反時應是5時60分，即6時正。例3 鐘面上12時30分時，時針在分針后面多少度？分析 要避免粗心的考慮：時針在分針后面180176。正12時時，分針與時針重合，相當于在同一起跑線上。當到12時30分鐘時，分針走了180176。到達6時的位置上。而時針在同樣的30分鐘內也在行走。實際上兩針相隔的度數是在30分鐘內分針超越時針的度數。解(6—0．5)30=553=165(度)答 時針在分針后面165度。例4 鐘面上6時到7時之間兩針相隔90176。時，是幾時幾分？分析 從6時正作為起點，此時兩針成180176。當分針在時針后面90176。時或分針超越時針90176。時，六年級奧數專題 就是所求的時刻。解(180—90)247。(6—0．5)＝90 247。5．5≈(分鐘)(180＋ 90)247。(6— 0．5)＝270247。5．5≈49．09(分鐘)答 兩針相隔90176。時約為6時16．36分，或約為6時49．09分。最優(yōu)化問題專題介紹]最優(yōu)化概念反映了人類實踐活動中十分普遍的現(xiàn)象，即要在盡可能節(jié)省人力、物力和時間前提下，爭取獲得在可能范圍內的最佳效果，因此，最優(yōu)化問題成為現(xiàn)代數學的一個重要課題，涉及統(tǒng)籌、線性規(guī)劃一排序不等式等內容。最優(yōu)化問題不僅具有趣味性，而且由于解題方法靈活，技巧性強，因此對于開拓解題思路，增強數學能力很有益處。但解決這類問題需要的基礎知識相當廣泛，很難做到一一列舉。因此，主要是以例題的方式讓大家體會解決這些問題的方法和經驗。[經典例題]例1 :貨輪上卸下若干只箱子，總重量為10噸，每只箱子的重量不超過1噸，為了保證能把這些箱子一次運走，問至少需要多少輛載重3噸的汽車？[分析] 因為每一只箱子的重量不超過1噸，所以每一輛汽車可運走的箱子重量不會少于2噸，否則可以再放一只箱子。所以，5輛汽車本是足夠的，但是4輛汽車并不一定能把箱子全部運走。例如，設有13只箱子，所以每輛汽車只能運走3只箱子，13只箱子用4輛汽車一次運不走。因此，為了保證能一次把箱子全部運走，至少需要5輛汽車。例2: 用10尺長的竹竿來截取3尺、4尺長的甲、乙兩種短竹竿各100根，至少要用去原材料幾根？怎樣截法最合算？[分析] 一個10尺長的竹竿應有三種截法：（1）3尺兩根和4尺一根，最??；六年級奧數專題（2）3尺三根，余一尺；（3）4尺兩根，余2尺。為了省材料，盡量使用方法（1），這樣50根原材料，可截得100根3尺的竹竿和50根4尺的竹竿，還差50根4尺的，最好選擇方法（3），這樣所需原材料最少，只需25根即可，這樣，至少需用去原材料75根。例3: 一個銳角三角形的三條邊的長度分別是兩位數，而且是三個連續(xù)偶數，它們個位數字的和是7的倍數，這個三角形的周長最長應是多少厘米？[分析] 因為三角形三邊是三個連續(xù)偶數，所以它們的個位數字只能是0，2，4，6，8，并且它們的和也是偶數，又因為它們的個位數字的和是7的倍數，所以只能是14，三角形三條邊最大可能是86，88，90，那么周長最長為86+88+90=264厘米。例4: 把25拆成若干個正整數的和，使它們的積最大。[分析] 先從較小數形開始實驗，發(fā)現(xiàn)其規(guī)律： 把6拆成3+3，其積為33=9最大； 把7拆成3+2+2，其積為322=12最大； 把8拆成3+3+2，其積為332=18最大； 把9拆成3+3+3，其積為333=27最大；……這就是說，要想分拆后的數的乘積最大，應盡可能多的出現(xiàn)3，而當某一自然數可表示為若干個3與1的和時，要取出一個3與1重合在一起再分拆成兩個2之和，因此25可以拆成3+3+3+3+3+3+3+2+2，其積3722=8748為最大。例5: A、B兩人要到沙漠中探險，他們每天向沙漠深處走20千米，已知每人最多可攜帶一個人24天的食物和水，如果不準將部分食物存放于途中，問其中一個人最遠可以深入沙漠多少千米（要求最后兩人返回出發(fā)點）？如果可以將部分食物存放于途中以備返回時取用呢？ [分析] 設A走X天后返回，A留下自己返回時所需的食物，剩下的轉給B，此時B共有（483X）天的食物，因為B最多攜帶24天的食物，所以X=8，剩下的24天食物，B只能再向前走8天，留下16天的食物供返回時用，所以B可以向沙漠深處走16天，因為每天走20千米，所以其中一人最多可以深入沙漠320千米。如果改變條件，則問題關鍵為A返回時留給B24天的食物，由于24天的食物可以使B單獨 六年級奧數專題 深入沙漠12天的路程，而另外24天的食物要供A、B兩人往返一段路，這段路為24247。4=6天的路程，所以B可以深入沙漠18天的路程，也就是說，其中一個人最遠可以深入沙漠360千米。例6: 甲、乙兩個服裝廠每個工人和設備都能全力生產同一規(guī)格的西服，甲廠每月用的時間生產上衣，的時間生產褲子，全月恰好生產900套西服；乙廠每月用 的時間生產上衣，的時間生產褲子，全月恰好生產1200套西服，現(xiàn)在兩廠聯(lián)合生產，盡量發(fā)揮各自特長多生產西服，那么現(xiàn)在每月比過去多生產西服多少套？