20xx高中數(shù)學(xué)人教a版必修四第二章章末優(yōu)化總結(jié)練習(xí)題含答案(已修改)
2024-12-14 00:13 本頁面
【正文】 章末優(yōu)化總結(jié) , ) 平面向量的概念與性質(zhì) 理解向量、共線向量、相等向量、單位向量、向量的模、夾角等概念 ． 突顯向量 “ 形 ”的特征是充分運用向量并結(jié)合數(shù)學(xué)對象的幾何意義解題的重要前 提 ． 關(guān)于平面向量 a， b， c 有下列三個命題： ① 若 b⊥ c， 則 (a＋ c)b＝ ab； ② 若 a＝ (1， k)， b＝ (－ 2， 6)， a∥ b， 則 k＝－ 3； ③ 非零向量 a 和 b 滿足 |a|＝ |b|＝ |a－ b|， 則 a 與 a＋ b 的夾角為 60176。. 其中真命題的序號為 ________． (寫出所有真命題的序號 ) [解析 ] ① 因為 b⊥ c， 所以 bc＝ 0， 所以 (a＋ c)b＝ ab＋ cb＝ ab； ② a∥ b， 且 a≠ 0? b＝ λa? 1－ 2＝ k6? k＝ － 3； ③ |a|＝ |b|＝ |a－ b|? a， b， a－ b 構(gòu)成等邊三角形 ， a 與 a＋ b 的夾角應(yīng)為 30176。. 所以真命題為 ①② . [答案 ] ①② 平面向量的線性運算 1． 向量的加法、減法和數(shù)乘向量的綜合運算 ， 通常 叫作向量的線性運算 ， 主要是運用 它們的運算法則、運算 律 ， 解決三點共線、兩線段平行、線段相等、求點的坐標(biāo)等問題 ． 2． 理解向量的有關(guān)概念 [如平行向量 (共線向量 )、相等與相反向量、平面向量基本定理、單位向量等 ]及其相應(yīng)運算的幾何意義 ， 并能靈活應(yīng) 用基向量、平行四邊形法則、三角形法則等 ， 是求解有關(guān)向量線性運算問題的基礎(chǔ) ． 如圖 ， 在 △ ABC中 ， AQ→ ＝ QC→ ， AR→ ＝ 13AB→ ， BQ與 CR相交于點 I， AI的延長線與邊 BC交于點 P. (1)用 AB→ 和 AC→ 分別表示 BQ→ 和 CR→ ； (2)如果 AI→ ＝ AB→ ＋ λBQ→ ＝ AC→ ＋ μCR→ ， 求實數(shù) λ和 μ的值； (3)確定點 P在邊 BC上的位置 ． [解 ] (1)由 AQ→ ＝ 12AC→ ， 可得 BQ→ ＝ BA→ ＋ AQ→ ＝－ AB→ ＋ 12AC→ ， 又 AR→ ＝ 13AB→ ， 所以 CR→ ＝ CA→ ＋ AR→＝－ AC→ ＋ 13AB→ . (2)將 BQ→ ＝－ AB→ ＋ 12AC→ ， CR→ ＝－ AC→ ＋ 13AB→ ， 代入 AI→ ＝ AB→ ＋ λBQ→ ＝ AC→ ＋ μCR→ ， 則有 AB→ ＋ λ?? ??－ AB→ ＋ 12AC→ ＝ AC→ ＋ μ?? ??－ AC→ ＋ 13AB→ ， 即 (1－ λ)AB→ ＋ 12λ AC→ ＝ 13μ AB→ ＋ (1－ μ)AC→ . 所以???1－ λ＝ 13μ，12λ ＝ 1－ μ，解得???λ ＝ 45μ＝ 35. (3)設(shè) BP→ ＝ mBC→ ， AP→ ＝ nAI→ . 由 (2)， 知 AI→ ＝ 15AB→ ＋ 25AC→ ， 所以 BP→ ＝ AP→ － AB→ ＝ nAI→ － AB→ ＝ n?? ??15AB→ ＋ 25AC→ － AB→ ＝ 2n5 AC→ ＋ ?? ??n5－ 1 AB→ ＝ mBC→ ＝ mAC→ － mAB→ ， 所以???－ m＝ n5－ 1，m＝ 2n5 ，解得???m＝ 23，n＝ 53. 所以 BP→ ＝ 23BC→ ， 即 BPPC＝ P是 BC上靠近點 C的三等分點 ． 平面向量的數(shù)量積 求平面向量的數(shù)量積的方法有兩個：一個是根據(jù)數(shù)量積的定義 ， 另一個是根據(jù)坐標(biāo) ． 定義法是 ab＝ |a||b|cos θ， 其中 θ為向量 a， b 的夾角；坐標(biāo)法是 a＝ (x1， y1)， b＝ (x2， y2)時 ，ab＝ x1x2＋ ， 也可判斷直線與直線的關(guān)系 (相交的夾角以及垂直 )，還可以通過向量的坐標(biāo)運算轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題解決 ． (1)設(shè)單位向量 m＝ (x， y)， b＝ (2， － 1)． 若 m⊥ b， 則 |x＋ 2y|＝ ________． (2)已知兩個單位向量 a， b 的夾角 θ為 60176。， c＝ ta＋ (1－ t)b， 若 bc＝ 0， 則 t＝ ________． [解析 ] (1)因為單位向量 m＝ (x， y)， 則 x2＋ y2＝ 1.① 若 m⊥ b， 則 mb＝ 0， 即 2x－ y＝ 0.② 由 ①② 解得 x2＝ 15， 所以 |x|＝ 55 ， |x＋ 2y|＝ 5|x|＝ 5. (2)法一： 因為 bc＝ 0， 所以 b[ta＋ (1－ t)b]＝ 0， 即 tab＋ (1－ t)b2＝ 0. 又因為 |a|＝ |b|＝ 1， θ ＝ 60176。， 所以 12t＋ 1－ t＝ 0， 所以 t＝ 2. 法二 ：由 t＋ (1－ t)＝ 1 知向量 a， b， c 的終點 A、 B、 C共線 ， 在平面直角坐標(biāo)系中設(shè) a＝ (1， 0)， b＝ ??? ???12， 32 ， 則 c＝ ??? ???32， － 32 . 把 a、 b、 c 的坐標(biāo)代入 c＝ ta＋ (1－ t)b， 得 t＝ 2. [答案 ] (1) 5 (2)2 平面向量的應(yīng)用 平面向量的應(yīng)用主要體現(xiàn)在兩個方面 ， 一是在平面幾何中的應(yīng)用 ， 向量的加法運算和平行 ， 數(shù)乘向量和相似 ， 距離、夾角和數(shù)量積之間有著密切聯(lián)系 ， 因此利用向量方法可以解決平面幾何中的相關(guān)問題 ． 二是在物理中的應(yīng)用 ， 主要是解決力、位移、速度等問題
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