20xx高中數(shù)學(xué)人教a版必修四第二章32平面向量基本定理練習(xí)題含答案(已修改)
2025-12-09 01:58 本頁面
【正文】 3． 2 平面向量基本定理 , ) 1． 問題導(dǎo)航 (1)平面向量基本定理與向量的線性運(yùn)算有何關(guān)系？ (2)在平面向量基本定理中為何要求向量 e1， e2不共線？ (3)對于同一向量 a， 若基底不同 ， 則表示這一向量 a的實(shí)數(shù) λ1， λ 2的值是否相同？ 2．例題導(dǎo)讀 P86例 ，學(xué)會應(yīng)用平面向量基本定理解決實(shí)際問題． 試一試：教材 P87習(xí)題 2－ 3 A組 T7你會嗎？ P86例 過本例學(xué)習(xí)，學(xué)會用已知向量表示其他向量． 試一試：教材 P87習(xí)題 2－ 3 A組 T5， T6你會嗎？ 1． 平面向量基本定理 (1)定理：如果 e1， e2 是同一平面內(nèi)的兩個(gè) 不共線 向量 ， 那么對于這一平面內(nèi)的任一向量 a， 存在 唯一一對實(shí)數(shù) λ1， λ 2， 使 a＝ λ1e1＋ λ2e2. (2)基底：我們把 不共線 的向量 e1， e2叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底 ． 2． 三點(diǎn)共線的充要條件 平面上三點(diǎn) A、 B、 C 共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù) α、 β， 使得 OA→ ＝ αOB→ ＋ βOC→ .其 中 α＋ β ＝ 1， O 為平面內(nèi)任意一點(diǎn) ． 1． 判斷正誤 ． (正確的打 “√” ， 錯(cuò)誤的打 “” ) (1)一個(gè)平面內(nèi)只有一對不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底 ． ( ) (2)若 e1， e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量 ， 則 λ1e1＋ λ2e2(λ1， λ 2為實(shí)數(shù) )可以表示該平面內(nèi)所有向量 ． ( ) (3)若 ae1＋ be2＝ ce1＋ de2(a， b， c， d∈ R)， 則 a＝ c， b＝ d.( ) 解析： (1)錯(cuò)誤 ． 根據(jù)基底的概念可知 ， 平面內(nèi)不共線的向量 都可以作為該平面內(nèi)向量的基底 ． (2)正確 ． 根據(jù)平面向量基本定理知對平面內(nèi)任意向量都可以由向量 e1， e2線性表示 ． (3)錯(cuò)誤 ． 當(dāng) e1與 e2共線時(shí) ， 結(jié)論不一定成立 ． 答案： (1) (2)√ (3) 2． 已知平行四邊形 ABCD， 下列各組向量中 ， 是該平面內(nèi) 所有向量基底的是 ( ) → ， DC→ → ， BC→ → ， CB→ D． AB→ ， BC→ 解析： 選 AB→ ， BC→ 不共線 ， 故是一組基底 ． 3． 已知向量 a與 b是一組基底 ， 實(shí)數(shù) x， y 滿足 (3x－ 4y)a＋ (2x－ 3y)b＝ 6a＋ 3b， 則 x－y＝ ________． 解析： 由原式可 得?????3x－ 4y＝ 6，2x－ 3y＝ 3， 解得 ?????x＝ 6，y＝ 3， 所以 x－ y＝ 3. 答案： 3 4． 已知向量 a與 b不共線 ， 且 AB→ ＝ a＋ 4b， BC→ ＝－ a＋ 9b， CD→ ＝ 3a－ b， 則共線的三點(diǎn)為 ________． 解析： BD→ ＝ BC→ ＋ CD→ ＝－ a＋ 9b＋ 3a－ b＝ 2a＋ 8b， 因?yàn)?AB→ ＝ a＋ 4b， 所以 AB→ ＝ 12BD→ ， 所以 A， B， D 三點(diǎn)共線 ． 答案： A， B， D 1． 定理的實(shí)質(zhì) 平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)是向量的分解 ， 即平面內(nèi)任意向量都可以沿兩個(gè)不共線的方向分解成兩個(gè)向量和的形式 ． 2． 分解的唯一性 平面向量基 本定理中 ， 平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線的向量都可以 作為基底 ， 一旦選定一組基底 ， 則給定向量沿著基底的分解是唯一的 ． 3． 體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想 平面向量基本定理體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想 ， 用向量解決幾何問題時(shí) ， 我們可以選擇恰當(dāng)?shù)幕?， 將問題涉及的向量用基底化歸 ， 使問題得以解決 ． 對基底的理解 設(shè) e1， e2是同一平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量 ， 給出下列四組向量： ① e1與 e1＋ e2；② e1－ 2e2與 e2－ 2e1； ③ e1－ 2e2與 4e2－ 2e1； ④ e1＋ e2與 e1－ 量的一組基底的是 ________． (寫出滿足條件的序號 ) [解析 ] 由基底的定義可將此問題轉(zhuǎn)化為判斷各組中的兩個(gè)向量是否共線的問題 ． 若不共線 ， 則它們可作為一組基底；若共線 ， 則它們不能作為一組基底 ． ① 中 ， 設(shè) e1＋ e2＝ λ e1，則?????λ ＝ 1，1＝ 0， 無解 ， 所以 e1＋ e2與 e1不共線 ， 即 e1與 e1＋ e2可作為一組基底； ② 中 ， 設(shè) e1－2e2＝ λ(e2－ 2e1)， 則 (1＋ 2λ)e1－ (2＋ λ)e2＝ 0， 則?????1＋ 2λ＝ 0，－（ 2＋ λ）＝ 0， 無解 ， 所以 e1－ 2e2與 e2－2e1不共線 ， 即 e1－ 2e2與 e2－ 2e1可作為一組基底； ③ 中 ， 因?yàn)?e1－ 2e2＝－ 12(4e2－ 2e1)， 所以 e1－ 2e2與 4e2－ 2e1共線 ， 即 e1－ 2e2與 4e2－ 2e1不能作為一組基底； ④ 中 ， 設(shè) e1＋ e2＝ λ(e1－ e2)， 則 (1－ λ)e1＋ (1＋ λ)e2＝ 0， 所以?????1＋ λ＝ 0，1－ λ＝ 0， 無解 ， 所以 e1＋ e2與 e1－ e2不共線 ， 即 e1＋ e2與 e1－ e2可作為一組基底 ． [答案 ] ③ 方法歸納 同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量能不能作為基底 ， 關(guān)鍵是看它們共不共線 ， 在同一平面內(nèi) ， 只要兩個(gè)向量不共線 ， 就可以作為一組基底 ． 1． (1)設(shè) O 是平行四邊形 ABCD 兩對角線 AC 與 BD 的交點(diǎn) ， 下列向量組可作為表示這個(gè)平行四邊形所在 平面的所有向量的基底的是 ( ) ① AD→ 與 AB→ ； ② DA→ 與 BC→ ； ③ CA→ 與 DC→ ； ④ OD→ 與 OB→ . A． ①②
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