三角形的重心定理及其證明(已修改)
2024-10-13 14:52 本頁(yè)面
【正文】 第一篇：三角形的重心定理及其證明三角形的重心定理及其證明積石中學(xué)王有華同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)幾何時(shí)，？下面給出三種證明方法，你閱讀后想一想，：（如圖）設(shè)VABC中，L、M、N分別是BC、CA、：AL、BM、CN相交于一點(diǎn)G，且AG﹕GL= BG﹕GM= CG﹕GN=2﹕（平面幾何法）：（如圖1）假設(shè)中線(xiàn)AL與BM交于G，而且假設(shè)C與G的連線(xiàn)與AB邊交于N，延長(zhǎng)GL，并在延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn)D，使GL=LD。因?yàn)樗倪呅蜝DCG的對(duì)角線(xiàn)互相平分，BG∥DC，即GM∥，因此，GC∥BD，即NG∥，G是AD的中點(diǎn)，因此AG﹕GL=2﹕：BG﹕GM=2﹕1，CG﹕GN=2﹕（向量法）：（如圖2）在VABC中，設(shè)AB邊上的中1線(xiàn)為CN，AC邊上的中線(xiàn)為BM，其交點(diǎn)為G，邊BC的中點(diǎn)為L(zhǎng)，連接AG和GL，因?yàn)锽、G、M三點(diǎn)共線(xiàn)，且M是AC的中點(diǎn)，uuuruuuur所以向量BG∥BM，所以，存在實(shí)數(shù)l1CuuuruuuuruuuruuuruuuuruuurBG=l1BM，即 AGAB=l1(AMAB)uuuruuuuruuur所以，AG=l1AM+(1l1)AB，使得uuuruuur=l1AC+(1l1)AB同理，因?yàn)镃、G、N三點(diǎn)共線(xiàn)，uuuruuuruuur以存在實(shí)數(shù)l2，使得 AG=l2AN+(1l2)ACuuuruuur1= l2AB+(1l2)AC2uuuruuuruuuruuur1所以l1AC+(1l1)AB = l2AB+(1l2)AC 22uuur236。uuur又因?yàn)锳B、AC 不共線(xiàn)，所以 237。1212l1=1l2238。l2=1l1uuuruuuruuuruur因?yàn)長(zhǎng)是BC的中點(diǎn)，所以GL=GA+AC+CLr2uuur1uuuruuurr1uuuruuur1uuur1uuu1uuu=(AB+AC)+AC+CB =AB+AC+(ABAC)332332uuur1uuur1uuur所以 l1=l2=，所以 AG=AB+3uuuruuurr1uuur1uuu=AB+AC，即AG=2GL66，所以A、G、BM、CN相交于一點(diǎn)G，且AG﹕GL= BG﹕GM= CG﹕GN=2﹕1證明3（向量法）（如圖3）在VABC中，BC的中點(diǎn)Luuur1uuuruuur對(duì)應(yīng)于OL=(OB+OC)，中線(xiàn)AL上的任意一點(diǎn)G，有uuuruuuruuurOG=lOA+(1l)OLuuur1luuur1luuur=lOA+2OB+，AB的中線(xiàn)CN上的任意點(diǎn)G′，uuuuruuurOG162。=mOC+1muuur12A+muuurO2OB，求中線(xiàn)AL和CN的交點(diǎn)，就是要找一個(gè)l和一個(gè)m，使uuuruuuurOG=OG162。.因此，我們令l=1m1l1m1l2，=，=m.解之得l1uuuruuuur=m==OG162。=1uuur1uuur1uuur3OA+3OB+，、CN、BM相交于一點(diǎn)G，且易證AG﹕GL= BG﹕GM= CG﹕GN=2﹕1.第二篇：三角形重心重心是三角形三邊中線(xiàn)的交點(diǎn)，三線(xiàn)交一可用燕尾定理證明，十分簡(jiǎn)單。證明過(guò)程又是塞瓦定理的特例。已知：△ABC中，D為BC中點(diǎn)，E為AC中點(diǎn)，AD與BE交于O，CO延長(zhǎng)線(xiàn)交AB于F。求證：F為AB中點(diǎn)。證明：根據(jù)燕尾定理，S△AOB=S△AOC，又S△AOB=S△BOC，∴S△AOC=S△BOC，再應(yīng)用燕尾定理即得AF=BF，命題得證。重心的幾條性質(zhì)：重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1。重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等。重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小。在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均，即其坐標(biāo)為((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空間直角坐標(biāo)系——橫坐標(biāo)：(X1+X2+X3)/3 縱坐標(biāo)：(Y1+Y2+Y3)/3 豎坐標(biāo)：（z1+z2+z3）/3三角形內(nèi)到三邊距離
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