[分析] 根據已知條件，甲廠生產一條褲子與一件上衣的時間之比為2:3；因此在單位時間內甲廠生產的上衣與褲子的數量之比為2:3；同理可知，在單位時間內乙廠生產上衣與褲子的數量之比是3:4；，由于，所以甲廠善于生產褲子，乙廠善于生產上衣。兩廠聯(lián)合生產，盡量發(fā)揮各自特長，安排乙廠全力生產上衣，由于乙廠生產 月生產1200件上衣，那么乙廠全月可生產上衣1200247。 =2100件，同時，安排甲廠全力生產褲子，則甲廠全月可生產褲子900247。 =2250條。為了配套生產，甲廠先全力生產2100條褲子，這需要2100247。2250=月，然后甲廠再用月單獨生產西服900=60套，于是，現(xiàn)在聯(lián)合生產每月比過去多生產西服（2100+60）（900+1200）=60套例7 今有圍棋子1400顆，甲、乙兩人做取圍棋子的游戲，甲先取，乙后取，兩人輪流各取一次，規(guī)定每次只能取7P（P為1或不超過20的任一質數）顆棋子，誰最后取完為勝者，問甲、乙兩人誰有必勝的策略？[分析] 因為1400=7200，所以原題可以轉化為：有圍棋子200顆，甲、乙兩人輪流每次取P顆，誰最后取完誰獲勝。[解] 乙有必勝的策略。由于200=450，P或者是2或者可以表示為4k+1或4k+3的形式（k為零或正整數）。乙采取的策略為：若甲取2，4k+1，4k+3顆，則乙取2，3，1顆，使得余下的棋子仍是4的倍數。如此最后出現(xiàn)剩下數為不超過20的4的倍數，此時甲總不能取完，而乙可全部取完而獲勝。[說明]（1）此題中，乙是“后發(fā)制人”，故先取者不一定存在必勝的策略，關鍵是看他們所面臨的“情形”；（2）我們可以這樣來分析這個問題的解法，將所有的情形剩余棋子的顆數分成兩類，第一 六年級奧數專題 類是4的倍數，第二類是其它。若某人在取棋時遇到的是第二類情形，那么他可以取1或2或3，使得剩下的是第一類情形，若取棋時面臨第一類情形，則取棋后留給另一個人的一定是第二類情形。所以，誰先面臨第二類情形誰就能獲勝，在絕大部分雙人比賽問題中，都可采用這種方法。例8 有一個80人的旅游團，其中男50人，女30人，他們住的旅館有11人、7人和5人的三種房間，男、女分別住不同的房間，他們至少要住多少個房間？[分析] 為了使得所住房間數最少，安排時應盡量先安排11人房間，這樣50人男的應安排3個11人間，2個5人間和1個7人間；30個女人應安排1個11人間，2個7人間和1個5人間，共有10個房間。[練習]十個自然數之和等于1001，則這十個自然數的最大公約數可能取的最大值是多少？（不包括0）在兩條直角邊的和一定的情況下，何種直角三角形面積最大，若兩直角邊的和為8，則三角形的最大面積為多少？ 5個人各拿一個水桶在自來水龍頭前等候打水，他們打水所需要的時間分別是1分鐘、2分鐘、3分鐘、4分鐘和5分鐘，如果只有一個水龍頭適當安排他們的打水順序，就能夠使每個人排隊和打水時間的總和最小，那么這個最小值是多少分鐘？某水池可以用甲、乙兩水管注水，單放甲管需12小時注滿，單放乙管需24小時注滿。若要求10小時注滿水池，并且甲、乙兩管合放的時間盡可能地少，則甲乙兩管全放最少需要多少小時？有1995名少先隊員分散在一條公路上值勤宣傳交通法規(guī)，問完成任務后應該在該公路的什么地點集合，可以使他們從各自的宣傳崗位沿公路走到集合地點的路程總和最小？甲、乙兩人輪流在黑板上寫下不超過10的自然數，規(guī)則是禁止寫黑板上已寫過的數的約數，不能完成下一步的為失敗者。問：是先寫者還是后寫者必勝？如何取勝？六年級奧數專題 [習題參考答案及思路分析]∵1001=71113，∴可以713為公約數,這樣這十個正整數可以是 ,912，它們的最大公約數為91。對于直角三角形而言，在直角邊的和一定的情況下，等腰直角三角形的面積最大。若兩直角邊的和為8，則三角形的最大面積為 44=8。為了使每個人排隊和打水時間的總和最小，有兩種方法：（1）排隊的人盡量少；（2）每次排隊的時間盡量少。因此應先讓打水快的人打水，才能保證開始排隊人多的時候，每個人等待的時間要少，故共需51+42+33+24+5=35（分鐘）。由于甲、乙單獨開放都不可能在10小時注滿水池，因此必須有時間甲、乙全放。為了使它們合放的時間最少，應盡量開放甲管（速度快），這樣甲開10小時注滿水池的，余下 只能由乙注滿，需。因此甲乙兩管全放最少需要4小時。此問題我們可以從最簡單問題入手，尋找規(guī)律，從而解決復雜問題，最后集合地點應在中間地點。先寫者存在獲勝的策略。甲第一步寫6，乙僅可寫4，5，7，8，9，10中的一個，把它們分成數對（4，5），（8，10），（7，9）。如果乙寫數對中的某個數，甲就寫數對中的另一個數，則甲必勝。利率與利息[專題介紹]國家規(guī)定，各種收入