【正文】 陜西理工學(xué)院大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽 房?jī)r(jià) 問題的模型設(shè)計(jì) 及相關(guān)問題討論 摘要 : 本文選取了全國幾類代表性城市，并收集了影響房?jī)r(jià)的因素， 選取了影響房?jī)r(jià)的主要因素 ， 發(fā)現(xiàn) 了房?jī)r(jià)和其主要因素之間近似成線性關(guān)系， 進(jìn) 而建立表示房?jī)r(jià)的數(shù)學(xué)模型 —— 多元線性回歸模型 （ Y = 1a *Δ A + 2a *Δ B +3a *Δ C + 4a *Δ D+ pjY）。 對(duì)模型進(jìn)行了全方面 的論述，得出求解其中各個(gè)參數(shù)的方法，并最終求出房?jī)r(jià)。 然后 運(yùn)用所求解的模型對(duì)北京未來四年房?jī)r(jià)進(jìn)行預(yù)測(cè)， 分析了對(duì)未來經(jīng)濟(jì)發(fā)展的影響。第一， 用信息增益法找出影響房?jī)r(jià)的主要因素，再 用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法 確定各 因素 與房?jī)r(jià) 之間 呈 近似線性關(guān)系，確定模型；第二，用最小二乘法求解模型中的參數(shù)，用回歸分析確定模型精度及檢驗(yàn)，從而得出一個(gè)完整的數(shù)學(xué)模型；第三，利用 往年數(shù)據(jù)建立擬合曲線，預(yù)測(cè)了未來四年 影響北京市房?jī)r(jià)的主要因素及房?jī)r(jià) 走勢(shì)；第四，根據(jù)分析結(jié)果，進(jìn)一步探討使得房?jī)r(jià)合理的具體措施，以及可能對(duì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展產(chǎn)生的影響，并進(jìn)行定量 分析；第五，根據(jù)模型及建議進(jìn)行合理的預(yù)測(cè)，最后分析模型的優(yōu)缺點(diǎn)并提出了改進(jìn)方向。 關(guān)鍵詞： 房?jī)r(jià)問題 回歸模型 擬合曲線 預(yù)測(cè) 經(jīng)濟(jì)發(fā)展 1 一 問題 的提出 房?jī)r(jià)問題事關(guān)國計(jì)民生，對(duì)國家經(jīng)濟(jì)發(fā)展和社會(huì)穩(wěn)定有重大影響，一直是各國政府大力關(guān)注的問題。我國自從取消福利分房制度以來，隨著房?jī)r(jià)的不斷飆升，房?jī)r(jià)問題已經(jīng)成為全民關(guān)注的焦點(diǎn)議題之一，從國家領(lǐng)導(dǎo)人、地方政府官員，到開發(fā)商、專家學(xué)者、普通百姓通過各種媒體表達(dá)各種觀點(diǎn)，但對(duì)于房?jī)r(jià)是否合理、未來房?jī)r(jià)的走勢(shì)等關(guān)鍵問題，至今尚未形成統(tǒng)一的認(rèn)識(shí)。 請(qǐng)根據(jù) 中國國情，收集建筑成本、居民收入等與房?jī)r(jià)密切相關(guān)的數(shù)據(jù)，選取我國具有代表性的幾類城市對(duì)房?jī)r(jià)的合理性及房?jī)r(jià)的未來走勢(shì)等問題進(jìn)行定量分析；根據(jù)分析結(jié)果，進(jìn)一步探討使得房?jī)r(jià)合理的具體措施，以及，可能對(duì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展產(chǎn)生的影響 并進(jìn)行定量 根據(jù) 本題 ，收集建筑成本、居民收入等與房?jī)r(jià)密切相關(guān)的數(shù)據(jù)， 提出以下幾個(gè)問題： 問題一：通過分析找出影響房?jī)r(jià)的主要因素，并建立房?jī)r(jià)問題的數(shù)學(xué)模型，對(duì)房?jī)r(jià)與主要因素進(jìn)行定量分析。 問題二： 選擇某一地區(qū)，調(diào)查近些年來房?jī)r(jià)變化情況，并根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)未來幾年該地區(qū)房?jī)r(jià)的走勢(shì)。 問題三：對(duì)房?jī)r(jià)的合理 性 和形成 進(jìn)行分析 。 問題四：分析可能對(duì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展產(chǎn)生的影響，進(jìn)一步探討給出合理的建議。 二、問題分析 問題 一 分析 本問題是要建立房?jī)r(jià)問題的數(shù)學(xué)模型。房?jī)r(jià)問題關(guān)系國計(jì)民生，既是經(jīng)濟(jì)問題，更是影響社會(huì)穩(wěn)定的重要民生問題。 房?jī)r(jià)的關(guān)鍵是影響房?jī)r(jià)問題的因素，但影響房?jī)r(jià)問題的因素有很多，要逐一分析每一種因素是不可能辦到的，只要抓住主要因素去著重分析即可。我們經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、書籍 等相關(guān)資源，大致得出以下幾條對(duì)房?jī)r(jià)的影響產(chǎn)生主導(dǎo)作用的因素 竣工面積、 工薪收入 、 城鄉(xiāng)人均儲(chǔ)蓄余額、房屋成本等。通過分析主要因素與房?jī)r(jià)之間的變化關(guān) 系，確定變量，分析比較，最終可以確定房?jī)r(jià)問題的模型 — 多元 線性 回歸模型。 問題二分析 本問題的對(duì)某地區(qū)未來幾年的房?jī)r(jià)走勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)，較為準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)房?jī)r(jià)，對(duì)社會(huì)發(fā)展極為重要 ，可以為經(jīng)濟(jì)決策提供參考，故其研究意義相當(dāng)重大。我們需要確定的是具體研究哪一座城市的房?jī)r(jià)數(shù)據(jù)，然后再考慮房?jī)r(jià)走勢(shì)的預(yù)測(cè)問題。 針對(duì)本問，可以收集該城市歷年房?jī)r(jià)的真實(shí)數(shù)據(jù)，通過 Matble 軟件對(duì)相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，分別建立相關(guān)關(guān)系，用模型擬算出未來幾年城市房?jī)r(jià)走勢(shì)。 問題三分析 通過問題二的研究成果，可以知道房?jī)r(jià)及影響房?jī)r(jià)主要因素 的趨勢(shì)，結(jié)合其所得結(jié)果與現(xiàn)實(shí)情況加以分析。判斷房?jī)r(jià)是否合理，若不合理，則分析相關(guān)的成因， 看如何達(dá)到抑制房?jī)r(jià)的目的。 2 問題四分析 房?jī)r(jià)飛漲對(duì)社會(huì)影響的殺傷力很大，房?jī)r(jià)飛漲不僅影響到房地產(chǎn)市場(chǎng)上供求雙方，還具有很強(qiáng)的轉(zhuǎn)移社會(huì)財(cái)富的效應(yīng)，引起了民眾和政府的高度關(guān)注。房?jī)r(jià)的高低涉及社會(huì)生活中多方面的經(jīng)濟(jì)利益 ，所以房?jī)r(jià)對(duì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的影響也是非常大的。通過對(duì)經(jīng)濟(jì)的影響及危害，提出更合理的措施及建議。 三 、 基本 假設(shè) 假設(shè)一 、 所選的城市物價(jià)和其他情況相對(duì)比較穩(wěn)定，全局內(nèi)沒有大起大落的現(xiàn)象 ； 假設(shè)二 、 未來幾年不 會(huì)發(fā)生特大自然災(zāi)害 、 戰(zhàn)爭(zhēng)動(dòng)亂 以及 人為 傷 害 ； 假設(shè)三 、 房屋建造成本用竣工房屋造價(jià)來代替 ； 假設(shè)四、 房屋價(jià)格通過商品房平均銷售價(jià)（元 /平方米）來表示； 假設(shè)五 、 房?jī)r(jià)購買能力用人均儲(chǔ)蓄存款、人均可支配收入來表示，銀行利率每年保持穩(wěn)定； 假設(shè)六、 忽略消費(fèi)成本如交通費(fèi)用、物業(yè)費(fèi)用、停車費(fèi)用等對(duì)房?jī)r(jià)的影響； 假設(shè) 七 、 供需平衡指：供應(yīng)量 =需求量 。 四、 定義 符號(hào)說明 A：表示 工薪收入（元） ； B：表示 城鄉(xiāng)人均儲(chǔ)蓄余額（元 /人） ； C：表示 造價(jià)（元 /平方米） ； D： 人均 全年住房支出（元） ； Y： 商品房平均銷售價(jià)（ 元 /平方米） ； t? ： 為隨機(jī)變量 ； 2 б ： 序列的方差 ； pjY,pjA,pjB,pjC,pjD 分別 表示 Y,A,B,C,D 序列的均值序列 ； Δ Y,Δ A,Δ B,Δ C,Δ D 分別表示 YpjY,ApjA,BpjB,CpjC,DpjD 序列，即中心化序列 ； 1a , 2a , 3a , 4a ：模型參數(shù) ； S(a)：為殘差的平方和 ； n ： 統(tǒng)計(jì)城市數(shù)（樣本數(shù)） ； 181。 ： 中心化序列的協(xié)方差 。 五、 模型 的建立 模型推導(dǎo)過程 ： 表一為我國 13 個(gè)主要城市 商品房平均銷售價(jià) 及其相關(guān)因素的統(tǒng)計(jì)表。依照此表可以求得各因素 對(duì) 商品房平均 售價(jià) 的影響程度 ，計(jì)算方法采用 信息增益 法 。 3 表一 13 個(gè)主要城市 商品房平均銷售價(jià) 及其相關(guān)因素的統(tǒng)計(jì)表 [1] 信息增益計(jì)算法 [2] 信息增益基于信息論中熵的概念。熵是對(duì)事件的屬性的不確定性的度量。一個(gè)屬性的熵越大，它蘊(yùn)含的不確定信息越大。因此， ID3 總 是選擇具有最高信息增益的屬性作為當(dāng)前結(jié)點(diǎn)的測(cè)試屬性。 設(shè) S 是 s 個(gè)數(shù)據(jù)樣本的集合。假定類標(biāo)號(hào)屬性具有 m 個(gè)不同的值，定義 m 個(gè)不同的類iC ? ?m3,2,1 ??i 。設(shè) is 是類 iC 中的樣本數(shù)。對(duì)于一個(gè)給定的樣本分類所需要的期望信息由下式給出： ? ? ???? mi iim ppsssI 1 221 lo g, ? ， 其中 ip 是任意樣本屬于 iC 的概率，一般可以用 ssi 來估計(jì)。 設(shè)屬性 A 有 v 個(gè)不同的值 ? ?vaaa ?, 21 。可以用屬性 A 將 S 劃分為 v 個(gè)自給? ?vSSS ?, 21 ，其中 jS 包含 S 中這樣一些樣本，他們?cè)?A 上具有值 ja 。 設(shè) ijS 是子集 jS 中類 iC 的 樣 本 數(shù) 。根 據(jù) A 劃 分 子集 的 熵 由下 式 給出 ：? ? ? ?mjjjvj mjjj sssIs sssAE ?? 211 21 ,?? ????? ， 地區(qū) 竣工面積（萬平方米） 人口增長(zhǎng)率（?） 工薪收入（元） 城鄉(xiāng)人均儲(chǔ)蓄余額（元 /人） 造價(jià)（元 /平方米） 人均 全年住房支出（元 ） 城鎮(zhèn)房地產(chǎn)開發(fā)投資（億元） 房 價(jià)（元 /平方米） 北 京 13799 天 津 6886 石家莊 3263 上 海 12840 南 京 4983 杭 州 7826 福 州 5427 武 漢 3532 長(zhǎng) 沙 2680 成 都 3509 昆 明 2931 拉 薩 2452 西 安 3223 平 均 4 這里s sss mjjj ??? ?21充當(dāng)?shù)?j 個(gè)子集的權(quán)，并且等于子集（即 A 值為 ja ）中的樣本個(gè)數(shù)除以 S 中的樣本總數(shù) 根據(jù)上面給出的期望信息計(jì)算公式，對(duì)于給定的子集 jS ，其期望信息由下式計(jì)算： ? ? ????mi ijijmjjj ppsssI 1 221 lo g, ?， 其中jijij ssp ? 是 jS 中樣本屬于類 iC 的概率。 由期望信息和熵可以得到對(duì)應(yīng)的信息增益。對(duì)于在 A 上分支將獲得的信息增益可以由下面的公式得到： ? ? ? ? ? ?AEsssIA m ?? ?21 ,G a in 。 因子選?。? ID3 計(jì)算每個(gè)屬性的信息增益，并選取具有最高增益的屬性作為測(cè)試屬性。由上式可以看出，熵值越小時(shí)，其信息增益越大，表明相應(yīng)的信息量越有效。在此我們借用 ID3 算法計(jì)算出每個(gè)屬性關(guān)于房?jī)r(jià)的信息增益，而為了測(cè)試 準(zhǔn)確，我們選取半數(shù)以上信息增益較大的屬性作為測(cè)試屬性，即為影響 A 的屬性。 實(shí)例應(yīng)用 利用下述公式將原始數(shù)據(jù) (見表一 數(shù)據(jù) )化為 0,1 兩數(shù)值（計(jì)算結(jié)果見表 二 ） njmimaaaamaaaabmjjjijmjjjijij ????2,1。2,1012121?????????????????? （運(yùn)用 MATLAB 程序，計(jì)算程序見附錄 1） 這樣方便統(tǒng)計(jì)計(jì)算其影響房?jī)r(jià)的因子由房?jī)r(jià)劃分時(shí)每個(gè)因子的熵，進(jìn)而求出信息增益，判斷出影響房?jī)r(jià)的主要因子。